第8章 非线性控制系统

1、 8.1 非线性控制系统概述非线性控制系统概述 8.2 常见非线性特性及其对系统运动的影响常见非线性特性及其对系统运动的影响 8.3 相平面法相平面法 8.4 描述函数法描述函数法 8 8 非线性控制系统分析非线性控制系统分析 1. 研究非线性系统的研究非线性系统的意义意义 1)实际控制系统，存在大量非线性因素。这些实际控制系统，存在大量非线性因素。这些 非线性因素的存在，使得我们用线性系统理论非线性因素的存在，使得我们用线性系统理论 进行分析时所得出的结论，与实际系统的控制进行分析时所得出的结论，与实际系统的控制 效果不一致。线性系统理论无法解释非线性因效果不一致。线性系统理论无法解释非线性

2、因 素所产生的影响。素所产生的影响。 2)非线性特性的存在，并不总是对系统产生不非线性特性的存在，并不总是对系统产生不 良影响。良影响。 8.1 非线性控制系统概述非线性控制系统概述 2 非线性系统的非线性系统的特点特点 1. 线性系统描述其运动过程的数学模型是线性系统描述其运动过程的数学模型是线性微分线性微分 方程方程，故可以采用，故可以采用叠加原理叠加原理。而非线性系统，其数。而非线性系统，其数 学模型为学模型为非线性微分方程，不能采用叠加原理，非线性微分方程，不能采用叠加原理，必必 须研究不同输入所引起的输出响应。须研究不同输入所引起的输出响应。 2. 线性系统的稳定性与输入响应的性质只

3、由系统本线性系统的稳定性与输入响应的性质只由系统本 身的结构及参量决定，而与系统的初始状态无关。身的结构及参量决定，而与系统的初始状态无关。 而而非线性系统的稳定性及零输入响应的性质不仅取非线性系统的稳定性及零输入响应的性质不仅取 决于系统本身的结构和参量，而且还与系统的初始决于系统本身的结构和参量，而且还与系统的初始 状态有关。状态有关。 3. 线性系统的工作状态只可能有稳定或不稳定两线性系统的工作状态只可能有稳定或不稳定两 种，系统的周期运动在物理上是不能实现的。在没种，系统的周期运动在物理上是不能实现的。在没 有外作用时，非线性系统的周期运动在物理上可以有外作用时，非线性系统的周期运动在

4、物理上可以 实现，其频率和振幅均由系统本身的特性所决定。实现，其频率和振幅均由系统本身的特性所决定。 所以通常把它称为自激振荡，简称自振。所以通常把它称为自激振荡，简称自振。自振是非自振是非 线性系统的一个非常重要的特征，也是研究非线性线性系统的一个非常重要的特征，也是研究非线性 系统的重要内容之一。系统的重要内容之一。 4可以用频率特性的概念来研究和分析线性系统可以用频率特性的概念来研究和分析线性系统 的固有特性。的固有特性。不能用频率特性、传递函数等线性系不能用频率特性、传递函数等线性系 统常用的方法来研究非线性系统。统常用的方法来研究非线性系统。非线性系统在正非线性系统在正 弦信号作用下

5、，稳态分量除产生同频率振荡外，可弦信号作用下，稳态分量除产生同频率振荡外，可 能产生倍频振荡和分频振荡。能产生倍频振荡和分频振荡。 3. 3. 非线性系统的非线性系统的分类分类 n 非本质非线性非本质非线性 能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的 非线性。非线性。 n 本质非线性本质非线性 用小偏差线性化方法不能解决的非线性。用小偏差线性化方法不能解决的非线性。 非线性系统与线性系统有着很大的差别，诸如非 线性系统的响应取决于输入信号的幅值和形式，不能 应用叠加原理，目前还没有统一的且普遍适用的处理 方法。 由于非线性系统的复杂性和特殊性，受数学工具 限制

6、，一般情况下难以求得非线性微分方程的解析解， 通常采用工程上适用的近似方法。 （1）相平面法 （2）描述函数法 （3） 4. 研究研究非线性系统的非线性系统的方法方法 1)相平面法相平面法用图解方法分析一阶，二阶非线性系统。用图解方法分析一阶，二阶非线性系统。 通过绘制控制系统相轨迹，分析非线性系统特性。通过绘制控制系统相轨迹，分析非线性系统特性。 2)描述函数法描述函数法是受线性系统频率法启发，而发展出是受线性系统频率法启发，而发展出 的一种分析非线性系统的方法。它是一种谐波线性的一种分析非线性系统的方法。它是一种谐波线性 化的分析方法，是频率法在非线性系统分析中的推化的分析方法，是频率法在

7、非线性系统分析中的推 广。广。 3)3)计算机求解法计算机求解法是利用计算机运算能力和高速度对是利用计算机运算能力和高速度对 非线性微分方程的一种数值解法。非线性微分方程的一种数值解法。 8.2 常见非线性特性常见非线性特性 1.饱和特性饱和特性 ( ) ( ) ( ) sgn ( ) ( ) Ke te ta y t Kae te ta 当当e(t)0时，时，sgn e(t) =+1；当；当e(t)0时，时，sgne(t) =1 当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输入信当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输入信 号而变化，将保持某一常数值不变。可将饱和非线性元件看号而变化，将保持某

8、一常数值不变。可将饱和非线性元件看 作为一个作为一个 ate)( 2.2.死区（不灵敏区）特性死区（不灵敏区）特性 0 ( ) ( ) ( )sgn ( ) ( ) e ta y t k e tae te ta 3. 3. 间隙特性间隙特性 ( ) ( )0 ( )( ) ( )0 sgn ( ) ( )0 k e te t y tk e te t be te t 理想继电特性理想继电特性 M M tx )( 0 0 e e 理想的继电特性理想的继电特性 4.4.继电器特性继电器特性 具死区的继电特性具死区的继电特性 M M tx0)( 0 00 0 )( )( )( ete etee ete

9、 具死区的继电特性具死区的继电特性 具磁滞回环的继电特性具磁滞回环的继电特性 00 00 , 0)(, 0)( , 0)(, 0)( )( eeteeeteM eeteeeteM tx 具滞环的继电特性具滞环的继电特性 具磁滞回环和死区的继电特性具磁滞回环和死区的继电特性 具磁滞回环和死区的继电特性具磁滞回环和死区的继电特性 00 0000 00 , 0;, 0 , 0;, 00 , 0)(;, 0 )( eeemeeeM meeeeeemee meeteeeeM tx 由于继电器元件在控制系统中常用来作为改善系统品质由于继电器元件在控制系统中常用来作为改善系统品质 的切换元件，因此继电器特性

10、在非线性系统的分析中占有重的切换元件，因此继电器特性在非线性系统的分析中占有重 要地位。要地位。 5.5.变放大系数特性变放大系数特性 变放大系数特性使系统在大误差信号时具有较大的放变放大系数特性使系统在大误差信号时具有较大的放 大系数，系统响应迅速。而在小误差信号时具有较小的放大系数，系统响应迅速。而在小误差信号时具有较小的放 大系数，使系统响应既缓且稳。大系数，使系统响应既缓且稳。 具有这种特性的系统，其动态品质较好。具有这种特性的系统，其动态品质较好。 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k e te ta y t k e te ta 8.3 相平面法相平面法 1 1 相平面

11、的基本概念相平面的基本概念 相平面：相平面： 相轨迹：相轨迹： )1( 5 )( ss sG 系统变量及其导数系统变量及其导数随时间变化随时间变化 在相平面上描绘出来的轨迹在相平面上描绘出来的轨迹。 c c ,由系统某变量及其导数由系统某变量及其导数( (如如 ) ) 构成的用以描述系统状态的平面。构成的用以描述系统状态的平面。 例例1 1 单位反馈系统单位反馈系统 2236. 0 236. 2 n )(1)(ttr 相平面、相轨迹和相轨迹图相平面、相轨迹和相轨迹图 相轨迹图：相轨迹图：相平面相平面 + + 相轨迹簇相轨迹簇 动态系统的动态系统的运动状态称为运动状态称为“相相”，描述系统，描述

12、系统运动状态运动状态的点的点 称为称为相点相点，描述系统运动状态的变量称为，描述系统运动状态的变量称为相变量相变量，描述运动状，描述运动状 态的平面称为态的平面称为相平面相平面，相点随时间变化在相平面中的移动轨迹，相点随时间变化在相平面中的移动轨迹 称为称为相轨迹相轨迹。 说明：说明： 相轨迹的相轨迹的起始点起始点由系统的由系统的初始条件初始条件 确定；箭头方确定；箭头方 向表示随时间向表示随时间t t的增加的增加系统的运动方向（系统的运动方向（总是顺时针总是顺时针）。以）。以各各 种可能的初始条件为起始点，可以得到种可能的初始条件为起始点，可以得到相轨迹簇相轨迹簇，相平面和，相平面和 相轨迹

13、簇合称为相轨迹簇合称为相平面图相平面图。 ),( 00 cc 2 2 相轨迹的性质相轨迹的性质 0 0 x x ( , )0 0 dxf x x dxx 对于线性定常系统，对于线性定常系统， 原点是唯一的平衡点原点是唯一的平衡点 (4)(4)相轨迹的运动方向相轨迹的运动方向 上半平面上半平面: : 向右移动向右移动0 x 0 x 下半平面下半平面: : 向左移动向左移动 顺时针运动顺时针运动 (2)(2)相轨迹通过横轴的方向相轨迹通过横轴的方向 ( , )0 0 f x x x (3)(3)相轨迹的奇点相轨迹的奇点 (平衡点平衡点) 0),(xxfx 设非线性系统方程为：设非线性系统方程为：

14、相轨迹上斜率不确定的点相轨迹上斜率不确定的点 (1)(1)相轨迹的斜率相轨迹的斜率 ( , )dxdx dtf x x dxdx dtx ( , ) dxdx dxdx xxf x x dtdx dtdx 相轨迹以相轨迹以90穿越穿越 x 轴轴 ( , )dxf x x dxx dxx d / 例例2 2 设系统方程为设系统方程为 ， 试绘制系统的相轨迹。试绘制系统的相轨迹。 0 2 xx n td xd xd xd td xd x 解解x xd xd x n 2 xdxxdx n 2 Cxx n 2 2 2 22 1 2 22 2 2 2 A Cx x nn 1 22 2 2 2 n A x

15、 A x 椭圆方程椭圆方程 3 3 相轨迹的绘制相轨迹的绘制 解析法解析法 解解 例例3 3 系统方程系统方程 , ,用等倾线法绘制系统相轨迹图。用等倾线法绘制系统相轨迹图。0 xxx 系统方程系统方程0),( xxfx ),(xxf xd xd x td xd xd xd x x xxf xd xd ),( x xxf ) ,( )(xx xd xd xx x xx ) ( 1 x x 等倾线方程等倾线方程 等倾线等倾线 相轨迹斜率为常数的曲线相轨迹斜率为常数的曲线 xx )1( 3 3 相轨迹的绘制相轨迹的绘制 等倾线法等倾线法 等倾线方程等倾线方程 75.3 19.2 58.1 18.1

16、 82.0 42.0 19.0 75.1 1 x x 75. 3 36. 0 20 19. 2 84. 0 40 58. 1 73. 1 60 18. 1 67. 5 80 82. 0 76. 5 100 42. 0 73. 1 120 19. 0 84. 0 140 75. 1 36. 0 160 00. 0 180 1 1 1 1 arctan 1. 意义：表示相轨迹上意义：表示相轨迹上斜率相同（为同一常数）的点斜率相同（为同一常数）的点 的连线的连线，即，即等倾线等倾线。 ）（x x , 绘制方法：绘制方法： 给出不同的给出不同的i 值，得出相应的一系列等倾线方程：值，得出相应的一系列等

17、倾线方程： i ii i xxf x ),( 从从各初始点各初始点出发，沿着方向场依次连接各等倾线上的出发，沿着方向场依次连接各等倾线上的 短线段，就得到系统在短线段，就得到系统在确定初始条件下的完整相轨迹确定初始条件下的完整相轨迹。 对应画出每一条等倾线，并在每条等倾线上画出表示该对应画出每一条等倾线，并在每条等倾线上画出表示该 等倾线相应斜率值的等倾线相应斜率值的短线段短线段。这些短线段表示了相轨迹通过。这些短线段表示了相轨迹通过 等倾线时的方向，或者说它们构成了相轨迹切线的等倾线时的方向，或者说它们构成了相轨迹切线的“方向方向 场场”。 指导思想：在相轨迹上指导思想：在相轨迹上从初始点开

18、始从初始点开始，沿相轨迹的运动，沿相轨迹的运动 方向选取方向选取若干点若干点 ，则系统从初态运动，则系统从初态运动 至稳态的时间为：至稳态的时间为： ), 2 , 1 , 0)(,(nixx ii 平平均均值值表表示示相相邻邻两两点点纵纵坐坐标标的的 ，可可用用下下式式近近似似计计算算为为相相邻邻两两点点的的时时间间增增量量其其中中： ， 2 1 1 1 ii i i i ii i i i n i i xx x t x xx x x ttt 4 4 由相轨迹求时间解由相轨迹求时间解 微小增量法微小增量法 BA AB AB xxx x tt 2 AB AB xx x 2() BA AB AB x

19、x t xx 相轨迹相轨迹A-B段的平均速度：段的平均速度： 相轨迹相轨迹A-B段所用的时间：段所用的时间： 4 4 由相轨迹求时间解由相轨迹求时间解 微小增量法微小增量法 都已知，画出曲线。 ABBA txx, 奇点与极限环奇点与极限环相轨迹的两个相轨迹的两个基本特征基本特征 奇点的类型奇点的类型 设二阶线性系统微分方程为（零输入条件下）：设二阶线性系统微分方程为（零输入条件下）： 。原点原点点）为其相平面的坐标点）为其相平面的坐标二阶系统的奇点（平衡二阶系统的奇点（平衡因此，因此， ）奇点（奇点（令令00000 02 2 ,xx,x xxx nn 根据根据的取值及特征根的不同，的取值及特征

20、根的不同，奇点分为奇点分为6 6种种 1 2 21 nn， 系统特征根为：系统特征根为： 由于解析法和图解法工作量都比较大，而相轨迹主要针对由于解析法和图解法工作量都比较大，而相轨迹主要针对 二阶系统，故一般对常见二阶系统，故一般对常见二阶系统相轨迹的规律二阶系统相轨迹的规律作一个作一个典型的典型的 归纳归纳，以此作为非线性系统相平面分析的基础。，以此作为非线性系统相平面分析的基础。 5 5 二阶系统的相轨迹二阶系统的相轨迹 极点分布极点分布奇点奇点相迹图相迹图 中心点中心点 稳定的稳定的 焦点焦点 稳定的稳定的 节点节点 鞍鞍 点点 不稳定不稳定 的焦点的焦点 不稳定不稳定 的节点的节点 极

21、点分布极点分布奇点奇点相迹图相迹图 (2) 01（稳定）（稳定）(5) -10（不稳定）（不稳定） (3) 1（稳定）（稳定）(6) -1（不稳定）（不稳定） (1) =0（临界稳定）（临界稳定）为两个符号相反的实根 2 . 1 )4(不稳定不稳定) ),( 0 0 xxx x x 奇点为奇点为解之得解之得根据定义，可令根据定义，可令 奇点的求法：奇点的求法： 奇点的作用奇点的作用： 6. 非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析 一般步骤：一般步骤： （1）写出系统各组成环节的数学表达式，形成系统方程组。）写出系统各组成环节的数学表达式，形成系统方程组。 （2）选取状态变量。通常选取非线

22、性环节的输入，即）选取状态变量。通常选取非线性环节的输入，即系统误系统误 差差e及其导数作为系统状态变量及其导数作为系统状态变量。 （3）将非线性环节）将非线性环节分段线性化分段线性化，写出每一段的，写出每一段的微分方程微分方程。 （3）根据）根据分段线性化分段线性化将相平面划分成若干个线性区域将相平面划分成若干个线性区域（分界（分界 线称为线称为开关线开关线），根据各段的微分方程式），根据各段的微分方程式绘制各区域的绘制各区域的 相轨迹相轨迹。 （4）把相邻区域开关线连接起来即得非线性系统的相轨迹图，）把相邻区域开关线连接起来即得非线性系统的相轨迹图， 由此可分析系统的运动特性。由此可分析系

23、统的运动特性。 例例4 4 设系统方程为设系统方程为 求系统的平衡点求系统的平衡点xe，并判定平衡点附近，并判定平衡点附近相轨迹的性质。相轨迹的性质。 0)5 . 03( 2 xxxxx 0 xx 解解 令令 0)1( 2 xxxx 1 0 2 1 e e x x 不稳定焦点；发散的螺旋线不稳定焦点；发散的螺旋线 线性化线性化 0)1()1(5 . 0 05 . 0 2 xxxx xxx xxxx xxxx e e 1 2 1 05 . 0 05 . 0 xxx xxx 015 . 0 015 . 0 2 2 ss ss 特征特征 方程方程 s = 0.25j0.97 0.78 s = -1.

24、28 鞍点；双曲线鞍点；双曲线 (1) (1) 非本质非线性系统的相平面分析（非本质非线性系统的相平面分析（ 各点连续可微）各点连续可微） 6. 非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析 例例5 5 设系统方程为设系统方程为 ，求系统的平衡点，求系统的平衡点xe， 并判定平衡点附近并判定平衡点附近相轨迹的性质。相轨迹的性质。 0sin x x 0 xx 解解 令令 当当 xxxkx sin)2sin(sin 0 0 xx xx 01 01 2 2 s s 特征特征 方程方程 1 1 s js 0sin x kxe e x k2 xxx sinsin )12( k 线性化线性化 中心点中心点

25、 鞍点鞍点 例例1 1 系统方程为系统方程为 ，分析系统的自由响应。，分析系统的自由响应。0 xxx 解解 01II 01I 2 2 ss ss 62. 1 62. 0 866. 05 . 0 2,1 2,1 s js 特征特征 方程方程 稳定焦点稳定焦点 鞍点鞍点 II00 I00 xxxx xxxx 0II 0I 2 1 e e x x 奇点奇点 极点极点 开关线开关线 (2) (2) 本质非线性系统的相平面分析本质非线性系统的相平面分析 例例2 2 系统方程为系统方程为 ，分析系统的自由响应。，分析系统的自由响应。0sign xxx 解解 01II 01I 2 2 s s 1 1 2,1

26、 2,1 js js 特征特征 方程方程 中心点中心点 II001 I001 xxx xxx 1II 1I 2 1 e e x x 奇点奇点 极点极点 中心点中心点 开关线开关线 划分不同线性区域的边界线划分不同线性区域的边界线 平衡线平衡线（奇线奇线） 不同区域的相轨迹相互影响而产生不同区域的相轨迹相互影响而产生 解解 2 1 )( )( ssU sC 2 2 e e 开关线方程开关线方程 )()(tutc 线性部分线性部分 u 非线性部分非线性部分 ec ec ec 4 )I(20 e )II(22 ee III)(22 ee 综合点综合点 ccre 4 uce )I(20 e )II(2

27、2 ee III)(22 ee 例例3 3 系统如右，已知系统如右，已知 , ,确定开关线方程确定开关线方程, ,奇点位置和奇点位置和 类型类型, ,绘制相轨迹绘制相轨迹 图。图。 )(14)( 0)0( ttr c e e ( , ) (3) (3) 非线性控制系统的相平面分析非线性控制系统的相平面分析 中心点中心点 中心点中心点 0s 0 e 0e I 2 1 s 区域区域 运动方程运动方程 奇点奇点 特征方程特征方程 极点极点 奇点性质奇点性质 js s 01 2e 02-ee II 2 2 js s 01 -2e 02ee III 2 3 奇奇 点点 类类 型型 相轨迹相轨迹)II(

28、以以 为中心的圆为中心的圆2 2 e 以以 为中心的圆为中心的圆 III)(2 3 e 0)I( e Ce 水平线水平线 响应响应)(tc cre eerc 4 e T e 1 开关线方程开关线方程 )()(tutc 线性部分线性部分 非线性部分非线性部分 1 ed ed e td ed ed ed e )I(01 eTe II)(01 eTe u 比较点比较点ccre 1 例例4 4 系统如右，系统如右， ， ，分别讨论系统运动。，分别讨论系统运动。 )(1)(ttr 5 . 0, 0 T 整理整理 )I(01 eTe II)(01 eTe e 在在 I 区：区： 2 2eeC I 抛物线方

29、程抛物线方程 同理在同理在 II 区：区： 2 2eeC II 当当 时，开关线为时，开关线为： 5 . 0 0 T ee e 2 0 解解 开关线开关线 0 eTe ( I ) 相轨迹图相轨迹图 0 eTe( II ) 系统方程系统方程 ee T 2 5 . 0 0 0 e T 1 e 2 2eeC I 2 2eeC II 1 e 非线性部分非线性部分 0, 1 ehe he 0, 1 ehe he u 比较点比较点cre 例例5 5 系统如右，在系统如右，在 平面上分析系统的自由响应运动。平面上分析系统的自由响应运动。)(cc 整理整理 sssU sC 2 1 )( )( 线性部分线性部分

30、解解 ucc 1 1 ucc 0, chc hc 0, chc hc (I )1 dc cccc dc 1 1 c 等倾斜线等倾斜线 (II)1 dc cccc dc 1 1 c I)(11 II)(11- 21 2 0 1 1 21 0 3 21 2 1 23 2 2 1 21 02112 21 0 1 3 2 23 21 0 1 3 2 23 31 31 31 23 23 等倾斜线等倾斜线 极限环极限环 u定义定义：非线性系统产生：非线性系统产生自激振荡自激振荡时，在相轨迹图上表现为一时，在相轨迹图上表现为一 条条孤立的封闭曲线孤立的封闭曲线，称为称为极限环极限环。 u特点特点： （1）极

31、限环是最常见的一种奇线。极限环是最常见的一种奇线。 （2）极限环附近的其它相轨迹都无限地趋向或者离开它。极限环附近的其它相轨迹都无限地趋向或者离开它。 （3）极限环作为一条特殊的相轨迹，既不存在平衡点，也不极限环作为一条特殊的相轨迹，既不存在平衡点，也不 趋向无穷远，而是一个趋向无穷远，而是一个无首无尾的封闭环圈无首无尾的封闭环圈。 （4）极限环把相平面划分为内、外两个相互独立部分，任何极限环把相平面划分为内、外两个相互独立部分，任何 一条相轨迹都不能从内部平面穿过极限环进入外部平面，一条相轨迹都不能从内部平面穿过极限环进入外部平面， 也不能从外部平面穿过极限环进入内部平面。也不能从外部平面穿

32、过极限环进入内部平面。 各各 类类 极极 限限 环环 极限环极限环 对应二阶非线性系统的周期运动对应二阶非线性系统的周期运动 稳定的极限环稳定的极限环不稳定的极限环不稳定的极限环 半稳定的极限环半稳定的极限环 u类型及其特点类型及其特点 根据极限环附近系统运动状态的根据极限环附近系统运动状态的可维持性可维持性将极限环分为稳将极限环分为稳 定、不稳定和半稳定三种。定、不稳定和半稳定三种。 (a) 稳定稳定 (b) 不稳定不稳定(c) 半稳定半稳定(d) 半稳定半稳定 内、外的相内、外的相 轨迹都轨迹都趋于趋于 极限环极限环 内、外的相内、外的相 轨迹都轨迹都卷离卷离 极限环极限环 内部卷向内部卷

33、向 极限环，极限环， 外部卷离外部卷离 内部卷离内部卷离 极限环极限环 外部卷向外部卷向 产生产生自激自激 振荡振荡，应应 设法减小设法减小 内部内部渐进稳定渐进稳定， 外部外部不稳定不稳定，应应 设法增大设法增大 内、外内、外均不均不 稳定稳定，应设应设 法避免法避免。 同不稳定同不稳定 的极限环的极限环 总的来说总的来说，控制系统中，控制系统中不希望产生极限环不希望产生极限环，如不能做到完全消除或避免，如不能做到完全消除或避免， 也应设法将其限制在工程允许的范围之内。也应设法将其限制在工程允许的范围之内。 非线性部分非线性部分 )I(1he )III(1he u 比较点比较点ccre 例例

34、6 6 系统如右，在系统如右，在 平面上分析系统的自由响应运动。平面上分析系统的自由响应运动。 )(cc 整理整理 ucc sssU sC 2 1 )( )( 线性部分线性部分解解 ucc )II(hee 1hc )I( c hc )II( 1 hc )III( 例例7 7 系统方程为系统方程为 ，绘制相轨迹图；，绘制相轨迹图； 分析系统的自由响应运动。分析系统的自由响应运动。 0sin x x x xd xd x td xd xd xd td xd xsin 解解 xd x d 令令xxsin 1 值值 角角 1 1 45 1 2 1 6 .26 2 0 0 2 1 6 .26 2 1 45

35、 1 90 0 4 1 14 4 4 1 14 4 值值 角角 1 1 45 1 2 1 6.26 2 0 0 2 1 6.26 2 1 45 1 90 0 4 1 14 4 4 1 14 4 sin0 xx 系统方程系统方程 1 sinxx 等倾斜线等倾斜线 8.4 8.4 描述函数法描述函数法 描述函数描述函数是非线性特性的一种线性近似方法。它是线性是非线性特性的一种线性近似方法。它是线性 系统理论中的频率特性法在一定假设条件下，在非线性系统中系统理论中的频率特性法在一定假设条件下，在非线性系统中 的应用。它主要用来分析非线性系统的稳定性，以及确定非线的应用。它主要用来分析非线性系统的稳定

36、性，以及确定非线 性系统在正弦函数作用下的输出响应特性。应用这种方法时非性系统在正弦函数作用下的输出响应特性。应用这种方法时非 线性系统的阶数不受限制。线性系统的阶数不受限制。描述函数的最基本思想描述函数的最基本思想是是用输出信用输出信 号中的基波分量来代替非线性元件在正弦输入信号作用下的实号中的基波分量来代替非线性元件在正弦输入信号作用下的实 际输出际输出。 本节主要学习本节主要学习三个基本内容三个基本内容： 描述函数的描述函数的基本概念基本概念、典型非线性特性的描述函数典型非线性特性的描述函数、用描、用描 述函数法述函数法分析在无外作用的情况下分析在无外作用的情况下，非线性系统的非线性系统

37、的稳定性稳定性和和自自 激振荡激振荡问题。问题。 图图8-36 非线性系统的典型结构非线性系统的典型结构 描述函数的基本概念描述函数的基本概念 描述函数是对系统中的描述函数是对系统中的非线性元件非线性元件在在正弦信号作用下正弦信号作用下的的 输出输出进行进行谐波线性化谐波线性化处理后得到的，其表达形式类似于线性处理后得到的，其表达形式类似于线性 系统中的系统中的幅相频率特性幅相频率特性。 非线性系统的典型结构如图非线性系统的典型结构如图8-36。 其中：其中：G(s) 线性环节传递函数线性环节传递函数 N 非线性元件描述函数非线性元件描述函数 若在若在N(A)的输入端加一正弦输入信号的输入端加

38、一正弦输入信号 时，时， 其稳态输出其稳态输出 一般为含有高次谐波的周期函数，将其用一般为含有高次谐波的周期函数，将其用傅傅 里叶级数展开里叶级数展开为：为： 谐波线性化谐波线性化 即：忽略高次谐波，即：忽略高次谐波，只考虑基波分量只考虑基波分量的线性化方法。的线性化方法。 )sin()sincos()( 1 0 1 0n n nn n n tnYAtnBtnAAty 直流分量直流分量 第第n次谐波分量次谐波分量 式中，式中，An、Bn为为傅里叶系数傅里叶系数 n n n nnn B A BAY arctan 22 )(ty tAtxsin)( 因非线性特性大多为因非线性特性大多为奇对称奇对称

39、，则直流分量，则直流分量A0=0；同时各谐波同时各谐波 分量的幅值与基波相比都比较小；再考虑到实际系统的线性部分量的幅值与基波相比都比较小；再考虑到实际系统的线性部 分一般都具有分一般都具有低通特性低通特性，因此，可以忽略其高次谐波分量，只，因此，可以忽略其高次谐波分量，只 考虑基波分量，即考虑基波分量，即n=1n=1。则：。则： 2 0 2 0 )2 , 1 , 0(,sin)( 1 ,cos)( 1 nttdntyBttdntyA nn 按照傅里叶分解法，其按照傅里叶分解法，其偶函数分量偶函数分量和和奇函数分量奇函数分量的系数分别为：的系数分别为： 2 0 0 ,)( 1 dttyA而直流

40、分量：而直流分量： )sin(sincos)( 1111 tYtBtAty 221 1111 1 arctan A YAB B ， 2 0 1 2 0 1 ),(sin)( 1 , )(cos)( 1 ttdtyBttdtyA 其中：其中： y (x)= -y (-x) 可见：非线性环节在正弦输入情况下，其输出也可近似具可见：非线性环节在正弦输入情况下，其输出也可近似具 有和线性环节相类似的频率响应形式，即是一个有和线性环节相类似的频率响应形式，即是一个与输入信号同与输入信号同 频率的正弦信号频率的正弦信号，只是幅值和相位发生了变化。由于只是，只是幅值和相位发生了变化。由于只是用一用一 次基波

41、代替了总的输出次基波代替了总的输出，因此，将这种近似处理方法称为，因此，将这种近似处理方法称为谐波谐波 线性化线性化。 谐波线性化的条件谐波线性化的条件： 非线性系统应能够简化为图非线性系统应能够简化为图8.36所示的所示的典型结构典型结构。 非线性特性应具有非线性特性应具有奇对称性奇对称性，即：，即：f1(e)=-f1(-e) 保证非线性元件输出的平均值即直流分量保证非线性元件输出的平均值即直流分量A0=0。 系统的线性部分应具有较好的系统的线性部分应具有较好的低通滤波特性低通滤波特性。 描述函数描述函数 定义定义：在：在正弦信号作用下，正弦信号作用下，非线性环节非线性环节稳态输出的稳态输出

42、的基波分量基波分量 与输入正弦量的与输入正弦量的复数比复数比。用。用N(A)表示。表示。 由上分析可知：由上分析可知： 对于非线性元件，输入对于非线性元件，输入 时，时， 谐波线性化后的输出为：谐波线性化后的输出为： 1111 ( )cossinsin()y tAtBtYt 则则描述函数描述函数为：为： A jAB B A A BA e A Y eANAN jANj 11 1 1 2 1 2 1 1 )( arctan)()( 1 tAtxsin)( 描述函数的描述函数的求取求取： 【例【例7.1】设继电特性为】设继电特性为 试计算该非线性特性的描述函数。试计算该非线性特性的描述函数。 0 0

43、, )( ， xM xM xy 解：设解：设tAxsin 2, 0, )( tM tM ty A M A jAB AN M ttdtyB ttdtyAtdtyA 4 )( 4 ,sin)( 1 0,cos)( 1 , 0)( 2 1 11 2 0 1 2 0 1 2 0 0 故： 0, 0 11 A 非线性环节为单非线性环节为单/ /非单非单值函数值函数时时, ,N(A)是实是实/ /复复数数, ,虚部为虚部为/ /不为不为0 -因非线性元件一般为非储能元件因非线性元件一般为非储能元件 复变增益放大器复变增益放大器。 2. 典型非线性特性的描述函数典型非线性特性的描述函数 （1）理想）理想继电

44、特性继电特性的描述函数的描述函数 理想继电特性在正弦输入信号作用下的波形如图所示。理想继电特性在正弦输入信号作用下的波形如图所示。 图图 理想继电特性正弦输入作用下的输出波形理想继电特性正弦输入作用下的输出波形 t 由于由于y (t)是周期为是周期为2的单值方波函数，且关于的单值方波函数，且关于点齐对点齐对 称，所以称，所以A0=A1=0， 。0 1 的函数。幅值，幅值是输入正弦信号的相位角为即 述函数为：故，理想继电特性的描 所以，基波分量为： 为：而基波奇函数分量系数 AAN A M e A Y AN t M ty M ttdMttdtyB j 0)( 4 )( sin 4 )( 4 )(

45、sin 2 )(sin)( 1 1 1 0 2 0 1 图图 死区特性正弦输入作用下的输出波形死区特性正弦输入作用下的输出波形 X 由于死区特性仍为由于死区特性仍为单值奇函数单值奇函数，故只需要求解，故只需要求解B B1 1。 X X arcsinsin 11 其其中中： 故，死区特性的描述函数为：故，死区特性的描述函数为： 21 2 ()arcsin1() 2 BK N XX XXXX 1 2 1 0 2 0 /2 2 1 ( )sind 1 (sin)sind 4 (sin)sind 2 arcsin1() 2 By ttt K Xttt K Xttt KX X XXX 1 a -a X

46、图图 饱和特性正弦输入作用下的输出波形饱和特性正弦输入作用下的输出波形 1 1 sin 0 ( ) /2 KXtt y t Kat 因因y (t)为为平顶对称波形平顶对称波形，故只需计算，故只需计算(0,)区间内的积分，区间内的积分， 此时：此时： 1 sinXa1 arcsin a X 其中：其中： 同理可求出：同理可求出： 1 1 1 1 / 2 2 1 0 / 2 0 2 4 sindsind 411 sin 2( cos) 24 2 arcsin1() BKXttKatt KXa ttt X KXaaa Xa XXX 2 1 2 ()arcsin1 BKaaa N XXa XXXX 故

47、，饱和特性的描述函数为：故，饱和特性的描述函数为： 图图 间隙特性正弦输入作用下的输出波形间隙特性正弦输入作用下的输出波形 间隙特性是间隙特性是多值函数多值函数，A1、B1均不为均不为0，描述函数为输入信，描述函数为输入信 号振幅号振幅X的复函数。的复函数。 y (t)为有为有时间滞后且削顶时间滞后且削顶的正弦波，其前半周期与后半周期的正弦波，其前半周期与后半周期 波形相同，符号相反。故计算波形相同，符号相反。故计算A1、B1时可只半波积分。时可只半波积分。 由此求得间隙特性的描述函数为：由此求得间隙特性的描述函数为： 11 j() 224 arcsin 12 11j1 2 BA N X XX

48、 KbbbbKbb Xb XXXXXX 描述函数为描述函数为复函数复函数，说明输出对输入有相位差，即输出，说明输出对输入有相位差，即输出 滞后于输入。滞后于输入。 同理可求出其它非线性特性的描述函数，如具有死区同理可求出其它非线性特性的描述函数，如具有死区 和滞环的继电特性、组合（串联元件）非线性特性等。见和滞环的继电特性、组合（串联元件）非线性特性等。见 P413表表8-1所示。所示。 3. 非线性系统的描述函数分析非线性系统的描述函数分析 分析的分析的条件条件： 假定非线性系统具有图假定非线性系统具有图8.36所示的典型结构，并且系统所示的典型结构，并且系统 的线性部分是稳定的，即其极点全

49、部位于复平面的左半部。的线性部分是稳定的，即其极点全部位于复平面的左半部。 分析的分析的内容内容： 非线性系统的非线性系统的稳定性稳定性； 自激振荡及其自激振荡及其稳定性稳定性，振幅和频率的计算振幅和频率的计算。 分析的分析的依据依据： 线性系统中的线性系统中的奈氏稳定判据奈氏稳定判据。 分析的分析的思路思路： 在复平面做出线性部分的在复平面做出线性部分的奈奈氏图氏图G(j)，和非线性部分，和非线性部分 N(A)的的负倒特性图负倒特性图，根据，根据两者的关系两者的关系，引入奈氏判据，就可，引入奈氏判据，就可 进行非线性系统的分析。进行非线性系统的分析。 将系统中的非线性元件看作是具有复增益将系

50、统中的非线性元件看作是具有复增益N(A)的放大器后，的放大器后， 整个系统就可以等效为一个整个系统就可以等效为一个变增益的线性系统变增益的线性系统，并可用，并可用奈奈氏判氏判 据判断系统稳定性。据判断系统稳定性。 由上分析可知，由上分析可知，N(A)只是输入信号幅值只是输入信号幅值A的函数，则：的函数，则： 可见，非线性元件可以看作是具有可见，非线性元件可以看作是具有复数增益复数增益N(A)的放大器，的放大器， 即元件的描述函数，就是元件的即元件的描述函数，就是元件的等效复增益等效复增益。 )()()()( 1 txANtytyN(A) x(t) y(t) 非线性系统的典型结构非线性系统的典型

51、结构 G(j) )()(1 )()( )( )( )( jGAN jGAN jR jC j 如右图系统如右图系统闭环频闭环频 率特性率特性为：为： 对应闭环特征方程为：对应闭环特征方程为：0)()(1jGAN )( 1 )( AN jG 定义：定义： 称为描述函数的称为描述函数的负倒特性负倒特性。 )( 1 AN 对比线性系统中的奈氏判据，当对比线性系统中的奈氏判据，当G(j)= -1时，系统是临时，系统是临 界稳定的，即系统处于等幅振荡状态。显然界稳定的，即系统处于等幅振荡状态。显然-1/N(A)相当于线相当于线 性系统中的（性系统中的（-1,j0）点）点。可见，线性系统的临界状态是奈氏曲。

52、可见，线性系统的临界状态是奈氏曲 线过点（线过点（-1,j0），而），而非线性系统的临界状态是奈氏曲线与负倒非线性系统的临界状态是奈氏曲线与负倒 特性曲线特性曲线-1/N(A)曲线相交曲线相交。 )( 1 )( AN jG 可见可见： 只要在复平面上只要在复平面上同时会出线性部分的奈氏曲线和非线性部同时会出线性部分的奈氏曲线和非线性部 分的负倒特性曲线分的负倒特性曲线，便可以利用奈氏判据来判断非线性系统的，便可以利用奈氏判据来判断非线性系统的 稳定性。稳定性。 方法如下：方法如下： 若若G (j)曲线曲线不包围不包围-1/N(A)曲线，非线性系统曲线，非线性系统稳定。稳定。 （如图（如图a a

53、），而且两者距离越远，稳定性越好。），而且两者距离越远，稳定性越好。 若若G (j)曲线曲线包围包围-1/N(A)曲线，非线性系统曲线，非线性系统不稳定。不稳定。 （如图（如图b b）。）。 若若G (j)曲线与曲线与- -1/N(A)曲线曲线相交相交，理论上将，理论上将产生等幅振荡的产生等幅振荡的 周期运动。周期运动。（如图（如图c c，有两个周期运动点，有两个周期运动点A和和B）。）。 (a) 稳定稳定(a) 不稳定不稳定 (a) 自激振荡自激振荡 图图 非线性系统的奈氏图与负倒特性的关系非线性系统的奈氏图与负倒特性的关系 （3）自振荡自振荡的分析与计算的分析与计算 由上分析可知，若由上分

54、析可知，若G (j)曲线与曲线与-1/N(A)曲线曲线相交相交，非线，非线 性系统将产生自振荡，此时对输入信号至少存在一组（性系统将产生自振荡，此时对输入信号至少存在一组（A,） 参数满足这一条件。参数满足这一条件。 一般来说，控制系统不希望有自振荡现象产生，为此应一般来说，控制系统不希望有自振荡现象产生，为此应 分析自振荡产生的条件，为系统参数的调整和校正装置的设分析自振荡产生的条件，为系统参数的调整和校正装置的设 计提供依据。计提供依据。 l 稳定性分析稳定性分析小扰动小扰动法法 在自振荡点，当系统受到小扰动后，若最后能回到该点，在自振荡点，当系统受到小扰动后，若最后能回到该点， 则自振荡

55、是稳定的，否则不稳定。则自振荡是稳定的，否则不稳定。 如图，系统有如图，系统有A、B两个自振荡点，由两个自振荡点，由奈氏判据奈氏判据知，奈知，奈 氏图以外（左侧）为稳定区，里侧（右侧）为不稳定区。氏图以外（左侧）为稳定区，里侧（右侧）为不稳定区。 经小扰动法分析，经小扰动法分析，A 点自振荡不稳定，点自振荡不稳定，B点点 稳定稳定。 （0AXA 或或XB A ） 系统稳定的范围是：系统稳定的范围是： 图图 非线性系统自振荡的稳定性非线性系统自振荡的稳定性 X不稳定区不稳定区 振荡发散振荡发散 稳稳 定定 区区 自振荡稳定性的自振荡稳定性的简易判断方法简易判断方法 在自振荡点附近，沿在自振荡点附

56、近，沿A方向方向-1/N(A)曲线由不稳定区进入曲线由不稳定区进入 稳定区时，该点对应的周期运动是稳定的，稳定区时，该点对应的周期运动是稳定的，如上图中如上图中B点；点；否否 则为不稳定的自振荡点则为不稳定的自振荡点，如上图中的，如上图中的A点。点。 若交点处两条曲线若交点处两条曲线几乎垂直相交几乎垂直相交，且非线性环节输出的高，且非线性环节输出的高 次谐波分量被线性部分充分衰减，则分析结果是准确的。若两次谐波分量被线性部分充分衰减，则分析结果是准确的。若两 曲线在交点处曲线在交点处几乎相切几乎相切，则在一些情况下，则在一些情况下( (取决于高次谐波的取决于高次谐波的 衰减程度衰减程度) )不

57、存在自振荡。不存在自振荡。 l 自振荡自振荡振幅和频率的计算振幅和频率的计算 )( 1 )( AN jG 自振自振 荡点荡点 稳定点的稳定点的 输出响应输出响应 判断判断 稳定性稳定性 A、 4 4 自振分析自振分析 ( (定量定量) ) 自振必要条件：自振必要条件： 例例1 1 分析系统的稳定性分析系统的稳定性(M=1)，求自振参数。，求自振参数。 解解 作图分析，作图分析，系统一定自振。系统一定自振。 1)()( jGAN由自振条件：由自振条件： 1 )2)(1( 104 jjjA )2(3)2)(1( 40 22 jjjj A 2 3 40 A 122. 2 6 40 A 得：得： 比较

58、实比较实/ /虚部虚部： 0)2( 2 2 1)()( jGAN 分析：可以调节分析：可以调节K, t t 实现要求的自振运动。实现要求的自振运动。 1)()( jGAN 1 )2)(1( 4 t t jjj Ke A M j )2(3 4 22 t t j A MKe j ) 3 2 arctan(54 2 42 1 4 1 A M 322. 0 3 1 arctan 93. 910 t t K 解解 代入代入比较模和相角得比较模和相角得 例例2 2 系统如右，欲产生系统如右，欲产生 的周期信号的周期信号, , 试确定试确定K、t t 的值的值。 4 1 A 例例3 3 非线性系统结构图如右

59、图所示，非线性系统结构图如右图所示， 已知：已知： 自振时自振时, ,调整调整K使使 。 求此时的求此时的K值和自振参数值和自振参数(A, )以及输出振幅以及输出振幅 Ac。 (1)(1)(2)(2)定性分析定性分析K增大后自振参数增大后自振参数(A, )的变化规律。的变化规律。 ) 1( 8 1 8 )( 1, 2 2 2 2 A A jA A AN hM 135 )1( 2 )( ss K sG jA A AN 1 8 )( 2 2 jA AN 1 8)( 1 2 88 1 1 1 2 )1( 2 )( 2 jj K jj K jG 解解(1)(1) (2) (2) 依图分析：依图分析：

60、,AK 2 A 6 . 328 3927. 08 1 c A K 88 j 例例4 4 非线性系统结构图如右图所示，非线性系统结构图如右图所示， 已知：已知： 时，系统是否自振？时，系统是否自振？ 确定使系统自振的确定使系统自振的K值范围；求值范围；求K=2时的自振参时的自振参 数。数。 (1)(1) (2) (2) G3(s)=s 时，分析系统的稳定性。时，分析系统的稳定性。 )(1 4 )( )(, ) 1( 1 )( 2 21 hA A h A M AN s K sG ss sG 1)( 3 sG 解解 先将系统结构图化为典型结构先将系统结构图化为典型结构 解法解法II 特征方程法特征方