高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理（二）学案

1、学必求其心得，业必贵于专精1。1。1正弦定理（二）学习目标1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题。2。能根据条件，判断三角形解的个数。3.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题知识链接以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是 （1)在abc中，若，则a90。(2)在abc中，若sin 2asin 2b，则ab.（3)在abc中，若sin asin b，则ab；反之，若ab,则sin asin b.(4）在abc中，。答案(2)解析对于（1)，由正弦定理可知，sin bcos b，sin ccos c，bc45,故a90，故(1）正确对于（2），由sin

2、2asin 2b可得ab或2a2b，ab或a2b2c2,故（2)错误对于(3），在abc中，sin asin babab，故（3）正确对于（4),因为，所以,故（4)正确预习导引1正弦定理的常见变形(1）sin asin bsin cabc.（2）2r.（3)a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c。(4)sin a，sin b,sin c.2三角变换公式(1)sin(）sin cos cos sin .（2）sin（）sin cos cos sin .(3)sin22sin cos .要点一利用正弦定理判断三角形的形状例1在abc中，若sin a2sin bcos c，且sin2

3、asin2bsin2c，试判断abc的形状解方法一在abc中，根据正弦定理：2r(r为abc外接圆的半径）sin2asin2bsin2c，(）2()2（）2，即a2b2c2。a90，bc90.由sin a2sin bcos c，得sin 902sin bcos(90b），sin2b。b是锐角，sin b，b45，c45。abc是等腰直角三角形方法二在abc中，根据正弦定理，得sin a，sin b,sin c(r为abc外接圆的半径)sin2asin2bsin2c，a2b2c2,abc是直角三角形且a90。a180(bc），sin a2sin bcos c，sin（bc）2sin bcos c

4、.sin bcos ccos bsin c0,即sin（bc)0.bc0，即bc.abc是等腰直角三角形规律方法依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径:(1）利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2）利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用abc这个结论在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解跟踪演练1在abc中,已知a2tan bb2tan a,试判断abc的形状解在abc中，由正弦定理得，。

5、又a2tan bb2tan a,，sin acos asin bcos b，即sin 2asin 2b.2a2b或2a2b，即ab或ab。abc为等腰三角形或直角三角形要点二利用正弦定理求最值或范围例2在锐角abc中,角a,b，c分别对应边a，b，c，且a2bsin a，求cos asin c的取值范围解设r为abc外接圆的半径a2bsin a，2rsin a4rsin bsin a，sin b.b为锐角，b.令ycos asin ccos asin（ba）cos asin(a）cos asin cos acos sin acos asin asin（a)由锐角abc知,ba，a.a,sin(

6、a)，sin（a)，即0，所以0b，所以cos b1。因为2cos b，所以12cos b2，故12.要点三正弦定理与三角变换的综合应用例3已知abc的三个内角a、b、c的对边分别为a、b、c,若ac2b,且2cos 2b8cos b50，求角b的大小，并判断abc的形状解2cos 2b8cos b50，2（2cos2b1)8cos b50。4cos2b8cos b30,即（2cos b1）（2cos b3）0.解得cos b或cos b(舍去)0b，b.ac2b.由正弦定理得sin asin c2sin b2sin.sin asin(a)，sin asincos acossin a.化简得s

7、in acos a，sin(a）1.0a，a.a，c,即abc.abc是等边三角形规律方法借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，在转化为角的关系后，常常利用三角变换公式进行化简，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明跟踪演练3已知方程x2(bcos a）xacos b0的两根之积等于两根之和，且a、b为abc的两边,a、b为两内角,试判断这个三角形的形状解设方程的两根为x1、x2，由根与系数的关系得bcos aacos b.由正弦定理得2rsin bcos a2rsin acos b(r为abc外接圆的半径），sin acos bcos asin b0，sin（ab)0.a、b为ab

8、c的内角，0a，0b,ab,ab0，即ab。故abc为等腰三角形1在abc中，ac，bc2,b60，则角c的值为（)a. 45 b. 30 c75 d90答案c解析由正弦定理，得，sin a.bc2ac，a为锐角a45。c75。2在abc中，若，则abc是（)a直角三角形 b等边三角形c钝角三角形 d等腰直角三角形答案b解析由正弦定理知:，tan atan btan c，abc。3在abc中， 。答案0解析由于，所以()（）0.4在abc中，a2，b6，a30，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形解a2，b6，ab,a3090。又因为bsin a6sin 303,absin a，所以本题有两解，由正弦定理得:sin b，故b60或120。当b60时，c90,c4；当b120时，c30，ca2.所以b60，c90，c4或b120，c30，c2。1已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角,这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解首先求出另一边的对角的正弦值,当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知的两边的大小情况来确定该角有一个值或者两个值. 2判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是