2018年甘肃省兰州市高三一诊数学（文）试题（解析版）

1、2018届甘肃省兰州市高三一诊数学（文）试题（解析版）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ， ，所以 或，故选C.2. 已知复数（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）A. 复数的实部为 B. 复数的虚部为C. 复数的共轭复数为 D. 复数的模为【答案】D【解析】的实部是，虚部是，共轭复数为，的的模是错误，故选D.3. 已知数列为等比数列，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】数列为等比数列，本题选择C选项.4. 若双曲线的两条渐近

2、线分别与抛物线的准线交于，两点，为坐标原点.若的面积为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】双曲线的两条渐近线方程是，又抛物线的准线方程是，故A，B两点的横坐标分别是，又的面积为，本题选择B选项.5. 已知圆：，直线：，则圆上任取一点到直线的距离大于的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图所示，设直线与直线之间的距离为，弧ACB和弧EFG上的点满足题意，且：，由角度型几何概型计算公式可得圆上任取一点到直线的距离大于的概率：.本题选择B选项.点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度

3、比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比6. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】直线与直线平行，直线化为：.它们的距离为.本题选择A选项.7. 某程序框图如图所示，则程序运行后输出的的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】模拟程序框图的运行过程，每四个和为，可得出该程序运行后输出的算式： + ，所以该程序运行后输出的值是，故选A.8. 刘徽九章算术注记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居

4、一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据几何体的三视图知，该几何体是底面为边长为1的正方形，且一长为1的侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示，可将其补形为棱长为1的正方体，则其外接球的表面积为正方体的外接球的表面积，显然外接球半径为，所以其外接球的表面积为本题选择B选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，

5、确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.9. 设：实数，满足，：实数，满足，则是的（ ）A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要的条件【答案】C【解析】由：实数，满足，画出可行域如图中阴影部分所示，由p：表示圆心为半径为的圆的内部，观察可得p是q的必要不充分条件.本题选择C选项.10. 若等比数列的前项和为，其中，是常数，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】很明显，否则为常数，只能是，与是

6、等比数列矛盾，时，时，；时，为等比数列，本题选择D选项.11. 抛物线的焦点为，是抛物线上两动点，若，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】.在中,由余弦定理得：，又.所以的最大值为.本题选择A选项.点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式12. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，不等式成立，若，则，之间的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】构造函

7、数，则，当时,不等式成立，当时,函数单调递减.函数是定义在上的偶函数，在上是奇函数，在上是减函数.而，.本题选择C选项.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若，则_【答案】【解析】，故答案为.14. 已知样本数据，的方差是，如果有 ，那么数据，的均方差为_【答案】4【解析】因为样本数据，的方差是，且，所以，的方差为数据，的均方差为，故答案为.15. 设函数 向左平移个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则_【答案】【解析】把函数的图象向左平移个单位长度后，可得的图象，结合得到的函数为一个奇函数，则，因为令 可得，故答案为.【方法点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性和图象的变

8、换，属于中档题.已知的奇偶性求时，往往结合正弦函数及余弦函数的奇偶性和诱导公式来解答：（1）时， 是奇函数；（2） 时， 是偶函数.16. 若向量，且，则的最小值为_【答案】9【解析】，当且仅当时取等号.所以的最小值为9.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知向量，函数.（1）求的最小正周期；（2）当时，的最小值为，求的值.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）根据平面向量数量积公式以及两角和的正弦公式化简，利用周期公式可得的最小正周期为

9、；（2）由（1）知：，当时，利用正弦函数的单调性，结合正弦函数的图象可得到的最小值为，即.所以当时，的最小值为.又的最小值为，即.试题解析：（1）由题意知： ，所以的最小正周期为.（2）由（1）知：，当时，.所以当时，的最小值为.又的最小值为，即.【方法点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.18. 如图所示，矩形中，平面，为上的点，且平面.（1

10、）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由线面垂直的性质结合矩形的性质可得，由线面垂直的性质可得，则平面.（2）由题意可得，由三角形中位线的性质可得.结合(1)的结论转化顶点可得 .试题解析：（1）因为面，所以，又，所以.因为面，所以.又，所以面，即平面.（2）因为，所以，又因为为中点，所以.因为面，所以面.所以 .19. 交管部门为宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市岁的人群抽样了人，回答问题统计结果如图表所示：分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第组第组第组第组第组（1）分别求出，的值；（2）从第，组回答正确的人中用分层抽样方

11、法抽取人，则第，组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的人中随机抽取人颁发幸运奖，求：所抽取的人中至少有一个第组的人的概率.【答案】（1）见解析.（2）人，人，人.（3）.【解析】试题分析：(1)由题意结合频率分布表和频率分布直方图可得，.（2）由题意结合分层抽样的概念可得第，组每组应各依次抽取人，人，人.（3）记抽取的人中，第组的记为，第组的记为，第组的记为，列出所有可能的结果，结合古典概型计算公式可得所抽取的人中至少有一个第组的人的概率为.试题解析：（1）第组人数，所以，第组人数，所以，第组人数，所以，第组人数，所以，第组人数，所以.（2）第，组回答正确的人的比为，所以

12、第，组每组应各依次抽取人，人，人.（3）记抽取的人中，第组的记为，第组的记为，第组的记为，则从名幸运者中任取名的所有可能的情况有种，他们是：，.其中第组至少有人的情况有种，他们是：，.故所求概率为.20. 已知圆：，过且与圆相切的动圆圆心为.（1）求点的轨迹的方程；（2）设过点的直线交曲线于，两点，过点的直线交曲线于，两点，且，垂足为（，为不同的四个点）.设，证明：；求四边形的面积的最小值.【答案】（1）.（2）见解析.【解析】试题分析：（1）设动圆半径为，由于在圆内，圆与圆内切，由题意可得 ，则点的轨迹是椭圆，其方程为.（2）由题意可知，而，为不同的四个点，故.若或的斜率不存在，四边形的面积

13、为.否则，设的方程为，联立直线方程与椭圆方程可得，同理得，则 ，当且仅当时等号成立.则四边形的面积取得最小值为.试题解析：（1）设动圆半径为，由于在圆内，圆与圆内切，则， ，由椭圆定义可知，点的轨迹是椭圆，的方程为.（2）证明：由已知条件可知，垂足在以为直径的圆周上，则有，又因，为不同的四个点，.解：若或的斜率不存在，四边形的面积为.若两条直线的斜率存在，设的斜率为，则的方程为，解方程组，得 ，则，同理得， ，当且仅当，即时等号成立.综上所述，当时，四边形的面积取得最小值为.点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关

14、直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题21. 已知函数 .（1）若图象上处的切线的斜率为，求的极大值；（2）在区间上是单调递减函数，求的最小值.【答案】（1）见解析.（2）.【解析】试题分析：（1）由题意可得函数的解析式，则，故时，取极大值.（2）由题意可得在上恒成立，则 ，结合线性规划的结论可得的最小值为.试题解析：（1），由题意得且，即，解之得，.，令得，列表可得+-+极大值极小值当时，取极大值.（2）在上是减函数，在上恒成立， ，即，作出不等式组表示的平面区域如图当直线经过点时，取最小值.（二）选考题：共10分.请考生在22、2

15、3题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程是（是参数），圆的极坐标方程为.（1）求圆心的直角坐标；（2）由直线上的点向圆引切线，并切线长的最小值.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）利用两角和的余弦公式展开解析式，两边同乘以利用 即可得圆的直角坐标方程，从而可得圆心坐标；（2）参数方程利用代入法消去参数可，得直线的普通方程为，可得圆心到直线距离是，于是直线上的点向圆引的切线长的最小值是.试题解析：（1），圆的直角坐标方程为，即，圆心直角坐标为.（2）方法1：直线上的点向圆引切线长