弯曲正应力(1)讲解

1、 m m M 一一、弯曲构件横截面上的应力弯曲构件横截面上的应力 当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有 剪力剪力FS，又有弯矩，又有弯矩M. 5.1 纯弯曲纯弯曲 m m m m M 在梁的横截面上一般既有在梁的横截面上一般既有正应力正应力，又有又有切应力切应力。 弯矩弯矩M 正应力正应力 剪力剪力FS 切应力切应力 x x FS M F F Fa FF aa CD AB 5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 1、变形几何关系、变形几何关系 2、物理关系、物理关系 3、静力学关系、静力学关系 纯弯曲的内力纯弯曲的内力 剪力

2、剪力Fs=0 切应力切应力 =0 正应力正应力 0 弯曲正应力的弯曲正应力的 分布规律分布规律和和计算公式计算公式 弯矩弯矩M0 纯弯曲正应力公式推导：纯弯曲正应力公式推导： 1、变形几何关系、变形几何关系 （一）纯弯曲实验：（一）纯弯曲实验： dx 观察到纵向线与横向线有何变化？观察到纵向线与横向线有何变化？ 纵向线纵向线由直线由直线曲线曲线 横向线横向线 由直线由直线直线直线 相对旋转一个角度后，相对旋转一个角度后， 仍然与纵向弧线垂直。仍然与纵向弧线垂直。 各纵向线的长度还相等吗？各纵向线的长度还相等吗？ 各横向线之间依然平行吗？各横向线之间依然平行吗？ 横截面绕某一轴线发生了偏转。横截

3、面绕某一轴线发生了偏转。 （二）提出假设：（二）提出假设： 1、平面假设：、平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面；变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面； 纵向纤维之间无正应力，没有相互挤压，纵向纤维之间无正应力，没有相互挤压， 2、假设：、假设：各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。 各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。 纤维长度不变纤维长度不变中性层中性层（既不伸长也不缩短）（既不伸长也不缩短） 各横截面绕各横截面绕中性轴发生偏转。中性轴发生偏转。 中性轴中性轴 （三）理论分析：（三）理论分析： y y的物理意义的物理意义纵向纤维到中性轴的距离；纵向纤维到中性轴的距离

4、； z y y 公式推导公式推导 点离开中性轴越远，点离开中性轴越远，该点的线应变越大。该点的线应变越大。 弯曲实验前：弯曲实验前： 实验后：实验后： y 变形几何关系变形几何关系 dx o o dx 2、物理关系、物理关系 虎克定律虎克定律E 弯曲正应力的分布规律弯曲正应力的分布规律 a、与点到中性轴的距离成正比；、与点到中性轴的距离成正比； c、正弯矩作用下，、正弯矩作用下，上压下拉； 上压下拉； 当当 5的细长梁，的细长梁， 用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力，用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力，误差 误差2% 满足工程中所需要的精度。满足工程中所需要的精度。 maxmax max

5、z My I 弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力公式适用范围 弯曲正应力公式弯曲正应力公式 Z I My 1 1、纯弯曲或细长梁的横力弯曲、纯弯曲或细长梁的横力弯曲 2 2、横截面沿、横截面沿y y轴对称轴对称 3 3、弹性变形阶段、弹性变形阶段 z y y maxc y maxt b h z y z d y z D d y z y 作弯矩图，寻找最大弯矩的截面作弯矩图，寻找最大弯矩的截面 分析：分析： 非对称截面，非对称截面， 例例1 T1 T型截面铸铁梁，截面尺寸如图。型截面铸铁梁，截面尺寸如图。 求最大拉应力、最大压应力。求最大拉应力、最大压应力。 64 7.64 10 m z I 计算最

6、大拉应力、最大压应力计算最大拉应力、最大压应力 z 52 88 9KN 1m1m 4KN 1m ACB 要寻找中性轴位置；要寻找中性轴位置； （2 2）计算应力：）计算应力： 33 ,max 6 4 1052 10 27.2MPa 7.64 10 t 33 ,max 6 4 1088 10 46.1MPa 7.64 10 c （1 1）求支反力，作弯矩图）求支反力，作弯矩图 B B截面应力分布截面应力分布 9KN 1m1m 4KN 1m ACB FA FB FA=2.5KN z I My 应用公式应用公式 z 52 88 FB=10.5KN M/KNm 4 2.5 （3 3）结论）结论 MPa

7、1 .46 max, c C C截面应力计算截面应力计算 33 ,max 6 2.5 1088 10 28.8MPa 7.64 10 t MPa8 .28 max, t 9KN 1m1m1m ACB FA FB 4KN C C截面应力分布截面应力分布 z I My 应用公式应用公式 zc 52 88 M/KNm 4 2.5 33 ,max 6 2.5 1052 10 17.0MPa 7.64 10 c C截面下端拉应力达到最大值截面下端拉应力达到最大值 B截面下端压应力达到最大值截面下端压应力达到最大值 30 z y 180 120 K 求：求：1、C 截面上截面上K点正应力点正应力 2、C

8、截面上最大正应力截面上最大正应力 3 3、全梁上最大正应力、全梁上最大正应力 4、已知、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径截面的曲率半径 例例2：矩形截面简支梁承受均布载荷作用：矩形截面简支梁承受均布载荷作用,如图所示如图所示 1m 3m q=60KN/m A C B 1、截面几何性质计算、截面几何性质计算 12 18. 012. 0 3 12 3 Z bh I 45 m10832. 5 确定形心主轴的位置确定形心主轴的位置 z 确定中性轴的位置确定中性轴的位置 180 120 确定形心的位置确定形心的位置 q=60KN/m 1m 3m A C B 2. 2. 求支反力求支反力 kN90

9、 Ay F kN90 By F mkN605 . 0160190 C M Z KC K I yM （压应力）（压应力） 3、C 截面上截面上K点正应力点正应力 30 z y 180 120 K 5 33 10832. 5 10601060 MPa7 .61 4、C 截面上最大正应力截面上最大正应力 Z max max I yM C C 5 33 10832. 5 10901060 MPa55.92 弯矩弯矩 公式公式 M x FS x 作内力图作内力图 kN90 Ay FkN90 By F q=60KN/m 1m 3m A C B 90kN 90kN m67.5kN8/ 2 ql 5 5、全梁

10、上最大正应力、全梁上最大正应力 mkN5 .67 max M Z max max W M MPa17.104 5 33 10832. 5 1090105 .67 危险截面危险截面 公式公式 Z maxmax max I yM mkN60 C M q=60KN/m 1m 3m A C B 6、已知、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径截面的曲率半径 45 m10832. 5 z I m4 .194 C Z C M EI 1 z M EI 3 59 1060 10832. 510200 三、弯曲正应力强度条件三、弯曲正应力强度条件 弯曲正应力弯曲正应力 的分布规律的分布规律 危险点：危险点：

11、距离中性轴最远处；距离中性轴最远处； 分别发生分别发生最大拉应力最大拉应力与与最大压应力最大压应力； M y z O x z max max max I yM 1、塑性材料、塑性材料抗拉压强度相等抗拉压强度相等 无论内力图如何无论内力图如何 梁内最大应力梁内最大应力 I yM z max max max 其强度条件为其强度条件为 通常将梁做成矩形、圆形、工字形等通常将梁做成矩形、圆形、工字形等 对称于中性轴对称于中性轴的截面；的截面； 此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。 因此：因此： 强度条件可以表示为强度条件可以表示为 w M z max max 无

12、论截面形状如何，无论截面形状如何，a 但对于塑性材料，但对于塑性材料， b 2、脆性材料、脆性材料抗拉压强度不等。抗拉压强度不等。 内力图形状有关。内力图形状有关。 梁内最大拉应力与最大压应力分别发生在梁内最大拉应力与最大压应力分别发生在 最大应力通常与截面形状，最大应力通常与截面形状， 通常将梁做成通常将梁做成T T形、倒形、倒T T形等形等 关于关于中性轴不对称中性轴不对称的截面。的截面。 离中性轴最远的最上边缘与最下边缘。离中性轴最远的最上边缘与最下边缘。 由于脆性材料抗压不抗拉，由于脆性材料抗压不抗拉， a a脆性材料的最大应力与截面形状有关脆性材料的最大应力与截面形状有关 MM 或者

13、或者 脆性材料梁的危险截面与危险点脆性材料梁的危险截面与危险点 上压下拉上压下拉 上拉下压上拉下压 b b脆性材料的最大应力与内力图有关脆性材料的最大应力与内力图有关 危险截面只有一个。危险截面只有一个。 t z t t I My max, c z c c I My max, 危险截面处分别校核：危险截面处分别校核： 二个强度条件表达式二个强度条件表达式 M 危险截面有二个；危险截面有二个；每一个截面的最上、最下边缘均是危险点；每一个截面的最上、最下边缘均是危险点； 脆性材料梁的危险截面与危险点脆性材料梁的危险截面与危险点 t z t t I My max, c z c c I My max,

14、 各危险截面处分别校核：各危险截面处分别校核： 四个强度条件表达式四个强度条件表达式 z Mw max z w max M 弯曲正应力强度计算的三个方面弯曲正应力强度计算的三个方面 1、强度校核、强度校核 t z t t I My max, c z c c I My max, 2、设计截面、设计截面 3、确定许可载荷、确定许可载荷 例例1 1：某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦：某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦 材料的许用应力材料的许用应力 MPa,140 kN,7 . 6 1 F,kN50 2 F起重量起重量跨度跨度m,5 . 9l 试选择工字钢的型号。试选择工

15、字钢的型号。 自重自重 分析分析 （2 2）根据弯矩图确定危险截面）根据弯矩图确定危险截面 （5 5）计算）计算 max M （6 6）计算）计算 ，选择工字钢型号，选择工字钢型号 z W z W M max max （3 3）截面为关于中性轴对称）截面为关于中性轴对称 （1 1）受力分析，画弯矩图）受力分析，画弯矩图 应用计算公式应用计算公式 FFF kN,7 . 6 1 F ,kN50 2 F m,5 . 9l （1 1）计算简图）计算简图 （2 2）绘弯矩图）绘弯矩图 M FL/4 z W M max max （3 3）危险截面）危险截面 KNmM 4 5 . 910)507 . 6(

16、3 max max M Wz 3 cm962 （4 4）强度计算）强度计算 （5 5）选择工字钢型号）选择工字钢型号查书查书352352页表页表4 4， 选选36c36c工字钢工字钢 3 cm962 z W F=F1+F2 MPa140 例例2 2：T T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。 试校核梁的强度。试校核梁的强度。 MPa,60,MPa30 ct 9KN 1m1m 4KN 1m ACB z1 52 20 80 120 20 z 64 7.64 10 m z I （2 2）确定危险截面）确定危险截面 33 ,max 6 4 1052 10 27.2MPa 7.6

17、4 10 t 33 ,max 6 4 1088 10 46.1MPa 7.64 10 c （1 1）求支反力，作弯矩图）求支反力，作弯矩图 B B截面应力强度计算截面应力强度计算 9KN 1m1m 4KN 1m ACB FA FB FA=2.5KN FB=2.5KN 2.5KNm 4KNm M z I My 应用公式应用公式 zc 52 88 t c MPa30 t MPa,60 c 46 m1064. 7 z I （3 3）结论）结论 C截面强度计算截面强度计算 33 ,max 6 2.5 1088 10 28.8MPa 7.64 10 t z I My 应用公式应用公式 zc 52 88 MPa30 t MPa,60 c 46 m1064. 7 z I 2.5KNm 4KNm M 9KN 1m1