高中数学 第一章 坐标系 1.5.2 球坐标系学案 -4

1、学必求其心得，业必贵于专精15.2球 坐 标 系读教材填要点1球坐标系设空间中一点m的直角坐标为(x,y，z），点m在xoy坐标面上的投影点为m0，连接om和om0，设z轴的正向与向量的夹角为，x轴的正向与0的夹角为，m点到原点o的距离为r,则由三个数r,，构成的有序数组(r，）称为空间中点m的球坐标在球坐标中限定r0，02，0。2直角坐标与球坐标的转化空间点m的直角坐标（x，y，z)与球坐标（r，）之间的变换关系为小问题大思维球坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？提示：空间某点的球坐标中的第二个坐标就是该点在xoy平面上投影点的极坐标中的第二个坐标.将球坐标化为直角坐标例1已知点m的球坐标为

2、，求它的直角坐标思路点拨本题考查球坐标与直角坐标的变换关系解答本题需要先搞清球坐标中各个坐标的意义，然后代入相应的公式求解即可精解详析m的球坐标为,r5,。由变换公式得故它的直角坐标为。已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求解，但要分清哪个角是，哪个角是.1已知点p的球坐标为，求它的直角坐标解：由变换公式得xrsin cos 4sin cos2，yrsin sin 4sin sin 2，zrcos 4cos2.它的直角坐标为(2,2，2）.将直角坐标化为球坐标例2设点m的直角坐标为(1，1，），求它的球坐标思路点拨本题考查直角坐标与球坐标的变换关系解答本题只需将已知条件代入变换公式求解即可

3、，但应注意与的取值范围精解详析由坐标变换公式,可得r2。由rcos z，得cos ，.又tan 1,(x0，y0），所以知m点的球坐标为。由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点m的球坐标为（r,，),再利用变换公式求出r，代入点的球坐标即可;也可以利用r2x2y2z2,tan ,cos 求解特别注意由直角坐标求球坐标时，和的取值应首先看清点所在的象限,准确取值，才能无误2设点m的直角坐标为，求它的球坐标解：由变换公式得r1。由rcos z得cos ，.又tan （r0，y0），得，m的球坐标为.球坐标系的应用例3在赤道平面上,我们选取地球球心o为极点，以o为端点且与零子午线相交的射线ox为极轴

4、，建立坐标系有a,b两个城市,它们的球坐标分别为ar，,br,.飞机沿球的大圆圆弧飞行时，航线最短，求最短的路程思路点拨本题考查球坐标系的应用以及球面上的最短距离解答本题需要搞清球的大圆的圆心角及求法精解详析如图所示，因为a,b,可知aoo1o1ob，o1aoo1bo.又eoc，eod,cod。ao1bcod.在rtoo1b中，o1bo,obr，o1bo1ar。ao1b，abr.在aob中，aboboar，aob。故飞机沿经过a，b两地的大圆飞行，航线最短，其路程为r。我们根据a，b两地的球坐标找到纬度和经度，当飞机沿着过a，b两地的大圆飞行时，飞行最快求所飞行的路程实际上是要求我们求出过a，

5、b两地的球面距离3.用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为a，b8，b，求出这两个截面间的距离解：由已知，oaob8，aoo1，boo1。在aoo1中，oo14.在boo2中，boo2，ob8，oo24，则o1o2oo1oo28。即两个截面间的距离o1o2为8.一、选择题1已知一个点p的球坐标为，点p在xoy平面上的投影点为p0，则与的夹角为()ab.c. d.解析:选a，op与op0之间的夹角为。2点m的球坐标为(r，,）(,（0，),则其关于点（0,0，0）的对称点的坐标为()a（r，） b（r，,）c(r，) d(r,）解析：选d设点m的直角坐标为(x,y,z

6、），则点m关于(0，0，0）的对称点m的直角坐标为（x,y，z），设m的球坐标为（r,，）,因为所以可得即m的球坐标为(r，)3点p的球坐标为,则它的直角坐标为（)a(1，0，0) b（1，1，0)c(0，1,0） d(1,0,0)解析：选dxrsin cos 1sin cos 1，yrsin sin 1sinsin 0，zrcos 1cos0，它的直角坐标为（1,0，0）4已知点p的柱坐标为，点b的球坐标为，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为（）ap(5，1，1），bbp(1,1,5)，bcp，b（1，1,5）dp(1，1,5),b解析：选b球坐标与直角坐标的互化公式为柱坐标与直角坐标

7、的互化公式为设p点的直角坐标为（x，y，z），则xcos 1，ysin 1,z5.设b点的直角坐标为（x，y，z)，则xsin cos ,ysin sin ,zcos .所以点p的直角坐标为（1，1,5),点b的直角坐标为.二、填空题5以地球中心为坐标原点,地球赤道平面为xoy坐标面,由原点指向北极点的连线方向为z轴正向，本初子午线所在平面为zox坐标面，如图所示若某地在西经60，南纬45，地球的半径为r，则该地的球坐标可表示为_解析：由球坐标的定义可知，该地的球坐标为r，。答案：6已知点m的球坐标为，则它的直角坐标为_，它的柱坐标是_解析:由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标答案:(2,2,

8、2）7设点m的直角坐标为（1，1，）,则它的球坐标为_解析：由坐标变换公式，得r2，cos ，.tan 1,又x0，y0，。m的球坐标为。答案：8在球坐标系中，方程r1表示_，方程表示空间的_解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状答案：球心在原点，半径为1的球面顶点在原点,轴截面顶角为的圆锥面三、解答题9如图，请你说出点m的球坐标解：由球坐标的定义，记omr，om与z轴正向所夹的角为.设m在xoy平面上的射影为q,ox轴按逆时针方向旋转到oq时所转过的最小正角为.这样点m的位置就可以用有序数组（r，）表示m点的球坐标为m（r，)10已知点p的球坐标为，求它的直角坐标解：根据坐标变换公式得点p

9、的直角坐标为.11如图，建立球坐标系，正四面体abcd的棱长为1,求a，b,c,d的球坐标（其中o是bcd的中心)解：o是bcd的中心,则ocodob，ao.c，d，b，a。对应学生用书p19对应学生用书p19利用平面直角坐标系解决几何问题1利用问题的几何特征,建立适当坐标系，主要是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心）正好是坐标系中的x轴，y轴(坐标原点)2坐标系的建立,要尽量使我们研究的曲线的方程简单例1线段ab与cd互相垂直且平分于点o，|ab|2a,|cd2b，动点p满足pa|pb|pc|pd|,求动点p的轨迹方程解以ab的中点o为原点，直线ab为x轴建立直角坐标系,如图所

10、示设p(x，y），则a（a，0），b(a，0)，c(0，b)，d（0,b)，由题设，知pa|pb|pcpd|。 .化简得x2y2,动点p的轨迹方程为x2y2。平面直角坐标系中的伸缩变换设点p(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点p(x,y）对应点p(x，y），称这种变换为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换例2在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后，曲线c变为曲线(x5)2(y6）21，求曲线c的方程，并判断其形状解将代入(x5）2（y6)21中，得（2x5）2(2y6)21。化简,得2（y3）2。该曲线是以为圆心，为半径的圆.极坐标的求法1在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元

11、方程f(,）0。如果曲线c是由极坐标(，）满足方程的所有点组成的,则称此二元方程f(，)0为曲线c的极坐标方程2平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程3求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，其在极坐标中仍然适用注意求谁设谁，找出所设点的坐标，的关系例3abc的底边bc10,ab，以b为极点,bc为极轴,求顶点a的轨迹的极坐标方程解如图,令a(，)abc内，设b,a,又|bc|10，|ab，所以由正弦定理，得.化简，得a点轨迹的极坐标方程为102

12、0cos 。极坐标与直角坐标的互化1互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位2互化公式为3直角坐标方程化极坐标方程可直接将xcos ，ysin 代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为cos ，sin 的整体形式，然后用x,y代替较为方便,常常两端同乘以即可达到目的，但要注意变形的等价性例4把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它们分别表示什么曲线(1）2acos (a0);(2)9（sin cos ）；(3）4；(4）2cos 3sin 5。解（1)2acos ，两边同时乘以，得22acos ，即x2y22ax。整理得x

13、2y22ax0,即（xa)2y2a2。它是以（a，0)为圆心，以a为半径的圆(2)两边同时乘以得29(sin cos )，即x2y29x9y，又可化为22.它是以为圆心，以为半径的圆(3)将4两边平方得216，即x2y216.它是以原点为圆心，以4为半径的圆(4)2cos 3sin 5,即2x3y5。它是一条直线。柱坐标系与球坐标系1柱坐标：设m是空间内任意一点，它在xoy平面上的射影为m0，用（，)(0,02）来表示点m0在平面xoy上的极坐标这时点m的位置可由有序数组(，z)表示，叫做点m的柱坐标2球坐标：建立空间直角坐标系o 。xyz,设m是空间任意一点，连接om，记om|r，om与oz

14、轴正向所夹的角为,设m在xoy平面上的射影为m0。ox轴按逆时针方向旋转到om0时，所转过的最小正角为，则m（r，）为m点的球坐标例5在柱坐标系中，求满足的动点m（，z）围成的几何体的体积解根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足1,02，0z2的动点m（,，z）的轨迹是以直线oz为轴,轴截面为正方形的圆柱，如图所示,圆柱的底面半径r1，h2，vshr2h2.例6如图，长方体oabc-dabc中，oaoca，bboa，对角线ob与bd相交于点p，顶点o为坐标原点，oa,oc分别在x轴，y轴的正半轴上试写出点p的球坐标解rop，dop，aob，而op|a，dopobb,tan obb1，obb，

15、aob.点p的球坐标为.对应学生用书p21一、选择题1点m的直角坐标是(1，）,则点m的极坐标为(）a。b。c. d.,kz解析：选c2(1)2()24，2。又2k，kz。即点m的极坐标为，kz。2化极坐标方程2cos 0为直角坐标方程为()ax2y20或y1bx1cx2y20或x1 dy1解析：选c(cos 1)0,0，或cos x1。3极坐标方程cos 2sin 2表示的曲线为(）a一条射线和一个圆 b两条直线c一条直线和一个圆 d一个圆解析:选ccos 4sin cos ，cos 0,或4sin （24sin ),则x0,或x2y24y.4极坐标系内曲线2cos 上的动点p与定点q的最近

16、距离等于（)a.1 b。1c1 d.解析:选a将曲线2cos 化成直角坐标方程为（x1)2y21，点q的直角坐标为（0,1），则p到q的最短距离为点q与圆心的距离减去半径，即1。二、填空题5极坐标方程52cos22240所表示的曲线焦点的极坐标为_解析：原方程化为直角坐标方程为1,c,双曲线在直角坐标系下的焦点坐标为(,0)，(,0）,故在极坐标系下,曲线的焦点坐标为（，0)，（，)答案：(，0)，(，)6点m的球坐标为，则它的直角坐标为_解析:x6sincos 3,y6sinsin3,z6cos0，它的直角坐标为（3，3，0）答案：（3，3，0)7在极坐标系中,若过点（3,0)且与极轴垂直的

17、直线交曲线4cos 于a，b两点,则ab|_.解析：过点（3,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x3，曲线4cos 化为直角坐标方程为x2y24x0，把x3代入上式，得9y2120，解得，y1，y2，所以ab|y1y2|2.答案:28在极坐标系中,过点a(6，)作圆4cos 的切线，则切线长为_解析：圆4cos 化为(x2）2y24,点（6，）化为（6,0)，故切线长为2.答案：2三、解答题9求由曲线4x29y236变成曲线x2y21的伸缩变换解:设变换为将其代入方程x2y21，得a2x2b2y21。又4x29y236，即1，又a0,b0,a，b.将曲线4x29y236变成曲线x2y21的伸缩变换为10已知a,b两点的极坐标分别是，求a，b两点间的距离和aob的面积解：求两点间的距离可用如下公式：|ab2.saob12sin（12）24sin244.11在极坐标系中，已知圆c的圆心c，半径为1。q点在圆周上运动，o为极点（1)求圆c的极坐标方程；（2)若p在直