模糊逻辑与模糊推理

1、模糊逻辑与模糊推理模糊逻辑与模糊推理 智能信息处理研究所 Motivation l一提到数学，人们自然会想到它是精确的(set)。然而 精确数学却不能有效描述现实世界里普遍存在的模糊 想象，如“好与坏”，“长与短”、“一大堆”， “一小撮”，“太冷”，“太热”，“物美价廉”， 这些“量”在人们的头脑都有一个人们普遍接受的标 准，利用这些模糊量非但没有影响人们的信息交流， 反倒能便于理解与记忆。 l模糊逻辑是一种精确解决不精确、不完全信息的方法。 模糊逻辑可以比较自然地处理人的概念，它是一种通 过模仿人的思维方式来表示和分析不确定、不精确信 息的方法和工具. l模糊逻辑，不同于经典逻辑在真和假之

2、间没有精 确的边界，即从真到假之间的转变是逐渐，这个 过程通过隶属度函数来描述。 l模糊并非来源于集合组成元素的随机性，而是来 源于抽象思维和概念的不确定性及不精确本质。 History lThe precision of mathematics（精确数学） owes its success in large part to the efforts of Aristotle（亚里斯多 德）。 lTheir efforts led to a concise theory of logic and mathematics. lThe “Law of the Excluded Middle”（排除中

3、间） states that every proposition must either be True or False. lPlato反对这种非此即彼的思维方法，他认为在真与假之 间应该存在一种介于真与假之间的灰色地带的第三区域。 lThere were strong and immediate objections（缺陷）. For example, Heraclitus（赫拉 克利特）proposed that things could be simultaneously True and not True. History l一百多年前，罗素曾经指出过二元逻辑的局限性。 lLukas

4、iewicz(波兰科学家，卢卡谢维奇 ) 对亚里斯多德的二值 逻辑进行改进。提出了多值逻辑。 lIn the early 1900s, Lukasiewicz described a three- valued logic. The third value can be translated as the term “possible,” and he assigned it a numeric value between True and False. lLater, he explored four-valued logics, five-valued logics, and declar

5、ed that in principle there was nothing to prevent the derivation of an infinite-valued logic. History lKnuth(高德纳) proposed a three-valued logic similar to Lukasiewiczs.（卢卡谢维奇） lHe speculated(推测) that mathematics would become even more elegant than in traditional bi- valued logic. lHis insight was to

6、 use the integral range(区间) -1, 0 +1 rather than 0, 1, 2. History lLotfi Zadeh（扎德 ）, at the University of California at Berkeley, first presented fuzzy logic in the mid-1960s. lZadeh developed fuzzy logic as a way of processing data. Instead of requiring a data element to be either a member or non-m

7、ember of a set, he introduced the idea of partial set membership.(他首次提出fuzzy logical，引入部分属于的思想) l1965年发表关于模糊集合理论的论文。 l 1966年马里诺斯（Marinos）发表关于模糊逻辑的研究报告。 l 以后，扎德（L.A.Zadeh）又提出关于模糊语言变量的概念。 l 1974年扎德（L.A.Zadeh）进行有关模糊逻辑推理的研究。 l 扎德的重要贡献在于将模糊和数学统一在一起 History l模糊理论起源于美国，但是它在美国却因为传统的习惯力 量，发展并不顺利，同样在欧洲也受到一定程度

8、的抵制。 西方人喜欢在精确问题上钻牛角尖，偏好亚里斯多德的二 元逻辑系统。东方人擅长兼蓄思维，西方人娴熟于分析推 理，这种文化沉淀上的差异也可以从对模糊逻辑的接受程 度上反映出来。 l模糊是相对于精确而言的。对于多因素的复杂状况，模糊 往往显示出更大的精确。过份精确还可能导致过于克板、 缺乏灵活性。如，我们到机场去接一位不认识的朋友，需 要知道的是对方的几个主要特徵，而不需要对他的高低胖 瘦精确到几尺几寸；有的人作演讲，按提纲讲要点，临场 发挥，就可以做到疏而不漏； l水至清则无鱼，人至察则无友！ Application l七十年代欧洲进行模糊逻辑在工业方面的应用研究： 实现了第一个试验性的蒸

9、汽机控制； 热交换器模糊逻辑控制试验； 转炉炼钢模糊逻辑控制试验； 温度模糊逻辑控制； 十字路口交通控制； 污、废水处理等。 Application 八十年代日本情况： 列车的运行和停车模糊逻辑控制，节能1114%； 汽车速度模糊逻辑控制（加速平滑、上下坡稳定）； 港口集装箱起重机的小车行走和卷扬机的运行控制； 家电模糊逻辑控制（电饭煲、洗衣机、微波炉、空 调、 电冰箱等）。 Application l1987年,日本人研制成功新一代数字模糊微处理器; l1990年,美国加 利福尼亚的 公司推出第二代数字模糊微处理器 110 ; l1992年,德国西 门子公司宣布第三代数字模糊微处 理器Fuz

10、zy 166研制成功,从而标志着模糊控制理论、 模糊控制系统应用和计算机的结合已进入成熟的 实用阶段. 模糊逻辑的特点模糊逻辑的特点 l模糊逻辑是界于传统人工智能的符号推理和传 统控制理论的数值计算之间的方法。 l它不依赖于模型，用语言来表示变量，用规则 进行模糊推理，处理事物。 l承认真值(True)与假值(False)的中间过渡性，认 为事物在形态和类属方面亦此亦彼，模棱两可， 相邻中介之间是相互交叉和渗透的。 模糊集定义 经典集合模糊集合 定义：设在论域U上给定一个映射 CA : U0,1 则： 集合CA =u| CA(u)=1,uU 集合A的特征函数为： A A A Cu Cu uC

11、0 1 )( 定义：设在论域U上给定一个映射 A: U0,1 u|A(u) 则: A称作论域U上的模糊集，A(u)称 为A的隶属函数。 隶属函数为0或1的特例 Bivalence and Fuzz Crisp set vs. Fuzzy set A traditional crisp setA fuzzy set Crisp set vs. Fuzzy set 模糊集概念模糊集概念 举例举例 经典集合模糊集合 (1) U为离散的(1) U为离散的 8 7 6 5 4 3 2 1 4cm CA长度大于4cm的线段 则： CA =8,7,6,5 即： A长线段 则： A=?根据线段越 短属于长线段

12、的隶属度递减可以设： others u uCA 0 5 , 6 , 7 , 81 )( 7 1 18 1 )( ii uA i 8 7 6 5 4 3 2 1 4cm 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 1 模糊与概率模糊与概率 lFuzzy systems and probability operate over the same numeric range. 0，1.0. lboth describe uncertainty lThe probabilistic approach yields(描述) the natural-language stateme

13、nt, “There is an 80% chance that John is balding.” The fuzzy terminology(术语) corresponds to “Johns degree of membership within the set of balding people is 0.80.” 模糊和概率模糊和概率 是否不确定性就是随机性？概率的概念是否包含了所有的不确定 性的概念？ Bayesian camp：概率是一种主观的先验知识，不是一种频率 和客观测量值(赌博为例，赌徒总认为他所认为事件概率大) Lindley：概率是对不确定性唯一有效并充分的描述，所有

14、其 他方法都是不充分的(直接指向模糊理论) 随机和模糊在概念和理论上都是有区别的 相似：通过单位间隔0,1间的数来表述不确定性，都兼有集 合和命题的结合律、交换律、分配律 区别：对待 。经典集合论， 代表概率上不可能的事件。而模糊建立在 , ()( )0 cc AAP AAP c AA c AA Randomness vs. Fuzziness Example1: There is a 20% chance to rain. ( probability ( xd dxc cd cd cxb bxa ab ax ax dcbaxtrapezoid 0 1 0 ),;( xc cxb bc xc

15、bxa ab ax ax dcbaxtrapezoid 0 0 ),;( 2 2 1 ),;( cx ecxgaussian 钟型隶属度函数钟型隶属度函数 l改变c和a可改变隶属度函数的中心和宽度，通 过b来控制交叉点处的斜度。 -10-50510 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (a) Changing a 2 4 6 -10-50510 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (b) Changing b 1 2 4 -10-50510 0 0.5 1 (c) Changing c -5 0 5 -10-50510 0 0.5 1 (d) Changing a and b 4,4

16、6,6 8,8 Sigmoid隶属度函数隶属度函数 l此类函数常用于人工神经网络。 l参数a定义左开和右开。 适合用来描述“非常大”或 “非常负”。 (b)和(d)的作用在于构造闭 且非对称的隶属度函数。 )(exp1 1 ),;( cxa caxsig -10-50510 0 0.5 1 y1 y2 (a) y1 = sig(x;1,-5); y2 = sig(x;2,5) -10-50510 0 0.5 1 (b) |y1 - y2| -10-50510 0 0.5 1 y1y3 (c) y1 = sig(x;1,-5); y3 = sig(x;-2,5) -10-50510 0 0.5

17、1 (d) y1*y3 二维隶属度函数二维隶属度函数 2 A 2 A 2 2 A 4yexpy 2 3x expx 4y3x 4y 2 3x expyx 43yxA )() ) )(), ),( （ （ 附近“在附近“且”在的两个陈述句” “连接可以看作由连接词”与我们把上述的模糊集合 （ 数为）附近“，其隶属度函，在（假设模糊集合 二维隶属度函数二维隶属度函数 l一维扩展(Cylindrical Extension) YX A yxxAC),/()()( Base set ACylindrical Ext. of A 2D MF Projection(二维投影二维投影) Two-dimens

18、ional MF Projection onto X Projection onto Y R x y( ,) A y R x x y ( ) max( , ) B x R y x y ( ) max( , ) project.m 通过极小极大运算产生二维隶属度函数通过极小极大运算产生二维隶属度函数 -10 0 10 -10 0 10 0 0.5 1 X (a) z = min(trap(x), trap(y) Y -10 0 10 -10 0 10 0 0.5 1 X (b) z = max(trap(x), trap(y) Y -10 0 10 -10 0 10 0 0.5 1 X (c)

19、z = min(bell(x), bell(y) Y -10 0 10 -10 0 10 0 0.5 1 X (d) z = max(bell(x), bell(y) Y Trap(x)=trapezoid(x;-6,-2,2,6) Trap(y)=trapezoid(y;-6,-2,2,6) Bell(x)=bell(x;4,3,0); bell(y)=bell(y;4,3,0) 隶属度函数实质上反映的是事物的渐变性 遵守的基本原则： 1、表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合； 例如“速度适中”的隶属度函数在一定范围内或者一定 条件下，模糊概念的隶属度具有一定的稳定性从最大的隶属 度函点

20、出发向两边延伸时，其隶属度函数的值必须是单调递减 的，而不许有波浪性总之，隶属度函数呈单峰馒头形(凸模糊 集合，一般用三角形和梯形作为隶属度函数曲线) 凸模糊集合 非凸模糊集合 2、变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的 模糊变量的标称值选择一般取39个为宜，通常取奇数 （平衡）在“零”、“适中”或者“合适”集合的两边语 言值通常取对称（如速度适中，一边取“速度高”，一般另一 边取“速度低”，满足对称）。 3、隶属度函数要符合人们的语义顺序，避免不恰当的重叠 在相同的论域上使用的具有语义顺序关系的若干标称的 模糊集合，应该合理的排列。下面的排列是错误的。 适中高很高 0 32速度 交叉越界的隶属

21、度函数示意图 4、论域中的每个点应该至少属于一个隶属度函数的区域，同时它一 般应该属于至多不超过两个隶属度函数的区域。 5、对于同一输入，没有两个隶属度函数会同时有最大隶属度。(最大代表集合的最明 显特征） 6、对两个隶属度函数重叠时，重叠部分对于两个隶属度函数的最大隶属度 不应该有交叉。 重 叠 指 数 重叠指数是衡量隶属度函数与模糊控制器性能关系的一个重要指标。 重叠率和重叠鲁棒性 重叠范围 附近隶属函数范围 l x0 0 . 1 5 . 0 1 A 2 A LU 围附近模糊隶属函数的范 重叠范围 重叠率 )(2 )( 21 LU dx U L AA 总的重叠最大面积 总的重叠面积 重叠鲁

22、棒性 一般取0.20.6 一般取0.30.7 隶属度函数是模糊 控制的应用基础 如何确定 隶属函数? 初步确定隶属函数 自学习修改和完善 隶属函数的选择方法 模糊统 计法 例证法 专家经 验法 二元对比 排序法 (1)模糊统计法 模糊统计法的基本思想是对论域U上的一个确定元素v是 否属于论域上的一个可变的清晰集的判断。 模糊集如：年轻人 清晰集“1730岁的人“、2535岁的人”，对于同一 个模糊集可以有不同的清晰集。 n Av Av 试验总次数 的次数 的隶属频率对 0 0 模糊统计法计算步骤： N越大，隶属频率就越稳定，但是计算量比较大。 （2）例证法 例证法由已知的有限个隶属函数的值，

23、来估计论域U上的模糊子集A的隶属函数。 （3）专家经验法 专家经验法是根据专家的实际经验给出模 糊信息的处理算式或者相应的权系数值隶属函数的一种方法。 （4）二元对比排序法 二元对比排序法是通过多个事物之间 两两对比来确定某种特征下的顺序，由此来确定这些失去对 该特征的隶属函数的大体形状。 模糊控制中的隶属函数图形大概有以下三大类： 1、左大右小的偏小型下降函数（Z函数） 2、左小右大的偏大型上升函数（S函数） 3、对称型凸函数（II函数） x 0 1.0 u(x) x 0 1.0 u(x) x 0 1.0 u(x) x 0 1.0 u(x) x 0 1.0 u(x) x 0 1.0 u(x)

24、 图 Z函数 图 S函数 x x 0 1.0 u(x) x 0 1.0 u(x) x 0 1.0 u(x) x 0 1.0 u(x) 0 1.0 u(x) 图 II函数 模糊补、并、交模糊补、并、交 l模糊补算子是满足以下公理条件的连续函数N:0,1-0,1，即 N(0)=1,N(1)=0;N(a)N(b)，如果ab; Sugeno补 Yager 补 l模糊交算子： T为T范式算子 )(* )()(),()(xxxxTx BABABA Ns(a)=(1-a)/(1+sa) Nw(a)=(1-aw)1/w T范式算子范式算子(交交) lT范式算子是一个两变量函数T(.,.)满足： T(0,0)=

25、0;T(a,1)=T(1,a)=a;(与精确集合兼容) T(a,b)T(c,d),如果ac且b= Tap =Tbp =Tdp (当a和b中有一个为1,0时相等） T范式算子范式算子(交交) 0 0.5 1 0 0.5 1 0 0.5 1 a (a) Min b 0 10 20 0 10 20 0 0.5 1 X = x Y = y 0 0.5 1 0 0.5 1 0 0.5 1 X = a (b) Algebraic Product Y = b 0 10 20 0 10 20 0 0.5 1 X = x Y = y 0 0.5 1 0 0.5 1 0 0.5 1 X = a (c) Bound

26、ed Product Y = b 0 10 20 0 10 20 0 0.5 1 X = x Y = y 0 0.5 1 0 0.5 1 0 0.5 1 X = a (d) Drastic Product Y = b 0 10 20 0 10 20 0 0.5 1 X = x Y = y a=trapezeoid(x;3,8,12,17) b=trapezeoid(x;3,8,12,17) T协范式协范式 )( )()(),()(xxxxTx BABABA 模糊并算子通常由函数S：0，1*0,1-0,1来表示，记为： S范式算子是一个两变量函数T(.,.)满足： S(1,1)=1;S(a,0)

27、=S(0,a)=a; S(a,b)S(c,d),如果ac且bd; S(a,b)=S(b,a); S(a,S(b,c)=S(S(a,b),c); 常见S范式 极大 Tmax (a,b)=max(a,b), 代数和 Tap (a,b)= a+b-ab 有界积 Tbp (a,b)= min(1,a+b) 强积 Tap (a,b)= T(a,b)= a,if b=0;b,if a=0;else 1; Tmax= Tap =Tbp =0;x xb ）。 在现代数学中，关系常用集合来表现。 在集合 A 与集合 B 中各取出一元素排列成序对（或称序偶），所 有这样的序对构成的集合叫做 A 和 B 的直积集，

28、记为： A B （ a ， b ） |a A ， b B 。 序对 (a ， b) 是和顺序有关的，即（ a ， b ）（ b ， a ），所以 A B B A 注意：关系是有向的 模糊关系模糊关系 模糊关系是普通关系的推广，普通关系只能描述 元素间关系的有无，而模糊关系则描述元素之间关系 的多少 。 在医学上常用公式： 体重 B （公斤） = 身高 A （厘米） -100 来表示标准体重，这就给出了身高 A与体重B 的普通 关系，若 A=140 ， 150 ， 160 ， 170 ， 180 B=40 ， 50 ， 60 ， 70 ， 80 身高与体重的普通关系如下表所示： 但人胖瘦不同，对

29、于非标准的情况，身高与体重的关系应该以接近标准的程 度来描述，这就导致产生如下表所示的模糊关系。显然，它能更深刻、 更完整地给出身高与体重的对应关系 模糊关系模糊关系 l例 l二元模糊关系是X*Y上的模糊集合，将X*Y上的每个元素映射 为0到1之间的隶属度。 l定义设X和Y是两个论域，则关系 R=(x,y), (x,y) 常见的二元关系 x接近于y；（x,y是数字） x取决于y；（x,y是事件） x和y看上去很相似（x,y是人或物体) 如x是大的，则y是小的 (x是观察到的数，Y为采取的行动推理） R 模糊关系：U、V是论域，则称集合UV(u,v)|u U, v V为笛 卡儿积，以UV为域，设

30、R F(UV)，它的隶属函数： 就确定了从U到V的模糊关系记做： ),(),( 1 , 0: vuRvu VUR VU R 注意：关系是有向的 当U和V是的时候，可以用行表示U，列表示V则域UV上 的关系R可以表示为： 100 0.910 0.90.80.5 R 张三 李四 王二麻 张三 李四 王二麻 模糊矩阵：设矩阵 R=(rij)mn rij0,1 则称R为模糊矩阵 特别当rij0,1则称R为布尔矩阵。 例例 X=Y=R+，且R=“y远远大于x”，R的隶属度函数主观定义为： 如果x=3，4，5，Y=3，4，5，6，7 则关系矩阵： 0 2),(yx xy yx R else xy 134.

31、 0 231. 0 333. 0 077. 0 167. 0 273. 0 0 091. 0 200. 0 0 0 111. 0 0 0 0 R x y 例如：例如：当U=V=张三、李四、王二麻， 则： UV(张三,张三),(张三,李四), (张三,王二麻), (李四,李四), (李四,张三), (李四,王二麻), (王二麻,王二麻), (王二麻,张三), (王二麻,李四) 模糊关系 R=(1, 0, 0, 1, 0.9, 0, 0.5, 0.9, 0.8)，表示三者之间的信 任关系。 张三 王二麻李四 1 00 0 10.5 0.90.9 0.8 VUvuvuRvuRRR),(),(),(

32、2121 VUvuvuRvuRRR),(),(),( 2121 VUvuvuRvuRvuRR),(),(),(),)( 2121 VUvuvuRvuR t Tt Tt t ),(),(),( 表示取下确界表示取上确界，为指标集，T VUvuvuRvuRvuRR),(),(),(),)( 2121 VUvuvuRvuR t Tt Tt t ),(),(),( VUvuvuRvuR c ),(),(1),( 1 相等 2 包含 3 并 4 交 5 余 R1:X与Y具有血缘关系；R2：X与Y具有兄弟关系，R3：X与Y同是某人的儿子 模糊关系复合运算模糊关系复合运算 l在日常生活中，两个单纯关系的组合

33、， 可以构一种新的 合成关系。例如，有u,v,w 三个人，若u是v的妹妹，而 v 又是w 的丈夫，则 与 就是一种新的关系，即姑嫂关系。 用关系式表示的话,可写作姑嫂=兄妹*夫妻,其中是*合成运 算符。 l扎德所提出极大-极小复合 模糊关系复合运算模糊关系复合运算 l极大-乘积复合 例：例： lR1=“x与y相关” lR2=“y与z相关” lX=1，2，3，Y=y1,y2,y3,y4,Z=a,b lR1= R2= lR3（2，a）=R1。R2 （2，a）=极大-极小 max(min(0.4,0.9),min(0.9,0.7) lR3（2，a）=R1。R2 （2，a）=极大-乘积 lMax(0.

34、4*0.9,0.9*0.7) 2 . 03 . 08 . 06 . 0 9 . 08 . 02 . 04 . 0 7 . 05 . 03 . 01 . 0 2 . 0 6 . 0 3 . 0 1 . 0 7 . 0 5 . 0 2 . 0 9 . 0 X=2 Z=a 1 2 3 y1 y2 y3 y4 a b 0.4 0.2 0.8 0.9 0.9 0.2 0.5 0.7 ZYYX QP , 5 . 07 . 03 . 0 1 . 05 . 08 . 0 , 8 . 04 . 0 3 . 05 . 0 QP 5 . 07 . 04 . 0 3 . 05 . 05 . 0 ) 5 . 0 , 1

35、 . 0()7 . 0 , 4 . 0() 3 . 0 , 4 . 0( ) 3 . 0 , 1 . 0() 3 . 0 , 5 . 0() 3 . 0 , 5 . 0( ) 5 . 08 . 0(),1 . 04 . 0()7 . 08 . 0(),5 . 04 . 0() 3 . 08 . 0(),8 . 04 . 0( ) 5 . 03 . 0(),1 . 05 . 0()7 . 03 . 0(),5 . 05 . 0() 3 . 03 . 0(),8 . 05 . 0( QPR l 假设有两个模糊关系的合成如下： l则模糊关系 P 与模糊关系 Q 的合成为： 语言变量语言变量 l采用近

36、似的方式采用模糊集合而不精确数字来 表示和概括信息。（如年纪，身高，红色） 语言变量语言变量 l语言变量。 可可用一个有五个元素的集合(x,T(x),X,G,M)来表征，其 中x是语言变量名；T(x)为语言变量x的语言值或语言术语 集合；X为语言变量x的论域；G为产生T(x)中术语的句法 规则，用于产生语言变量值的；M是赋予每个语言值A以 含义M(A)的语法规则，即隶属度函数。 T(年纪）=年轻，不年轻，不很年轻, 中年，不是中年, 年老，非常年老, 不年轻也不老,. 语言变量语言变量 lT（年纪）中的每一个术语可表征为论域X=0， 100上的模糊集合，通常我们用“年纪是青的” 来表示给语言变

37、量“年纪”赋以语言值“年轻 “。相反，当将年纪作为一个数值变量，使用 表达式”年纪=20”来赋予数值变量“年纪”以 数值20。 语言变量语言变量 0102030405060708090100 0 0.5 1 X = age Membership Grades Old Very Old Young Very Young Middle Aged 句法规则：通过否定词（不）或程度词（非常、或多或少）来修饰 几个基本术语（年轻，年老，中年）来产生句法规则。 压缩与扩张算子 X k A k xxA/ K1,压缩（很）；kB表示X*Y上的模糊关系R，则由“x是 A/”和模糊规则“如果X是A，则Y是B”导出

38、的模糊 集合B/定义为： ),(),(minmax)(yxxy RAxB 对于单一前件的单一规则 By BythenAxif Ax 是结果（结论） 是是（规则）前提 是（事实）前提 , 2 1 复合运算）（minmax )( )()()( )()()()( y yxx yxxy B BAA x BAA x B 模糊推理模糊推理 l对于多个前件的单一规则 l具有两个前件的模糊if-then规则通常写为“如 果x是A，y是B，则z是C”，GMP（广义假言推 理）相应的问题为： 前提1（事实）x是A/，y是B/ 前提2（规则）如果x是A，y是B，则z是C 后件（结论）z是C/。 )()()()()(

39、)(zyyxxy cBByAAxB 2. 多前提单规则 )()( )()()()()( )()()()()( )()()()()()( 21 , z zyyxx zyxyx zyxyxy c CBB y AA x CBABA yx CBABA yx B ， 上式的前半部分称为激励程度或满足度，表示前件部分被满足的程度。 Cz CthenByAxif CthenByAxif ByAx 是结果（结论） 是是和是）（规则前提 是是和是）（规则前提 是是（事实）前提 Z, 23 Z, 12 , 1 222 111 3) 多前提多规则 1 C 1 C 2 C 2 C C )()()()()( )()()

40、()()()( 21 222 111 22211211CC CBABA yx CBABA yx B zyxyx zyxyxy ）（）（ ， ， 21 21 21 CC )()( )()( RBARBA RRBAC 隶属函数的计算： 模糊推理模糊推理 l前两部分称为激励强度和饱和度，表示规则前 件部分被满足的程度。 l模糊推理过程可分为四步 1.计算匹配度 2.计算激励度（某个规则激励程度） 3.对规则的后件作用激励强度，生成有效的后 件的MF表示在一个模糊隐含句中 4.综合所有的有效后件，求得总输出MF 模糊推理系统模糊推理系统 l模糊推理系统是建立在模糊集合理论，模糊if- then规则和模

41、糊推理等概念基础之上的先进的 计算框架。 l模糊推理系统包括三部分：规则库；数据库， 所有隶属度函数；推理机制。 模糊推理系统 规则库 推理机 去模糊器 模糊器 精确输入 精确输出 模糊输入集合 模糊输出集合 模糊推理系统 单点模糊化 ),()( 0)( ; 1)( yxxy xxxxxx A BAB AA 。时，时，即： 是单点模糊器，输入模糊集合 非单点模糊化 l G p l A l Axx Xx B pxxA pxAxAA x A AA l p pX p X xxxxy xxx xpxxx Al xxxx xxxxxx A )()( )()(sup)( )()()( )()()( )(

42、0)( ; 1)( 211 1 1 11 1 1 简写： 的维数）。是（ 可写出：条规则，模糊集合对第 为向量，逐渐减小。考虑），的变化（偏离随 ，时，时，即： 是非单点模糊器，输入模糊集合 去模糊化去模糊化 l通过模糊推理得到的结果是一个模糊集合或者隶属函数，但在实 际应用中，特别是在模糊逻辑控制中，必须要用一确定的值才能 去控制实际的系统。在推理得到的模糊集合中取一个相对最能代 表这个模糊集合的单值的过程就称作解模糊判决，也称清晰化计 算。 l解模糊判决通常有下述几种方法，不同的方法所得到的结果也是 不同的。理论上用重心法比较合理，但是计算比较复杂，故在实 时性要求高的系统不采用这种方法。

43、最简单的方法是最大隶属度 方法，这种方法取所有模糊集合或者隶属函数中隶属度最大的那 个值作为输出，但是这种方法未顾及其它隶属度较小的那些值的 影响，代表性不好，所以它经常用于简单的系统。介于这两者之 间的还有各种平均法：如加权平均法、隶属度限幅元素平均法等。 重心法重心法 l所谓重心法(center of grevity,简称COG)就是 取模糊隶属度函数曲线与横坐标轴围成面积的 重心作为代表点。理论上说，我们应该计算输 出范围内一系列连续点的重心，即： Z A Z A COA dzz zdzz Z )( )( 面积等分法面积等分法 l面积等分法满足： BOA BOA Z A Z A dzzd

44、zz)()( Zzz|minZzz|max 其中 极大平均法极大平均法 l极大平均法ZMOM： ZMOM使MF达到极大值 的z的平 均值： 其中 Z Z MoM dz zdz Z * * )(|zzZ A 极大最小法与极大最大法极大最小法与极大最大法 l极大最小法ZSOM： ZSOM使得隶属度函数极大 化的最小的z。 l极大最大法ZLOM： ZLOM使得隶属度函数极大 化的最大的z。 去模糊化图示 例例1 -10-8-6-4-20246810 0 0.5 1 X Membership Grades smallmediumlarge 012345678910 0 0.5 1 Y Membersh

45、ip Grades smallmediumlarge 一个具有三条规则的单输入，如果x小则y小；如果x中则y中； 如果x大则y大。 使用极大极小复合和中心去模糊化使用极大极小复合和中心去模糊化 例例1 -10-8-6-4-20246810 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X Y 例例2 两输入两输入 l规则： l如果X小y小则Z负大。 l如果X小y大则Z负小。 l如果X大y小则Z正小。 l如果X大y大则Z正大。 例例2 -5-4-3-2-1012345 0 0.5 1 X Membership Grades smalllarge -5-4-3-2-1012345 0 0.5 1

46、Y Membership Grades smalllarge -5-4-3-2-1012345 0 0.5 1 Z Membership Grades large negativesmall negativesmall positivelarge positive 使用极大极小复合和中心去模糊化使用极大极小复合和中心去模糊化 例例2 -5 0 5 -5 0 5 -3 -2 -1 0 1 2 3 X Y Z Fuzzy Logic System lThe subway(地铁) in Sendai(仙台), Japan uses a fuzzy logic control system devel

47、oped by Serji Yasunobu of Hitachi(日立). lIt took 8 years to complete and was finally put into use in 1987. Control System lBased on rules of logic obtained from train drivers so as to model real human decisions as closely as possible(通过向火车司机学习， 来获得和人类决策尽可能相同的决策规则) lTask: Controls the speed at which t

48、he train takes curves as well as the acceleration and braking systems of the train (控制火车在转弯 时的速度,以及加速和停车时的速度). 模糊控制过程模糊控制过程 要实现语言控制的模糊逻辑控制器，就必须解决三个基本问题: 第一:先通过传感器把要监测的物理量变成电量，再通过模数转换器 转换成模糊集合的隶属函数，这一步就称为精确量的模糊化或者模糊 量化，其目的是把传感器的输入转换成知识库可以理解和操作的变量 格式。 第二:根据有经验的操作者或者专家的经验定出模糊控制规则，并进 行模糊逻辑推理，以得到一个模糊输出集合

49、即一个新的模糊隶属函数， 这一步称为模糊控制规则形成和推理，其目的是用模糊输入值去适配 控制规则，为每一个控制规则确定其适配的程度，并且通过加权计算 合并那些规则的输出。 第三:根据模糊逻辑推理得到的输出模糊隶属函数，用不同的方法找 一个具有代表性的精确值作为控制量，这一步称为模糊输出量的解模 糊判决；其目的是把分布范围概括合并成单点的输出值，加到执行器 上实现控制。 模糊控制器基本结构模糊控制器基本结构 ut是被控对象的输入，yt是被控对象的输出，st是参考输入，et=st-yt是误差。 它根据误差信号et产生合适的控制作用ut，输出给被控对象。 模糊化接口模糊化接口 一.模糊化接口（Fuz

50、zification） 这部分的作用是将输入的精确量转化成模糊化量。 其中输入量包括外界的参考输入，系统的输出或状态等。 模糊化的具体过程如下： （1）首先对这些输入量进行处理以变成模糊控制器要 求的输入量。 （2）将上述已经处理过的输入量进行尺度变换，使其 变换到各自的的论域范围。 （3）将已经变换到论域范围的输入量进行模糊处理， 使原先精确的输入量变成模糊量，并用相应的模糊集合 来表示 知识库知识库 知识库中包含了具体应用领域中的知识和要求的 控制目标。它通常由数据库和模糊控制规则库两 部分组成。 （1）数据库主要包括各语言变量的隶属度函数， 尺度变换因子以及模糊空间的分级数等。 （2）规

51、则库包括了用模糊语言变量表示的一系 列控制规则。他们反映了控制专家的经验和知识。 模糊推理模糊推理 l模糊推理是模糊控制器的核心，它具有模拟人 的基于模糊概念的推理能力。该推理过程是基 于模糊逻辑中的蕴含关系及推理规则来进行的 解模糊接口解模糊接口 清晰化（解模糊接口） 清晰化的作用是将模糊推理得到的控制量 （模糊量）变换为实际用于控制的清晰量。它包 含以下两部分内容： （1）将模糊的控制量经清晰化变换变成表示在 论域范围的清晰量。 （2）将表示在论域范围的清晰量经尺度变换变 成实际的控制量。 x,y x=10, x=0 x=20 装卸站台 90 4040 ， 20, 0 x )90,10()

52、,( ff x 货车终点位置 举例：货车倒车 S3 S2 S3 S3 S3 B1 S1 S2 S3 S2 B2 B2 CE S2 S2 B2 B3 B2 B1 S1 B3 B3 B3 B2 B3 B2 S2S3 S2 S3 CE B1 B2 B3 S2S1CEB1B2 x 规则：规则： ; , : ; , : ; , : ; , : 2 23 )5 , 7( )3 , 4( 2 21 )5 , 3( 3 13 )2, 1 ( Bthen BxBifR CEthen CExCEifR Sthen BxSifR Sthen SxSifR 是 是和是 是 是和是 是 是和是 是 是和是 140 19

53、5 x )(x x x=6 x=14 数！必须规定它们的隶属函和对于输入x 140 195 )( )(x x x=6 x=14 推理举例:条规则：时，激活当货车状态为36)(,140)( ii txt ; , : ) 1 221 )1 , 5( BthenSxBifR是是和是 ; , : )2 311 )2, 5( BthenSxBifR是是和是 ; , : )3 312 )2, 6( BthenSxBifR是是和是 max-min 乘积 总的输出模糊集合总的输出模糊集合 Clustering(聚类）聚类） lREMARKS: (1) The dataset, in the case of s

54、tudents would include such things as age, school, income of parents, number of years as student, marital status 数据集数据集 l (2) Classical cluster analysis would partition the set of student (with respect to their characteristics; that is, the items in the dataset) into disjoint sets Pi so that we would

55、 have: .for and 1 ji j P i P c i P i MixxxX i N iii , 1),( 21 )( lWhat does “similar” mean? Least squared difference lMaximum pair-wise distance lHow many classes “should” there be? lSometimes the problem will dictate; e.g., classifying letters or numerals lSometimes there is no clear a priori knowledge; e.g., the operational states of a satellite, airplane Central Issues K-means聚类聚类 K-means聚类聚类 FCM（fuzzy c-means) FCM（fuzzy c-means) FCM（fuzzy c-means) X