第四节 套利定价模型

1、第四节第四节 套利定价模型套利定价模型 资本资产定价模型是一个描述为什么不同的证资本资产定价模型是一个描述为什么不同的证 券具有不同预期收益率的均衡模型，套利定价券具有不同预期收益率的均衡模型，套利定价 模型是斯蒂芬模型是斯蒂芬.罗斯（罗斯（Stephen Ross）1972年年 提出建立的资产定价模型，从某种程度上来说提出建立的资产定价模型，从某种程度上来说 它没有资本资产顶价模型那么复杂。它没有资本资产顶价模型那么复杂。 套利实质利用一个或多个市场存在各种价格差套利实质利用一个或多个市场存在各种价格差 异，在不冒风险或冒较小的风险情况下赚取较异，在不冒风险或冒较小的风险情况下赚取较 高收益

2、率的交易活动。高收益率的交易活动。 套利的基本形式套利的基本形式 空间套利空间套利 时间套利时间套利 工具套利工具套利 风险套利风险套利 税收套利税收套利 二、 单因子模型 引子 若把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观经 济指数。 假设： （1）证券的回报率仅仅取决于该指数的变化； （2）除此以外的因素是公司特有风险残余风险 则可以建立以宏观经济指数变化为自变量，以证券回报率 为因变量的单因子模型。 例如，GDP的预期增长率是影响证券回报率的主要因 素。 例1：设证券回报仅仅与市场因子回报有关 其中 =在给定的时间t，证券i 的回报率 =在同一时间区间，市场因子m的相对数 =截距项 =证

3、券i对因素m的敏感度 =随机误差项， itiim mtit rab re it r mt r i a im b it e 0,cov(,)0,cov(,)0 ititmtitjt E er 因子模型回归 年份IGDPt（%）股票A收益率（%） 15.7 14.3 26.4 19.2 3 8.923.4 4 8.015.6 5 5.1 9.2 6 2.913.0 4% t r t GDP I 6 13.0%r 6 3.2%e 6 2.9% GDP I 通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的一般形式： 对时间t 的任何证券i 有时间序列 其中： ft是t时期公共因子的预测值； rit在时期t证

4、券i的回报； eit在时期t证券i的特有回报 ai零因子 bi证券i对公共因子f的敏感度(sensitivity),或因子 载荷（factor loading） itiitit rab fe （a） 为简单计，只考虑在某个特定的时间的因 子模型，从而省掉角标t，从而（a）式变为 并且假设并且假设(1)cov( ,)0 i e f (2)cov( ,)0 ij e e 0 i E e iiii rab fe （b） 假设(1)： 因子f具体取什么值对随机项没有影响，即因子f与随机 项是独立的，这样保证了因子f是回报率的唯一因素。 若不独立，结果是什么？ 假设(2)： 一种证券的随机项对其余任何证

5、券的随机项没有影响， 换言之，两种证券之所以相关，是由于它们具有共同 因子f所致。 如果上述假设不成立，则单因子模型不准确，应该考虑增 加因子或者其他措施。 对于证券i，由（b）其回报率的均值（期望值）为 其回报率的方差 2222 iifei b 因子风险因子风险 非因子风险非因子风险 对于证券对于证券i和和j而言，它们之间的协方差为而言，它们之间的协方差为 2 cov( ,)cov(,) ijijiiijjj ijf r rab fe ab fe bb iii rab f（c） 单因子模型的优点单因子模型的优点 单因子模型能够大大简化我们在均值-方差分析中的估计 量和计算量。假定分析人员需要

6、分析n种股票，则 均值-方差模型：n个期望收益，n个方差， (n2-n)/2 个协方差 单因子模型：n个期望收益，n个bi，n个残差 ， 一个因子f方差 ，共3n1个估计值。 若n50，前者为1325，后者为151。 2 ei 2 f 单因子模型具有两个重要的性质单因子模型具有两个重要的性质 风险的分散化 分散化导致因子风险的平均化 分散化缩小非因子风险 2 1 222 limlim () lim n piiii nn i pfep n Dw ab fe b 222 11 nn piiepiei ii bwbw 其中， 假设残差有界，即 22 ei s 且组合p高度分散化，即wi充分小，则对于

7、 资产i成立 / i wn 则有 22222 2 1 11 n ep i ss nn 从而 222222 limlim ppfeppf nn bb n, 1i,FcFbaR 2i1iii ,cFbFaR i 3 1i i2i 3 1i i1i 3 1i i )1(, 0c, 0b i 3 1i ii 3 1i i )2(ra fi 3 1i i )3(0)ra ( fi 3 1i i 1、模型的推导、模型的推导 i R其中其中为第为第i只证券的收益率，只证券的收益率， 0)F(E)F(E 21 21 FF 与与1)F(E i 2 独立独立 i R ii c,b现考虑现考虑 的预期收益率，的预期

8、收益率，为已知，假定向量为已知，假定向量 现考虑有三种资产组成的资产组合，其收益率为现考虑有三种资产组成的资产组合，其收益率为 要使这个资产组合为无风险资产组合，则必有要使这个资产组合为无风险资产组合，则必有 由无套利假设此时必有由无套利假设此时必有 1 3 1i i 由由 将（将（2）式变形）式变形 三、两因子定价模型三、两因子定价模型 21 F,F为影响证券收益率的因素是为影响证券收益率的因素是 随机变量，且随机变量，且 c,b, 1 线性无关，线性无关， 将（将（1）（）（3）结合在一起得）结合在一起得 0 0 0 ccc bbb rarara 3 2 1 321 321 f3f2f1

9、由于上式有非零解，故矩阵一定是非退化矩阵，第一行可由第二由于上式有非零解，故矩阵一定是非退化矩阵，第一行可由第二 行和第三行线性表出，于是有行和第三行线性表出，于是有 n, 1i,cbrar)R(E 2i1iifi )4(n, 1i,cbr)R(E 2i1ifi 即有即有 其即两因素模型下的套利定价模型其即两因素模型下的套利定价模型 1f1 r f11 r 亦即亦即 1 1 F故故可以认为是联系于因子可以认为是联系于因子的单位风险的超额收益率。的单位风险的超额收益率。 0b, 0b 21 1 ，由（，由（4）式该组合的回报率用）式该组合的回报率用表示，则有表示，则有令令 考虑一个充分分散化的组

10、合，这个组合对第一个因素且有单位因考虑一个充分分散化的组合，这个组合对第一个因素且有单位因 子敏感性，对第二个因素的敏感性为子敏感性，对第二个因素的敏感性为0，这样的组合称为纯因素组，这样的组合称为纯因素组 合。称：合。称：1）对一个因素具有单位敏感性，）对一个因素具有单位敏感性，2）对其他任何因素都无）对其他任何因素都无 敏感性。敏感性。3）非因素风险为）非因素风险为0 为一个纯因素组合。为一个纯因素组合。 2、模型的解释、模型的解释 %10%,8)(%,20)( 021 EE %230 . 1)10. 008. 0(5 . 1)10. 020. 0(10. 0)( %175 . 1)10.

11、 008. 0(0 . 1)10. 020. 0(10. 0)( %110 . 2)10. 008. 0(5 . 0)10. 020. 0(10. 0)( ZE YE XE )( 2 YER 有三个证券组合资产有三个证券组合资产X、Y、Z，客观估计期望收益率，客观估计期望收益率Ri，i=1，2， 3。如下表。如下表 资产资产收益率收益率Ribi1bi2 X11%0.52.0 Y25%1.01.5 Z23%1.51.0 ) 3 1 , 3 1 , 3 1 ( 设原资产组合为设原资产组合为 试确定该市场是否存在套利机会，若存在则怎样构造套利组合。试确定该市场是否存在套利机会，若存在则怎样构造套利组

12、合。 比较发现：比较发现： ),( 321 故可以通过卖出适当的比例的资产的故可以通过卖出适当的比例的资产的X和和Z，并买入资产，并买入资产Y来构成来构成 套利机会。下面来构造套利组合。设资产组合的改变量为套利机会。下面来构造套利组合。设资产组合的改变量为 一个例子一个例子 解：利用（解：利用（4）试计算三种资产在无套利条件下的期望收益率为）试计算三种资产在无套利条件下的期望收益率为 故存在套利机会故存在套利机会 0 0 0 332211 332211 321 ccc bbb 00 . 15 . 1 3 2 0 . 2 05 . 10 . 1 3 2 5 . 0 0 3 2 31 31 31

13、3 1 , 3 2 , 3 1 321 %67.19%23 3 1 %25 3 1 %11 3 1 %25%230%251%110 0 . 15 . 1 3 1 0 . 1 3 1 5 . 0 3 1 5 . 10 . 1 3 1 5 . 1 3 1 2 3 1 则有则有 3 2 2 将表中的数字代入，取将表中的数字代入，取有有 解得解得 原组合的预期收益率为原组合的预期收益率为 新组合的预期收益率为新组合的预期收益率为 原组合对因素的风险为：原组合对因素的风险为： 对因素对因素2的权重系数为：的权重系数为： 故新组合为（故新组合为（0，1，0） 对因素对因素1的权重系数为：的权重系数为： 对

14、因素对因素1的权重系数为：的权重系数为： 0 . 15 . 100 . 115 . 00 5 . 10 . 115 . 1120 对因素对因素2的权重系数为：的权重系数为： 故资产组合调整之后的风险没有改变，但预期收益率故资产组合调整之后的风险没有改变，但预期收益率 却增加了却增加了25%-19.67%=5.33%，为一套利组合。，为一套利组合。 新组合对因素的风险为：新组合对因素的风险为： 例题例题 基于单因素模型，设无风险收益率为基于单因素模型，设无风险收益率为6%，一个具有单，一个具有单 因素敏感性的投资组合期望收益率为因素敏感性的投资组合期望收益率为8.5%。考虑具有下列特征。考虑具有

15、下列特征 的两种证券的一个投资组合：的两种证券的一个投资组合： 证券因素敏感性 比例 A4.00.30 B2.60.70 根据套利定价理论，该组合的均衡期望收益率是多少？根据套利定价理论，该组合的均衡期望收益率是多少？ )5(N, 2 , 1i ,FbFbFb)R(ER iKiK22i11iii 0)(E)F(E),(Cov),F(Cov)F,F(Cov ikjiikji 1)F(E,)(Ek 222 i 2 i 1、资本市场是完全竞争的、无摩擦的、无限可分、资本市场是完全竞争的、无摩擦的、无限可分 其中其中 5、证券市场不存在渐进套利机会、证券市场不存在渐进套利机会 四、多因子定价模型四、多

16、因子定价模型 )K, 2 , 1k(Fk 影响整个证券市场，影响整个证券市场， 2、存在、存在K个共同因素个共同因素 对所有对所有k，i，j成立。成立。N表示证券市场中的个数。表示证券市场中的个数。 )K, 2 , 1k(b ik ik b k F 3、所有投资者对同中证券的收益具有预期是一致的，因而对资产、所有投资者对同中证券的收益具有预期是一致的，因而对资产 的预期。这里的因素荷载的预期。这里的因素荷载 表示证券表示证券i对因素对因素 收益的预期就是对因素荷载收益的预期就是对因素荷载 的敏感系数的敏感系数 （一）、因素模型的（一）、因素模型的5个假设条件个假设条件 i R由由K个共同因素线

17、性决定，表达式为个共同因素线性决定，表达式为任何证券收益率任何证券收益率 即假设即假设 4、市场有充分多的资产、市场有充分多的资产 注：市场存在渐进套利机会是指，存在一个渐进套利组合序列注：市场存在渐进套利机会是指，存在一个渐进套利组合序列 0 n 1i n i 条件条件1：0)R(Elim i n 1i n i n 条件条件2： 0)R(Varlim i n 1i n i n 条件条件3： 说明：条件说明：条件1相当于不增加资本，条件相当于不增加资本，条件2相当于邮政的收益，条件相当于邮政的收益，条件3 相当于没有风险。相当于没有风险。 , 2 , 1n),( n n n 2 n 1 n 满

18、足下列条件满足下列条件 （二）、含残差风险多因素模型的套利定价（二）、含残差风险多因素模型的套利定价 定理定理1 如果发行证券的收益由（如果发行证券的收益由（5）式的）式的k因素决定，那么存在一因素决定，那么存在一 线性定价模型，即存在实数线性定价模型，即存在实数 K10 , 使得使得 )6(vb)R(E K 1i iikk0i 且期望收益率残差项且期望收益率残差项满足满足, 2 , 1i ,v i )7(, 0)n(v n 1 limv n 1 lim 2 n n 1i 2 i n K 1i iikk0i vb)R(E n 1i i 0v K, 2 , 1k, 0vb n 1i iik 证明

19、证明 将将ER1 在由矩阵在由矩阵B和向量和向量张成的线性空间进行正交投影，得张成的线性空间进行正交投影，得 v 1 由于由于与与和和B正交，所以正交，所以 以及以及 )n(,),n(),n()n( n21P 现构造一资产组合现构造一资产组合 nv v )n( i i 其中其中 n i iiP Rv vn R 1 1 P ER n i ii n i ii Varv vn RvVar 1 2 2 1 )( 1 )( 该资产组合的收益率该资产组合的收益率 故期望收益率为故期望收益率为 同理，可以算出组合收益的方差同理，可以算出组合收益的方差 )( 1 1 i n i ii ERv vn K k i

20、kik n i ii FbERv vn 11 )( 1 n i iiER v vn 1 1 n nv)( K k n i i n i iikk n i i vvbv vn 11 2 11 0 )( 1 2 1 n 0 n )n(v lim)R(Elim n i n 1i n i n 0 n )n(v limv n 1 lim 2 n n 1i 2 i n , 1N,Ni,b)R(E K 1i ikk0i i21 vvv N1N21 vvvv 现假设定理的结论不成立，现假设定理的结论不成立， 这既表示该资产组合是一个渐进套利机会。因此必有这既表示该资产组合是一个渐进套利机会。因此必有 i v K1 b,b, 1反映了不能被反映了不能被 线性表示的剩余部分。线性表示的剩余部分。 证毕证毕 注注 （6）式给出了定价公式，由（）式给出了定价公式，由（7）式知，对大多数证券有如下）式知，对大多数证券有如下 的近似定价公式的近似定价公式 事实上，若将误差的大小按单调递减排列，有事实上，若将误差的大小按单调递减排列，有 对于任何对于任何 ，存在与，存在与相关的相关的N，使得，使得 0)Rv(Varlim n 1i ii n 时，时，即当即当 .c)n(nlim n 1i 2 i n MfM