椭圆的参数方程[共14页]

1、椭圆的参数方程椭圆的参数方程 例例1、如下图，以原点为圆心，分别以如下图，以原点为圆心，分别以a，b（ab0） 为半径作两个圆，点为半径作两个圆，点B是大圆半径是大圆半径OA与小圆的交点，过与小圆的交点，过 点点A作作ANox，垂足为，垂足为N，过点，过点B作作BMAN，垂足为，垂足为M， 求当半径求当半径OA绕点绕点O旋转时点旋转时点M的轨迹参数方程的轨迹参数方程. O A M x y N B 分析：分析：点点M的横坐标与点的横坐标与点A的横坐标相同的横坐标相同, 点点M的纵坐标与点的纵坐标与点B的纵坐标相同的纵坐标相同. 而而A、B的坐标可以通过的坐标可以通过 引进参数建立联系引进参数建立

2、联系. 设设XOA= 例例1、如下图，以原点为圆心，分别以如下图，以原点为圆心，分别以a，b（ab0） 为半径作两个圆，点为半径作两个圆，点B是大圆半径是大圆半径OA与小圆的交点，过与小圆的交点，过 点点A作作ANox，垂足为，垂足为N，过点，过点B作作BMAN，垂足为，垂足为M， 求当半径求当半径OA绕点绕点O旋转时点旋转时点M的轨迹参数方程的轨迹参数方程. O A M x y N B 解：解：设设XOA=, M(x, y), 则则 A: (acos, a sin), B: (bcos, bsin), 由已知由已知: 即为即为点点M M的轨迹的轨迹参数方程参数方程. . sinby cosa

3、x )( 为参数为参数 消去参数得消去参数得: : , b y a 1 2 2 2 2 x 即为即为点点M M的轨迹的轨迹普通普通方程方程. . 1 .参数方程参数方程 是椭圆的参是椭圆的参 数方程数方程. cosxa sinyb 2 .在椭圆的参数方程中，常数在椭圆的参数方程中，常数a、b分分 别是椭圆的长半轴长和短半轴长别是椭圆的长半轴长和短半轴长. ab 另外另外, 称为称为离心角离心角,规定参数规定参数 的取值范围是的取值范围是0,2 ) cos , sin . xa X yb 焦点在 轴 cos , sin . xb Y ya 焦点在 轴 O A M x y N B 知识归纳知识归纳

4、 椭圆的标准方程椭圆的标准方程: :1 2 2 2 2 b y a x 椭圆的参数方程中参数椭圆的参数方程中参数的几何意义的几何意义: : )( sinby cosa 为为参参数数 x x y O 圆的标准方程圆的标准方程: : 圆的参数方程圆的参数方程: : x2+y2=r2 )( siny cos 为为参参数数 r rx 的几何意义是的几何意义是AOP= P A 椭圆的参数方程椭圆的参数方程: : 是是AOX=,不是不是MOX=. 【练习练习1】把下列普通方程化为参数方程把下列普通方程化为参数方程. 22 1 49 xy 2 2 1 16 y x (1) (2) 3 cos 5 sin x

5、 y 8 cos 10 sin x y (3)(4) 把下列参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程 2 cos (1) 3 sin x y cos (2) 4sin x y 2 2 64100 (4)1 y x 2 2 925 (3)1 y x 练习练习2：已知椭圆的参数方程为已知椭圆的参数方程为 ( 是是 参数参数) ，则此椭圆的长轴长为（，则此椭圆的长轴长为（ ），短轴长为），短轴长为 （ ），焦点坐标是（），焦点坐标是（ ），离心率是），离心率是 （ ）。）。 2cos sin x y 4 2 3 2 ( , 0) 3 练习练习4 1、动点、动点P(x,y)在曲线在曲线 上变化上

6、变化 ，求，求2x+3y的最的最 大值和最小值大值和最小值 1 49 22 yx .,2626最小值最小值最大值最大值 2、取一切实数时，连接取一切实数时，连接A(4sin,6cos)和和B(-4cos, 6sin)两点的线段的中点轨迹是两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆圆 B. 椭圆椭圆 C. 直线直线 D. 线段线段 B 设中点设中点M (x, y) x=2sin-2cos y=3cos+3sin 2 94 22 yx 参数方程参数方程 二、圆锥曲线的参数方程二、圆锥曲线的参数方程 2、双曲线的参数方程 b a o x y ) M B A B A OBBy在中， ( , )M x y设

7、| | tanBBOBtan .b OAAx在中， | | cos OA OA cos b sec ,b sec () tan xa M yb 所以的轨迹方程是为参数所以的轨迹方程是为参数 2 a 2222 2 2 xyxy 消去参数后，得-=1,消去参数后，得-=1, b b 这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。 双曲线的参数方程双曲线的参数方程 双曲线的参数方程双曲线的参数方程 b a o x y ) M B AB A sec () tan xa yb 为参数 2 a 22 2 xy -=1(a0,b0)的参数方程为： b 3 ,2 ) 22 o 通

8、 常 规 定且，。 双曲线的参数方程可以由方程双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒等式与三角恒等式 22 22 1 xy ab 22 sec1tan 相比较而得到，所以双曲线的参数方程相比较而得到，所以双曲线的参数方程 的实质是三角代换的实质是三角代换. 说明：说明： 这里参数这里参数 叫做双曲线的离心角与直线叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同的倾斜角不同. 例例2、 22 22 100 xy MabO ab MAB MAOB (,) 如如图图，设设为为双双曲曲线线任任意意一一点点，为为原原点点， 过过点点作作双双曲曲线线两两渐渐近近线线的的平平行行线线，分分别别与与两两渐渐近近线线交交

9、于于 ， 两两点点。 探探求求平平行行四四边边形形的的面面积积，由由此此可可以以发发现现什什么么结结论论？ O B M A x y . b yx a 双曲线的渐近线方程为： 解：解： tan(sec ).M b ybxa a A 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为, 则直线的方程为 （asec ,btan ） ： b 将y=x代入，解得点A的横坐标为 a A a x = （sectan ） 2 . B a x = （se同理可得，点B的横坐cta 2 标n为）. b a 设 AOx= ,则tan. MAOB所以的面积为 MAOB S=|OA|OB|sin2 = AB xx sin2 cosc

10、os 222 2 a (sec-tan) =sin2 4cos tan. 2 bab a 22 aa = 22 MAOB由此可见，平行四边形的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。 例例3、已知椭圆已知椭圆 有一内接矩形有一内接矩形ABCD， 求矩形求矩形ABCD的最大面积。的最大面积。 22 1 10064 xy :10cos ,8sinA解 设 20cos,16sin 2016sincos 160sin 2 ADAB S ,ABCD160所以 矩形最大面积为 y XO A2A1 B1 B2 F1F2 A B C D Y X 练习练习3:已知已知A,B两点是椭圆两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭在第一象限的椭 圆弧上求一点圆弧上求一点P,使四边形使四边形OAPB的面积最大的面积最大. 2 2 94 1 y x : , AB