测量误差的产生和合理避免的方法

1、测量误差的产生和测量误差的产生和 合理避免的方法合理避免的方法 6-1测量误差的概念测量误差的概念 n1、测量误差的定义 n在测量工作中，观测者无论使用多么精良的仪 器，操作如何认真，最后仍得不到绝对正确的 测量成果,这说明在各观测值之间或在观测值与 理论值之间不可避免地存在着差异，我们称这 些差异为观测值的测量误差。 n 设某观测量的真值为X表示。若以li （i=1,2,n）表示对某量的n次观测值，并以 表示真误差，则真误差可定义为观测值与真 值之差，即 n i=li-X (I=1,2,3n) n若用xi 表示X的估值， vi表示改正数，则 n xi =li+ vi vi = xi - li

2、 .2、测量误差的产生测量误差的产生 n测量工作是在一定的条件下进行的，一般来说， 外界环境、测量仪器和观测者构成观测条件观测条件。而 观测条件不理想或不断变化，是产生测量误差的 根本原因。 n 1 . 外界环境 n主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清晰 度、大气折光、风力等因素的不断变化，会导致 观测结果中带有误差。 n 2 . 仪器误差 n（1） 仪器制造误差 n（2） 检校残余误差 n3.观测误差 n 观测者的感官的鉴别能力、技术熟练程度和 劳动态度等也会产生误差。 n可见，观测条件不可能完全理想，测量误差的 产生不可避免。但是，在测量工作实践中，可 以采取一定的措施和方法来改善乃至

3、控制观测 条件，从而能够控制测量误差。 n 综上所述，观测结果的质量与观测条件的优劣 有着密切的关系。观测条件好，观测误差就可 能会小一些，观测质量相应地会高一些；反之， 观测结果的质量就会相应降低。当观测条件相 同时，可以认为观测结果的质量是相同的。 6-2偶然误差的特点偶然误差的特点 n偶然误差的产生受多种因素的影响，难以消除。因而， 偶然误差便成为误差理论中最核心的内容和主要的研 究对象。 n1、在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超出一 定限值（有界性）； n2、绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会要多 （或称概率大，密集性）； n3、绝对值相等的正、负误差出现的机会相等（对称

4、性）； n4、当观测次数n无限增加时，误差的算术平均值（数 学期望）趋近于零，即 n n 式中，为真误差代数和，即， =1+2+n。 n 上述偶然误差的四个特性具有普遍性，对误差 理论的研究和测量实践都有重要意义。 6-3观测值的算术平均值观测值的算术平均值 n在相同的观测条件下，对某一未知量（如 角度或边长）的真值为X，对该量作n次观 测，设n次观测值分别为l1、l2、ln。 n 则观测值的真误差为i （i=1,2,n），即 n等式两边求和并同除以n，有 n式中L/n称为“算术平均值”，习惯以 x表示；当观测次数无限增加时，根据偶 然误差特性（4），式中/n趋近于零。 于是可得 x=X n在

5、实际工作中，观测次数总是有限的， 算术平均值x作为未知量的估值，称为未 知量的“最或是值（或称最可靠值）”， 它比任何观测值都接近真值。 n 算术平均值的一般表达式为 n以上所述就是算术平均值原理，它是测 量中重要理论之一。 6-4精度的概念及种类精度的概念及种类 n从前面的分析可以知道，测量成果中会不可避 免地含有误差。但测量成果只有符合规范 规定的限差要求时，才算合格，否则应重测。 n1、精度的的概念：就是指误差分布的离散程 度。 n2、精度的种类 n（1）中误差m n高斯分布密度函数中的参数 ，在几何上是曲 线拐点的横坐标 ，概率论中称为随机变量的 标准差（方差的平方根）。当观测条件一定

6、时， 误差分布状态唯一被确定，误差分布曲线的两 个拐点也唯一被确定。用作为精度指标，可 以定量地衡量观测质量。 n所以在衡量观测精度时，就不必再作误 差分布表，也不必绘制直方图，只要设 法计算出该组误差所对应的标准差值 即可。的平方称为方差2 ，在概率论 中有严格的定义：方差2是随机变量x 与其数学期望E(x)之差的平方的数学期 望，用数学公式表达就是 n用测量专业的术语来叙述标准差：在 一定观测条件下，当观测次数n无限增加 时，观测量的真误差的平方和的平均 数的平方根的极限，由下式表示： n式中 为真误差 i的平方和，等价于 n通常，观测次数n总是有限的，只能求得标准 差的“估值”，记作m，

7、称为“中误差”。其 值可用下式计算： n由中误差的定义可知，中误差m不等于每个测 量值的真误差，它只是反映这组真误差群体分 布的离散程度大小的数字指标。 （2）平均误差 n定义：在一定观测条件下，当观测次数n无 限增加时，真误差绝对值的理论平均值的 极限称为平均误差，记作 n因观测次数n总是有限的，故其估值表示： n式中 为真误差绝对值之和。 （3）或然误差 n在一定观测条件下，当观测次数n无限增加时， 在真误差列中，若比某真误差绝对值大的误差与 比它小的误差出现的概率相等，则称该真误差为 或然误差，记作。 n因观测次数n有限，常将的估值记作。或然 误差可理解为：将真误差列按绝对值从大到小 排

8、序，当为奇数时，居中的真误差就是；当为 偶数时，居中的两个真误差的平均值作为。 n平均误差、或然误差与中误差有如下关系： n0.7979m n0.6745m n作为精度指标，中误差最为常用，因为中误差更 能反映误差分布的离散程度。 n例：设对某个三角形的内角用两种不同精度的仪器各 进行了10次观测，求得每次观测所得的三角形内角和 的真误差为 n 列：+3，-4，-3，+4，-5，-2， +3，+3，-4，+5 n 列：-1，0，+12，0，-1，-10， +1，0，+1，-10 n试求其观测精度。 n 解： n1. 用中误差公式计算 n 2.用平均误差公式计算 n 3.用或然误差公式计算 n

9、按绝对值将误差列由大到小排序，即 n 列：5，5，4，4，4，3，3， 3，3，2 n 列：12，10，10，1，1，1， 1，0，0，0 n计算结果表明：用中误差衡量观测精度， 第一列高于第二列，符合客观实际，因 第二列中有+12，-10，-10三个大 的误差存在，误差分布离散。很显然， 用平均误差和或然误差来衡量观测精度， 在本例均未有效地反映实际情况。 （4）、相对误差相对误差 n在进行精度评定时，有时仅利用绝对误差还不能 反映测量的精度。因为有些量，如长度，用绝对 误差不能全面反映观测精度。定义：绝对误差与 测量值之比，记作K。习惯上相对误差用分子为1 的分数表达，分母越大，相对误差越

10、小，测量的 精度就越高。例3-2 用同一把已检定过的钢尺分 别丈量两条边，长度分别为30m和90m，其中误 差（绝对误差）均为10mm。试衡量其测量精 度。解：若用绝对误差衡量测量精度，因 m1=m2=10mm,，无法判别那条边长丈量的精度 更高。现计算相对误差，有 即第二条边丈量精度高于第一条边。距离 测量中常用相对误差衡量测量精度。 6-5 误差传播定律在测量上的应用误差传播定律在测量上的应用 n1、距离测量的中误差距离测量的中误差 n用钢尺量距：设用长度为l的钢尺丈量A、B两点之 间的距离S，共量了n个尺段，若每尺段丈量中误 差均为ml，求S的中误差。 n因为S为各尺段li的线性函数，即 nS=l1+l2+ln S中误差应为 n上式表明：距离丈量的中误差与所测尺段数n的平 方根成正比。 2、水准测量的中误差水准测量的中误差 n设在A、B两 点之间.共设n站，则A、B两点 之间的高差为： n设每站的高差观测中误差均为m站，则A、B 两点之间的高差中误差为： n在平坦地区，各站的视线长度大致相等， 每公里的测站数也大致相同，故可认为每 公里水准测量高差的中误差相同，设为mkm， 则 3、视距测量的中误差视距测量的中误差 n（1）. 视距法测量水平距离的中误差 n 由视距测量计算公式 n可