不可压缩粘性流体的流动§1粘性流体中的应力

1、第七章 不可压缩粘性流体的流动 1 粘性流体中的应力 2 不可压缩粘性流体运动的基本方程 4 边界层的概念 5 边界层微分方程 6 边界层动量积分式 7 平板边界层的近似计算 8 曲面边界层的流动分离 9 绕流物体的阻力 1 粘性流体中的应力（简介） 应力的表示法： ij p 第一个下标表 示应力作用面的 法线方向；第二 个下标表示应力 作用方向。 ii p 理想流体没有切向力，只有法向力 实际流体既有法向力，也有切向力，如图， 由于应力的对称性，应力中只有6个分量 是独立的。它们是： 主应力： xxyyzz ppp 切应力： xyyxxzzx zyyz pppp pp 2 xx u pp x

2、 对不可压流体，主应力可表示为： 2 zz w pp z 2 yy v pp y 一般情况下，三个法向应力不相等， 其关系是： 1 () 3 xxyyzz pppp 对理想流体： xxyyzz pppp () () () xyyx yzzy zxxz vu pp xy wv pp yz uw pp zx 切应力可 表示为： 这说明粘性流体中三个互相垂直的法向应 力的平均值的负值等于该点的动压强。 7-2 不可压粘性流体运动的 基本方程简介 将微元体所受的惯性力、质量力和 表面力代入牛顿第二定理 Fma 222 222 () xx puuu af xxyz 可得不可压粘流的运动微分方程：N-S方

3、程 222 222 () yy pvvv af yxyz 222 222 () zz pwww af zxyz 2 1DV fpV Dt 此式称为NS方程 222 222 222 222 222 222 () () () x y z uuuupuuu uvwf txyzxxyz vvvvpvvv uvwf txyzyxyz wwwwpwww uvwf txyzzxyz 矢量表达： 将加速度展开有: N-S方程与连续性方程联立，四个方程 四个未知数u、v、w和p，方程为封闭的 方程组。 加上初始条件，边界条件，就可以 解该方程。 实际上N-S方程是非线性偏微分方程，很难 求解。它的解有以下几种处

4、理方法： 精确解： N-S方程中的加速度对流项是非线性 项，这使得方程的求解非常困难。对于某 些简单的流动，非线性对流项消失，N-S 方程变为线性的方程，用解析的方法求出 其解，这类解称为精确解。 在文献中能查到的精确解至今为止 只有几十个，而且其中的大部分不能够直 接应用到实际问题中去。 近似解： 小雷诺数Re情况，此时粘性力较惯性 力大得多。可以全部或部分地忽略惯性力 得到简化的线性方程。 大雷诺数Re情况，若将粘性力全部略 去，只在贴近物面很薄的一层“边界层” 中考虑粘性的影响，且根据问题的特点， 略去粘性力中的某些项，从而得到简化的 边界层方程（仍是非线性的）。 对于中等雷诺数Re的情

5、况， 惯性力和粘性力都必须保留，此 时只能通过其它途径简化问题， 或者利用数值计算方法求N-S方 程的数值解。 7-4 边界层的概念 1、边界层的形成： 当流体绕流物体时，物面情况如图 边界层外 边界线 当Re很小时，沿y轴方向，速度缓慢增加， 直至无穷远才达到 。V 当Re很大时，整个流场可以明显地分成性 质很不相同的两个区域。 1） 紧贴物面非常薄的一层区域称为边界层。 在该区域内，速度分量u 沿物面的法向变 化非常迅速，即 很大。虽然在大Re数情 形，但因 很大，故粘性应力 u y u y u y 仍然可以达到很高的数值。它所起的作用 与惯性力同等重要。因此在边界层内不能 全部忽略粘性力

6、。 我们将这种在大雷诺数下紧靠物面处流 速从零急剧增加到与来流同量级大小的 薄层称为边界层。 u y 2） 边界层外的整个流动区域称为外部流 动区域。 在该区域内， 很小，因此粘性应力 在大Re数情形下比惯性力小得多可以将粘 性力全部略去，因而把流体近似地看成是 理想的。对于均匀来流绕过物体的流动而 言，在整个外部流动区域中不仅可把流体 视为理想的，而且运动是无旋的。 边界层的内外边界是没有 明显的分界线， 一般在实际应用中，把边界层厚度规定为： 0.99V 当物面法向速度达到 时的法向距 离定义为边界层厚度，用来表示。 流体在前驻点处速度为零，0，沿流动 方向增加。附面层外边界线与流线不重合

7、， 流线可深入到边界层内。 边界层具有以下特点： 0 p y u y 1.与物体的长度相比，附面层的厚度很小 2.在内， 很大。 3.沿流动方向增大。 4.由于很小，可以近似认为附面层内外 同一截面上的压力相等，即 对于平 板还有 全流场压力不变。 0 p x 证明：如图，在11截面上有 则 0 p y 1 11 ppVV 1122 22 pVpV gggg 1 V 1 2 2 0 在22截面上 有 则 0 p y 2 22 ppVV 由于1和2同属边界层外边界上，可看成无 旋流，由势流的伯努利方程： 12 VVV而 12 12 pppp 即 0 p x y x 层流边界层 5.边界层内的流动

8、也可分为层流和紊流， 当两种状态都存在，称混合边界层。如图 混合边界层 V 0 V 0 xc U U U 粘性底层 层流边界层层流边界层紊流边界层紊流边界层过渡过渡 区区 边界层界限边界层界限 xcr x y Ux Ux x 56 R510310 ex ex c R x V * 由层流转化成紊流的雷诺数为： 转捩点： 二、排移厚度 、动量损失厚度 * * 0 (1) u dy U 定义： 边界层内的速度为 ，外部势流的速度 为 。对于平板 ( , )u x y ( )U x ( )U xV 排移厚度 由于流速受到壁面的阻滞而降低，使得 边界层内通过的流量与理想流体时通过的流 量减少，相当于边界

9、层的固体边界向流动内 区域移动了 。 * 的物理意义： * * 0 (1) u dy U * 0 0 (1) u UUdy U Uudy 由 第一项 表示当流体是理想流体，通过面 积1时的质量流量，图中矩形面积abcd。 U 第二项 表示由于粘性有边界层存在， 通过面积1时的质量流量，图中面积acda。 0 udy * U 为理想流体和实际流体通过同一面积 的质量流量的差 ，图中面积abca，也可看 成以速度U通过面积 时的质量流量。 * 1 称为动量损失厚度。 * 0 (1) uu dy UU 边界层内流速的降低不仅使通过的流体 质量减少，而且也使通过的流体的动量减少。 两者相差相当于将固体

10、壁面向流动内部移动 一个的 距离。 * 定义： 物理意义： 例：已知二元平板层流边界层的速度分布 可用如下函数近似： sin()uU abyc 其中U为无穷远处来流，a.b.c 为待定常数, 试用边条及外部势流的衔接条件确定 a.b.c， 并求出 , 。 * * y 7-5 边界层微分方程（简介） 流体绕物 体的流动 势流区 边界层区 势流理论 边界层方程 直接解N-S 方程推导 边界层方程是简化的N-S方程 基本思想： N-S描述了流体所受的惯性力、 压力、质量力和粘性力之间的数学关系。 如果某种力与其它力相比是小量，则这个 力就可以忽略不计。 在边界层中，边界层厚度与物体的长度 的比值 是

11、一个小量。/L 记为 1 L 引入特征量:将N-S方程中的各物理量无 量纲化。 , xyuvp xyuvp LUVP 这些无量纲化的物理量与1具有相同的量级 N-S方程的无量纲化 22 2 222 ()()( ) uVLuPpuLu uv xUyxULUxy 1 1 1 11 2 1 2 1 1 2222 22222 ()()()( )()() VvV LvPLpVvVLv uv UxyyULUUUxUy 1 2 1 1 1 11 2 1 2 1 1 连续性方程 ()0 uVLv xUy 1 11 分析各量纲略 去小量得： 2 2 0 0 uupu uv xyxy p y uv xy 第二个方

12、程得到重要得结论： 边界层的压强沿y方向是不变的 由伯努利方程得 1dpdU U dxdx 边界层微分方程组可改写为： 2 2 0 0 uudUu uvU xydxy p y uv xy 边界条件为 00yuv ()U(x)yu或 简化的边界层微分方程仍是非线性的，在 个别情况可用相似性法求解，一般情况要 用级数展开法和数值计算法。 工程上大量应用一种近似解的方法即边 界层动量积分式。 7-6 边界层动量积分关系式 取一控制体，其边界由壁面、边界层 外缘和相距为dx的两个横截面构成。 讨论控制体内质量和动量的变化 经AB流入的质量和动量： 2 0 u dy 经CD流出的质量和动量 22 00

13、() d u dyu dy dx dx 0 udy 0 00 ()() dud udx dyudyudy dx dxdx 经边界层外缘AC流入控制体的质量应等 于CD面上流出减AB面上流入 0 () d udy dx dx 故由AC流入的动量流量为 0 () d Uudy dx dx 规定流出为正，流入为负，控制体内流体 动量变化量为 2 00 ) dd u dyUudy dx dxdx 再讨论受力情况 AB面上受力：p CD面上受力： ()() dp pdxd dx 由于AC处于边界层外 ()sin 2 dp dx pACpd dx 壁面BD上的受力： 0dx AC面上受力： 边界上，可看成

14、理想流体，粘性切应力 可忽略，只有受压力 21 () xxx FQ VV x方向总的受力为： 0 0 () () ddp pppdxdxdxpd dxdx dp dx dx 由动量方程 有 0 () dp dx dx 2 00 ) dd u dyUudy dx dxdx 化简： 2 0 00 ) dddp u dyUudy dxdxdx 注意到 dpdU U dxdx 000 00 dddU UudyUudyudy dxdxdx ddU uUdyudy dxdx 可将方程改写为 0 00 () ddUdU u uU dyUudy dxdxdx 均质不可压缩流体常数，有 2 0 00 (1)(1

15、) duudUu UdyUdy dxUUdxU 将 代入 * 0 (1) uu dy UU * 0 (1) u dy U 方程是以x为变量的一阶常微分方程，它 有三个未知量， 因此方程不封闭，需要补充两个关系式 才能求解。 * 00 u、 、或 * * 0 2 1 (2) ddU dxU dxU 各项除以 得卡门动量积分关系式 2 U 7-7 平板边界层的近似计算 * * 0 2 1 (2) ddU dxU dxU 对于平板问题： * 0 2 d dxU 三个未知数，需要补充两个方程，一般是 给定u和 ，u和 的近似表达式越接近 实际，求出的 就越精确。 * 0 (1) uu dy UU 0

16、0 ( )x 由 UVconst 一、层流平板边界层 1、假设速度分布为一多项式： 234 01234 ucc yc yc yc y 2、多项式系数的确定，条件 0 0 ,0c0yu有 已知板长为L板宽为B,求平板上的摩擦 阻力和边界层的厚度。 步骤： a) ,yuUV 有 234 1234 Ucccc b) c) d) ,0 u y y 23 1234 0234cccc 0 ,0yuv 2 22 0 02c0 y u y 得 2 342 02c0 y u c y 得 可解得5个系数 134 34 02 2,2, 0 UUU ccc cc ,0 ,0 uU yuUv xx e) 0 0 2 y

17、 uU y 故速度分布为： 34 2( )2( )( ) uyyy U 3、 的补充式 0 4、求 * * 0 37 (1) 315 uu dy UU 5、将 和 代入动量积分式： 0 * * 0 2 d dxU 有： 372 315 d dxU 是常微分方程 372 315 ddx U 积分 2 1261 37 x c U 当0,00 xc 故 2 5.845.845.84 ex xx x x R UU e R 随 x 而 ，随 而 ，即边界层厚度随流 动方向增厚且雷诺数越大，边界层越薄。 注意：边界层厚度表达式不止一个，但与x 和 的规律不变。 e R 6、求摩擦阻力 0 由 2 0 21

18、 0.343 ex U U R eL VL ALbR L b 沿板长积分 2 0 0 0.686 D eL L dF R bxU A 式中 用摩擦阻力系数表示阻力： 令 有 2 1 2 D f F c U A 1.732 f eL c R 二、平板湍流边界层简介 层流边界层限于临界雷诺数以下的区 域，对于大多数工程问题，都是大于临界 雷诺数的湍流边界层问题。为了计算简单， 一般认为湍流边界层从前缘点开始，其计 算方法与层流边界层相同，只不过速度分 布 借用圆管紊流 次方规律： 1/ 71/ 7 max0max ()() uyuy uru 1 7 2 0 8 V 切应力分布也借用圆管紊流规律：

19、由此解出 和 。结果比较： f c 1） 的比较： 层流： 5.84 ex x R 紊流： 与 正比 1 2 x 5 0.381 ex x R 4 5 x 与 正比 2） 的比较： 1.732 f eL c R f c 层流：紊流： 5 0.074 f eL c R 对一定的 ，紊流的摩阻系数大于 层流的摩阻系数。 eL R 紊流边界层的厚度比层流边界层的厚度 随 x 增加而增加得快。 三、平板混合边界层简介 当流体绕流平板时，在前端出现的 是层流边界层，只有超过一定的位置后， 边界层才会完全变成湍流。 0 A B x c 从层流转变为湍流的点称为转捩点， 此时的雷诺数称为临界雷诺数。 56

20、Re510310 c c x V x 计算思路： 计算oA段层流的摩阻系数 计算oB整板上的摩阻系数 计算oA段紊流的摩阻系数 foA c 层 foB c 紊 foA c 紊 混合边界层的摩阻系数： f c （ ） foA c 层foB c 紊 foA c 紊 7-8 曲面边界层的流动分离 在正常情况下，边界层中的流动方向 与主流方向一致，但是对非流线型物体， 往往会发生下列现象： 物面上的边界层在 某个位置上与物面 分离，所谓分离是 指在物面附近出现 与主流方向相反的 回流。 边界层分离又称为边界层的脱体， 分离点又称为脱体点。流线型物体在 非正常情况下也能产生分离。 在某些特殊情况下，分离

21、了的边 界层有可能再次附着在物面上，从而 在物面附近形成封闭的回流区， 一、分离流动的特点 对平板边界层有 且在边界层 外边界上各点的速度为常数。当流体绕流 曲面时，由于 固壁曲面使过流截面发生 变化，因而边界层外边界上的速度 则各点的压力 p 也不相等，即 这对流动有很大影响。 0,0 pp xy Uc 0,0 pp yx 讨论流体绕流曲面时压力和速度的变化: 00 pu xx oM o M A B 在 段：流体 降压增速 当到达曲面最高点 M处，压力降至最小， 速度达到最大。 0 p x MA 0 dp dx 0 u x 在 段，由于过流截面的变化，流 体的动能减小压力要升高 此时，流体的

22、动能不仅要克服摩擦阻 力，还要转化成压能，使得流体速度 急剧减小，边界层厚度不断增厚，到 达曲面A点时边界层内流体的动能被耗 尽，这部分流体便停止不前。而此同 时，主流的流体可伸入边界层内，使 得A点后的流体压力继续升高，曲面附 近的流体被迫反向倒流而使边界层与 壁面分开，这种现象称为边界层分离。 A点称为分离点。发生分离后，主流 和回流碰撞产生漩涡，在物体后部形 成尾涡区，漩涡的运动要消耗能量， 使得物体后部的压力不能恢复到物体 前部的压力，使得物体前后形成压力 差，产生阻力。这种阻力称压差阻力。 在分离点及其上下游作速度剖面图， 可以发现，在分离点A上满足 0 0 y u y 上式是普朗特

23、首先作为分离判据提 出来的，显然在分离点上 。 0 w A点之前： 0 0 y u y A点之后： 0 0 y u y A点： 二、分离机理 顺压梯度区 ，由于顺压差引 起边界层区中流动加速 ，动能不 断增加，因而边界层中流动不会出现滞 止。 逆压梯度区 ，逆压差引起边 界层区中流动减速 ，另一方面 主流区提供给边界区的动能又有所减小。 故在逆压梯度作用下，可能首先产生滞 止。 0 dp dx 0 dp dx 0 0 y u y 0 0 y u y 逆压梯度越大，则越易产生分离。 在逆压梯度区足够长的区域中，最终 将产生分离。 由此可知：粘性流体在低压增速区域 不会发生边界层分离，只有在增压降

24、 速过程才有可能发生分离。 分离条件： 1）逆压流动 2）粘性的滞止作用 0 dp dx 0 0 y u y 三、锐缘效应 在自然界或在工程问题中，我 们发现，流体绕过任何物体的尖缘 时，总要出现分离。 迎流面为顺压梯度区，背流面为逆 压梯度区。当流体绕过此物体时，由于 流体离心作用，在2点附近压力最低。 曲率越大，则此点压力越低，因此，对 于曲率大的物体边缘，在其背流面很容 易产生分离。当边缘为尖角时，则必然 产生分离。 分离点的位置与物体的形状有关：钝头 体，分离点靠前，后面的涡区大；流线 形的物体分离点靠后，甚至可不分离。 沿汽车外表面在档风玻璃前和尾部都会 发生附面层分离。 7-9 绕

25、流物体的阻力 物体在粘性流体中运动时，会受到阻 力作用。平板的阻力计算已介绍，曲面 受到的阻力一般需通过试验来确定。 如图将一翼形固定，让 气流以 绕翼形流动， 这时，翼形受到的作用 一、绕流阻力的计算： 0 u 力为 F,可将 F 分解成 FL 和 FD F FD FL u0 p 升力 LL FVF D F绕流阻力 绕流阻力从机理上可分析是由两 部分组成：一是由粘性直接作用的结 果,二是由粘性间接作用的结果，其 物理表达式为： cossin D ll FdLpdL 是作用在壁面上的切应力，由它 引起的阻力称摩擦阻力。 2 1 2 DD FcV A p是作用在壁面上的压应力,由它引 起的阻力称

26、压差阻力。 式中： 阻力系数 虽然产生阻力的机理分析得很清楚，但 要从量上求出各部分的大小却很困难依 靠实验和因次分析法可得到阻力计算式 D c A 迎流面积（与来流垂直） 二、影响FD的因素： 1、与粘性有关。 ，摩阻增大。 2、与物体形状有关，与物体的方位有 关。在相同条件下，迎流面积越大， 尾部漩涡区越大，前后压差越大，压 阻增大。 与物体所放的方位有关，同是流线形的 机翼，有攻角和无攻角的涡区不同。 3、与物体的粗糙度有关。 表面粗糙度越大，越易形成紊流边界层 使得摩阻增大，但紊流度越大，流体的 动能越大，分离点后移，压阻减小。 可能总阻力减小。要综合考虑。 光滑柱面 4、与来流 有关

27、，即与 有关。 V e R 越大越易形成紊流边界层，摩阻 增大但分离点后移压阻减小 e R 粗糙柱面 大量试验表明，在不同雷诺数条 件下，流动现象的差异是明显的。 以绕流小球流动为 例： 在Re1条件 下其特点为：流动 上下，前后对称， 呈稳定层流状态。 物体阻力来源于物面粘性切应力的合 力，即摩擦阻力。 在 35Re3040条件下，其特 点为在背风面出现对称旋涡区。物体 阻力由两部分组成：摩擦阻力和压差 阻力（物面上压力的合力在流动方向 的分量）。 摩擦阻力与压 差阻力具有同 等重要性。 在3040Re8090条件下， 其特点为在背风区的对涡区出现摆 动，但仍呈层流状态。物体阻力由 摩擦阻力和压差阻力组成，它们具 有同等重要性。 在8090Re150300条件下，其 特点是在背风面