惯性矩计算讲解

1、返回 dz y z 0 h a b 定义定义 S y =A z dA Sz=A y dA 例：例：矩形截面，面积为矩形截面，面积为A A。求：求： S S y y 、 、 S Sz z、 S SzC zC 解：解： dy ( (与力矩类似与力矩类似) )是面积与它到轴的距离之积。是面积与它到轴的距离之积。 dA z y y z 22 2 0 b A hb zhdzS b y 2 2 2 )( 22 a h Aa h bh ahab ybdyS ha a z 1 1、静面矩（也叫面积矩简称静矩）、静面矩（也叫面积矩简称静矩） z y zC yC hdzdA -1 静矩和形心静矩和形心 1 1）同

2、一截面对不同轴的静）同一截面对不同轴的静 矩不同；矩不同； 2 2）静矩可为正，负值或零；）静矩可为正，负值或零； 3 3）静矩的单位为）静矩的单位为m m3 3; ; 1 1）形心公式：）形心公式： 2 2、形心：、形心：( (等厚均质板的质心与形心重合。等厚均质板的质心与形心重合。) ) )(正负面积法公式 A Ay y A Ax x iCi C iCi C dA x y y x 等厚等厚 均质均质 m my y m mx x m C m C d d 质心质心： A S A Ay At Ayt A S A Ax At Axt xAA y AA dd dd 等于形心坐标 C x C y td

3、Adm CxCCyC yASxAS A CiiCy xdAxAAxS A xdA x A ydA y A C A C A yA y A xA x ii C ii C A CiiCx ydAyAAyS 3.结论结论 当坐标轴过形心时，图形对自身形心轴的面积矩等于当坐标轴过形心时，图形对自身形心轴的面积矩等于 零；反之，若图形对某轴的面矩为零时，此轴必过图形零；反之，若图形对某轴的面矩为零时，此轴必过图形 的形心。的形心。 2.2.形心公式形心公式 3.3.组合图形的形心和面积矩组合图形的形心和面积矩 1 1）组合图形）组合图形 由简单图形（如三角形，圆形，矩形等）组合而成的由简单图形（如三角形，

4、圆形，矩形等）组合而成的 图形。图形。 2 2）组合图形面积矩及形心的计算公式）组合图形面积矩及形心的计算公式 等于各简单图形对同一轴的面积矩的代数和。即等于各简单图形对同一轴的面积矩的代数和。即 Cii AnAA ZnZZZ yAydAydAydASSSS. 21 21 i n i Cii i y C i n i Cii i z C A ZA A S Z A yA A S y 11 例例1 1：求图示求图示T T形截面的形心及对形截面的形心及对z z轴的静矩轴的静矩 选选坐标轴坐标轴z z1 1作为作为参考参考轴轴 方法方法3）负面积法）负面积法 Sz =(120 100 60)-2 ( 1

5、00 40 50 )= 32 10 mm3 1.求形心求形心 返回 mm30 220100 6010020 C y Sz (50+30) 2( 100 20 )32 10 mm3 方法方法2）不求形心）不求形心 Sz = AiyCi20 100 110 20 100 5032 10 mm3 i n i Cii C A yA y 1 知知A=A1+A2 yC 60yC 0 、求静矩、求静矩 i Cz AyS 方法方法1） z1 zC 20 20 100 y 100 B z yC1 I-2 -2 惯性矩、惯性积、极惯性矩惯性矩、惯性积、极惯性矩 1 1、惯性矩：、惯性矩：( (与转动惯量类似）与转

6、动惯量类似） A y A x AxI AyI d d 2 2 dA x y y x 它是图形面积与它对轴的距离的平方之积表达式为它是图形面积与它对轴的距离的平方之积表达式为 注意：注意： 1 1）同一截面对不同的轴惯性）同一截面对不同的轴惯性 矩不同；矩不同； 2 2）惯性矩永远为正值；）惯性矩永远为正值； 3 3）惯性矩的单位为）惯性矩的单位为m m4 4; ; 3 3、极惯性矩：、极惯性矩： A P AId 2 它是图形面积对极点的二次矩。它是图形面积对极点的二次矩。 2 2、惯性半径、惯性半径( (单位为单位为m)m) 表达式为表达式为 A I i A I i y y x x dA x

7、y y x A xyP IIdAyxIyx)( 22222 yxP III 图形对正交坐标轴的惯性矩之和等于它图形对正交坐标轴的惯性矩之和等于它 对此二轴交点的极惯性矩对此二轴交点的极惯性矩 z y o 例例求圆形截面对形心轴的惯性矩。求圆形截面对形心轴的惯性矩。 32 2 42 0 22 D ddAI D A P 00zyP III 解：解： I I-3 -3 惯性积惯性积 1. 1.定义：定义：图形对两个坐标轴的两个坐标之积的积分。图形对两个坐标轴的两个坐标之积的积分。 642 4 00 DI II P zy I I-3 -3 惯性积惯性积 2.2.表达式：表达式： A yz yzdAI

8、3.3.说明：说明： 1 1）同一图形对不同轴的惯性积不同；）同一图形对不同轴的惯性积不同； 2 2）惯性积可正，可负，可为零。）惯性积可正，可负，可为零。 3 3）惯性积的单位：）惯性积的单位：m m4 4 4.4.结论：结论： 当坐标系的两轴中的任一轴为图形的对称轴时，图形当坐标系的两轴中的任一轴为图形的对称轴时，图形 对此轴的惯性积为零，反之，若图形对坐标系的惯性对此轴的惯性积为零，反之，若图形对坐标系的惯性 积为零时，此坐标轴中必有一轴为图形的对称轴。积为零时，此坐标轴中必有一轴为图形的对称轴。 z y A2A1 bb h 返 1. 1.平行移轴定理平行移轴定理： C C yby xa

9、x 以形心为原点，建立与原坐标轴以形心为原点，建立与原坐标轴 平行的坐标轴如图平行的坐标轴如图 0 CxC AyS Abbyy Aby AyI C A C A C A x d)2( d)( d 22 2 2 AbII xCx 2 dA x y y x a b C xC yC - 4- 4平行移轴公式平行移轴公式 AbbSI xCxC 2 2 - 4- 4平行移轴公式平行移轴公式 2.2.结论：结论： abAII AbII AaII xCyCxy xCx yCy 2 2 B)B)当图形至少有一条轴是图形的对称轴时当图形至少有一条轴是图形的对称轴时, ,则有则有 A)A)在所有的平行轴中在所有的平

10、行轴中, ,图形对自身形心轴的惯性图形对自身形心轴的惯性 矩为最小。矩为最小。 0 xCyCxy IabAI dA x y y x a b C xC yC 例例 组合截面惯性矩的计算组合截面惯性矩的计算,求截面对求截面对ZC轴的惯性矩。轴的惯性矩。 5 33 22 2 1067.16 12 10020 12 hb I z 452523 2 2 221 2 11 1034.532000301067.162000301067.66 )()( mm AaIAaII zzzC 返回 3 33 11 1 1067.66 12 20100 12 hb I z 20 20 100 z y 100 A2 z2

11、 zc 30 z1A1 解：解：1 1）写出）写出A1，A2及其形心坐标及其形心坐标a1；a2 2 21 2 1 200010020 30 301020 mmAA mma mma 2)2)求出求出A A1 1和和A A2 2分别对自身形心分别对自身形心 轴的惯性矩轴的惯性矩 3 3）求对整个截面形心）求对整个截面形心Z ZC C轴的惯性矩轴的惯性矩 a1 a2 dA z z z y a z1 z1 y1 z1 I-5-5转轴公式及主惯性矩转轴公式及主惯性矩( (简介简介) ) （Rotational axis theorem Principal moment of inertia） 1. 1.

12、转轴公式转轴公式: : 当坐标轴绕原点转一个角度后当坐标轴绕原点转一个角度后, ,得到一个新的坐标轴时得到一个新的坐标轴时, ,转轴公式给转轴公式给 出在新旧坐标轴下的惯矩及惯积的关系出在新旧坐标轴下的惯矩及惯积的关系. . aa aa sincos sincos 1 1 yzz zyy aaa aa 2sinsincos )sincos( 22 22 11 yzzy AA z III dAzydAyI 2 2cos1 sin 2 2cos1 cos 22 a a a a aa aa aa 2cos2sin 2 2sin2cos 22 2sin2cos 22 11 1 1 yz Zy ZY yz ZyZy Z yz ZyZy y I II I I IIII I I IIII I 2)2)主惯性矩主惯性矩: :相对主轴的惯性矩就称为主惯性矩相对主轴的惯性矩就称为主惯性矩. . 2.2.三个公式三个公式: :设新坐标系由原