2017-2018学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件教学案 1-1

1、学必求其心得，业必贵于专精1.2 充分条件与必要条件核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材p9p11的内容，回答下列问题（1）判断教材p9上方的两个命题的真假，并思考：当xa2b2成立时，一定有x2ab成立吗？提示：一定有x2ab成立当ab0成立时，一定有a0成立吗？提示：不一定，也可能b0(2)阅读教材p11“思考”的内容,并思考：若p成立，一定有q成立吗？提示：一定有q成立若q成立,一定有p成立吗？提示：一定有p成立2归纳总结,核心必记(1)充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系pq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条

2、件q不是p的必要条件（2)充要条件一般地,如果既有pq，又有qp，就记作pq此时,我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果pq，那么p与q互为充要条件问题思考(1)x3是x5的充分条件吗?提示：不是因为x3x5，但x5x3，因此x3是x5的必要条件(2)如果p是q的充分条件，则p是唯一的吗？提示：不唯一,如x3，x5，x10等都是x0的充分条件(3）若“xa”是“xb”的充要条件，则a与b的关系怎样？提示:ab课前反思(1）充分条件的定义是:；(2）必要条件的定义是：;(3）充要条件的定义是：思考充分条件、必要条件、充要条件与命题“若p

3、，则q”、“若q，则p”的真假性有什么关系？名师指津：当命题“若p，则q为真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件；当命题“若q，则p为真命题时，q是p的充分条件,p是q的必要条件；当上述两个命题都是真命题时,p是q的充要条件讲一讲1判断下列各题中p是q的什么条件(1)在abc中，p：ab，q：bcac； （2)p：x1,q：x21；（3)p：(a2）(a3）0,q：a3；（4）p：ab，q：1。尝试解答(1）由三角形中大角对大边可知，若ab，则bcac；反之,若bcac，则ab。因此，p是q的充要条件(2)由x1可以推出x21；由x21，得x1，或x1，不一定有x1。因此，p是q的充分不

4、必要条件（3）由(a2)(a3)0可以推出a2或a3，不一定有a3;由a3可以得出(a2）（a3)0。因此，p是q的必要不充分条件（4)由于ab，当b1； 当b0时,1，故若ab,不一定有1;当a0,b0，1时，可以推出ab;当a0,bb.因此p是q的既不充分也不必要条件充分、必要条件的判断方法判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q,则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假,p是q的充分不必要条件;原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件;原命题为假,逆命题为假,则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用练

5、一练1指出下列各组命题中，p是q的什么条件（1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；(2)p：（x1）2（y2)20,q:（x1)（y2)0。解:（1）四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，p是q的既不充分也不必要条件（2）(x1）2(y2）20x1且y2（x1）(y2)0，而（x1)(y2)0 (x1)2(y2)20,p是q的充分不必要条件思考如何证明“p是q的充要条件？名师指津：证明“p是q的充要条件”即证明命题“若p，则q”和“若q，则p都是真命题讲一讲2证明：a2b0是直线ax2y30和直线xby20垂直的充要条件尝试解答（1)(充分性

6、）当b0时,如果a2b0，那么a0，此时直线ax2y30平行于x轴，直线xby20平行于y轴，它们互相垂直当b0时,直线ax2y30的斜率k1，直线xby20的斜率k2，若a2b0，则k1k21，两直线垂直(2)（必要性）如果两条直线互相垂直且斜率都存在,则k1k21,所以a2b0.若两直线中直线的斜率不存在,且互相垂直，则b0,且a0，所以a2b0.综上,“a2b0”是“直线ax2y30和直线xby20互相垂直的充要条件一般地，证明“p成立的充要条件为q时,在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即qp;证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论，即p

7、q.练一练2求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.证明：(充分性）：因为abc0，所以cab，代入方程ax2bxc0中得ax2bxab0,即(x1)（axab）0。所以方程ax2bxc0有一个根为1，（必要性）：因为方程ax2bxc0有一个根为1，所以x1满足方程ax2bxc0。所以有a12b1c0，即abc0.故关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0。已知p：axp(x）成立，q：bx|q（x)成立思考1若p是q的充分条件,则a与b有什么关系？名师指津:ab思考2若p是q的充分不必要条件,则a与b有什么关系？名师指津：ab思考3若p是q的充要条

8、件,则a与b有什么关系？名师指津：ab思考4若p是q的既不充分也不必要条件，则a与b有什么关系？名师指津：ba，且ab讲一讲3已知p:2x10，q:1mx1m(m0）,若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围尝试解答p:2x10，q：1mx1m(m0）因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即x1mx1mx2x10,故有或解得m3。又m0，所以实数m的取值范围为m|00）因为p是q的充分不必要条件,设p代表的集合为a，q代表的集合为b,所以ab。所以或解不等式组得m9或m9,所以m9，即实数m的取值范围是mm94本讲中p、q不变,是否存在实数m使p是q的充要条件？解：因为p

9、：2x10，q:1mx1m（m0）若p是q的充要条件，则方程组无解故不存在实数m，使得p是q的充要条件-课堂归纳感悟提升-1本节课的重点是充分条件、必要条件、充要条件的判断，难点是充要条件的证明以及利用充分条件、必要条件求解参数的取值范围2本节课的易错点是分不清“充分条件”与“必要条件”造成解题失误，见讲1和讲3.3本节课要重点掌握的规律方法(1)判断充分条件与必要条件的方法，见讲1。（2)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若ab，则p是q的充分条件,若ab,则p是q的充分不必要条件若ba，则p是q的必要条件，若ba，则p是q的必要不充分条件若ab，则p,q互为充要条件若ab,且ba

10、,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件其中p:ax|p（x）成立，q：bxq（x）成立4根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)进行求解,见讲3.课时达标训练（三) 即时达标对点练题组1充分、必要条件的判断1“数列an为等比数列是“an3n（nn）”的(）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件解析：选b当an3n时，an一定为等比数列，但当an为等比数列时，不一定有an3n，故应为必要不充分条件2对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的()a充分

11、不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件解析：选a由ab0可知a，b是相反向量,它们一定平行；但当ab时,不一定有ab0,故应为充分不必要条件3“实数a0是“直线x2ay1和2x2ay1平行的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件解析：选c当a0时，两直线方程分别为x1和2x1，显然两直线平行；反之，若两直线平行,必有1（2a)(2a)2,解得a0,故应为充要条件4“sin a是“a”的_条件解析：由sin a不一定能推得a，例如a等；但由a一定可推得sin a，所以“sin a”是“a”的必要不充分条件答案：必要不充分题组2充要条件的证明5函数

12、y（2a）x（a2且a1）是增函数的充要条件是（）a1 a2 b。 a2ca1 da1，解得a1.故选c.6求证：一次函数f(x）kxb(k0）是奇函数的充要条件是b0。证明:充分性:如果b0，那么f(x）kx,因为f（x）k(x)kx，即f（x)f（x），所以f（x)为奇函数必要性：因为f（x）kxb （k0）是奇函数,所以f（x)f（x)对任意x均成立，即k(x）bkxb,所以b0.综上，一次函数f(x)kxb （k0）是奇函数的充要条件是b0。题组3利用充分、必要条件求参数的范围7一元二次方程ax22x10(a0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（)aa0 ba0 ca1 da1解

13、析：选c一元二次方程ax22x10（a0)有一正根和一负根由于a|a1aa0，故选c.8在平面直角坐标系xoy中，直线x(m1)y2m与直线mx2y8互相垂直的充要条件是m_解析：x(m1)y2m与mx2y8互相垂直1m(m1)20m.答案：9已知mx（xa)21，nx| x 25 x240，若n是m的必要条件，求a的取值范围解:由(xa）21，得a1xa1,由x 25 x240,得3x8.n是m的必要条件,m n.故a的取值范围为2，7能力提升综合练1设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(）a丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件b丙是甲的必

14、要条件，但不是甲的充分条件c丙是甲的充要条件d丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析：选a因为甲是乙的必要条件，所以乙甲又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件，所以丙乙，但乙丙,如图综上,有丙甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件2设0x，则“xsin2x1是“xsin x1 ”的（)a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：选b因为0 x，所以0sin x1.由xsin x1知xsin2xsin x1,因此必要性成立由xsin2x1得xsin x,而1，因此充分性不成立3平面平面的一个充分条件是(）a存在一条直线a,a,ab存在一条直线a

15、,a，ac存在两条平行直线a、b，a，b ，a，bd存在两条异面直线a、b,a，b ，a，b解析：选d当满足a、b、c三个选项中的任意一个选项的条件时，都有可能推出平面与相交，而得不出，它们均不能成为的充分条件只有d符合4设an是等比数列，则“a1a2a3”是“数列an是递增数列”的（)a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：选c an 为等比数列，ana1qn1,由a1a2a3，得a1a1 qa1 q 2，即a10，q1或a10，0 q1，则数列 an 为递增数列反之也成立5不等式(ax)（1x)0成立的一个充分不必要条件是2 x1，则a的取值范围是_解析：

16、根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系,应有(2，1) x |( ax）（1x）2.答案：（2，）6下列命题：“x2且y3是“xy5”的充要条件；b24ac0是一元二次不等式a x 2b xc3时,xy5成立，反之不一定，如x0，y6。所以“x2且y3”是“xy5”的充分不必要条件；不等式解集为r的充要条件是a0且b24ac0,故为假命题;当a2时,两直线平行,反之，若两直线平行，则，a2。因此，“a2”是“两直线平行”的充要条件；lg xlg ylg（xy)0，xy1且x0，y0。所以“lg xlg y0”成立，xy1必然成立，反之不然因此“xy1”是“lg xlg y0”的必要不充分条件综上可知，真命题是.答案：7已知方程x2(2k1)xk20，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件解：令f