空间几何第四章 平面

1、第四章第四章 平面平面 4-1 4-1 平面的表示法平面的表示法 4-2 4-2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性 4-3 4-3 属于平面的点和直线属于平面的点和直线 基本要求基本要求 基本要求 4-1 平面的表示法 一、用几何元素表示平面 用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的三个点； 一直线和直线外一点；相交二直线；平行二直线；任意平面图 形。 二、平面的迹线表示法 平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面可以用 在它们所垂直的投影面上的迹线来表示。 一、用几何元素表示平面 b a a c b c b a a c b c a a b c b c a bc a b c

2、 d d 二、 平面的迹线表示法 P PV PH PV PH QV QH QH QV Q 4-2 各种位置平面的投影特性 一、投影面的垂直面 1铅垂面 2正垂面 3侧垂面 二、投影面的平行面 1水平面 2正平面 3侧平面 三、一般位置平面 P PH 1铅垂面 投影特性 (1) abc积聚为一条线 (2) abc、 abc为ABC的类似形 (3) abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小 A B C a c b a b a b b a b c cc 铅垂面迹线表示法 PH P PH Q QV 2正垂面 投影特性 (1) abc 积聚为一条线 (2) abc、 abc为 ABC的类似形 (3)

3、 abc与OX、 OZ的夹角反映、 角的真实大小 A c C a b B b a b a b a c c c 正垂面的迹线表示法 Q QV QV SWS 3侧垂面 投影特性 (1) abc积聚为一条线 (2) abc、 abc为 ABC的类似形 (3) abc与OZ、 OY的夹角反映、角的真实大小 C a b A B c b a b a b a cc c 侧垂面的迹线表示法 V W Sw S Z X O Y Sw Y 1水平面 投影特性： (1) abc、 abc积聚为一条线，具有积聚性 (2) 水平投影 abc反映 ABC实形 C A Ba b c b a c ab c c abb b a

4、a cc 2正平面 投影特性： (1) abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性 (2) 正平面投影 abc反映 ABC实形 c a b b a c b c a b a c a b c b ca C B A 投影特性： (1) abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性 (2) 侧平面投影 abc 反映 ABC实形 3侧平面 a b b b a c c c a b c b a c a b cC A B a 三、一般位置平面 投影特性 (1) abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形 (2) 不反映、 的真实角度 a b c c a b b a a a b b c c b a

5、c A B C 4-3 属于平面的点和直线 一、属于一般位置平面的点和直线 二、属于特殊位置平面的点和直线 三、属于平面的投影面平行线 四、属于平面的最大斜度线 一、属于一般位置平面的点和直线 1平面上的直线 直线在平面上的几何条件是：通过平面上的两点；通 过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。 2平面上的点 点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。 在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助 线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问 题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点 和直线的投影；完成多边形的投影。 例题1 例题2 例题3 1取属于平面的

6、直线 取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过 属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。 E D F d d e e f f 2取属于平面的点 取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线 E D d d e e 例题例题1 已知 ABC给定一平面，试判断点D是否属 于该平面。 d de e 例题例题2 已知点D在 ABC上，试求点D的水平投影 。 d d 例题例题3 已知点E在 ABC上，试求点E的正面投影 。 e e 二、属于特殊位置平面的点和直线 1取属于投影面垂直面的点和直线 2过一般位置直线总可作投影面的垂直面 (1) 几何元素表示法 (2) 迹线表示法 3

7、过特殊位置直线作平面 (1) 过正垂线作平面 (2) 过正平线作平面 b b 1 取属于投影面垂直面的点和直线 a a e f f e a b b a S b a a b A B 2过一般位置直线总可作投影面的垂直面 过一般位置直线AB 作铅垂面PH 过一般位置直线AB作 正垂面SV P PH SV A B (1) 过一般位置直线作投影面的垂直面 (几何元素表示法) m n (n) (m) (2) 过一般位置直线作投影面的垂直面 (迹线表示法) b a SVQW PH (1) 过正垂线作平面 (迹线表示法) PV SV QV RV （a ）给题（c）作侧垂面（ b）作正平面（d）作正垂面 （有

8、无穷多个） (2) 过正平线作平面 PH SH g g （a ） 给题 （c） 作正垂面 （ b） 作正平面 （d） 作一般位置平面 （有无穷多个） 三、属于平面的投影面平行线 属于平面的水平线和正平线 例题4 例题5 P 属于平面的水平线和正平线 PV PH 例题例题4 已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正 平线，过点A作属于该平面 的水平线。 m n n m 例题例题5 已知点E 在ABC平面上，且点E距离H面15，距离V 面10，试求点E的投影。 m n mn r s r s 10 15 e e 四、属于平面的最大斜度线 1平面上的投影面最大斜度线平面上对某个投影面倾角最大的

9、直线。 它与投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角。 2平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上对某投影面的平行线相互 垂直。 3平面上的投影面最大斜度线有三组，即分别对正面投影面、水平投影 面及侧面投影面三组最大斜度线。 （1）平面上对水平投影面的最大斜度线 （2）平面上对正面投影面的最大斜度线 （3）平面上对侧面投影面的最大斜度线 例题6 例题7 例题8 例题9 P C D a E1 S A E （1）平面上对水平投影面的最大斜度线 EF AB平行于 H， EF垂直于 AB P E F B A （2）平面上对正面投影面的最大斜度线 CD AB平行于V， CD垂直于 AB PC D B A （3） 平面上对侧面投影面的最大斜度线 MN AB 平行于W， MN垂直于AB P B A M N 例题例题6 求作 ABC平面上对水平