场论数学方法简介

1、宇航推进系-流体力学 第一章.数学方法简介 矢量分析与场论 宇航推进系-流体力学 * 矢量分析与场论内容 v1.1 矢量运算 v1.2 场的概念 v1.3 梯度 v1.4 散度 v1.5 旋度 v1.6 哈密尔顿算子 v1.7 拉普拉斯算子与调和场 宇航推进系-流体力学 * 1.1矢量运算 v矢量相加 v矢量相减 a b c a b c bca bca 宇航推进系-流体力学 * 1.1矢量运算 v矢量点积 v矢量叉积 xxyyzz ca ba ba ba b xyz xyz ijk cabaaa bbb 宇航推进系-流体力学 * 1.1矢量运算 v混合积 v矢量微分 )()()abcc abb

2、 ca （ xyz dada ida jda k ) ( ) ( )abccabbca （ ) ( ) ( )abccabbca （ 宇航推进系-流体力学 * 1.1矢量运算 v微分运算法则 () dduda uaau dtdtdt () ddadb abba dtdtdt () ddadb abba dtdtdt 宇航推进系-流体力学 * 1.2场的概念 v场的定义 设在空间的某个区域内定义标量函数或矢量函 数，则称定义在空间内的函数为场 如果定义的是矢量函数，则称之为矢量场 如力场，速度场，电磁场 如果定义的是标量函数，则称之为标量场 如温度场，密度场，压力场 宇航推进系-流体力学 1.2

3、场的概念 计算机模拟的温度场，红色表示高温， 冷色表示低温 宇航推进系-流体力学 1.2场的概念 协和飞机着陆时的流场 宇航推进系-流体力学 1.2场的概念 用速度矢量表示的速度场 宇航推进系-流体力学 * 1.2场的概念 v场的定义要素： 空间变量 r 或x , y , z 时间变量 t v定义举例： 矢量场a(r,t ) 或是 a(x,y,z,t ) 标量场(r,t )或是 (x,y,z,t ) 宇航推进系-流体力学 * 1.2场的概念 v场的空间分布特性 同一时刻场函数随空间坐标而变化 不随空间坐标而变的场称为均匀场 反之称为非均匀场 v场的时间分布特性 同一点上场函数随时间而变化 如场

4、内函数值不随时间变化而变化称为定常场 反之称为非定常场 宇航推进系-流体力学 * 1.2场论三度 v研究场时有三个重要量 “三度” : 梯度 散度 旋度 v下面分别描述。 定义- -数学意义- -物理意义 宇航推进系-流体力学 * 1.3梯度 ,对于数量场若下面极限存在 0 ()() lim MM MM sMM Ms s 称是场 在处沿 方向的方向导数 s 在这里 方向是任意方向 Ms 有空间点，和一个方向 o y x M s M v方向导数 宇航推进系-流体力学 * 1.3梯度 cos( , )cos( , )cos( , )s is js k sxyz 在直角坐标系中方向导数的表达式为:

5、下面简证之: 0 ()() lim MM MM sMM 0 lim xyz xyz cos( , )cos( , )cos( , )s is js k xyz 2220 (,)( , , ) lim xx yy zzx y z xyz o y x M s M cos(,) cos(,) cos(,)si sj sk x y z 宇航推进系-流体力学 * 1.3梯度 v方向导数只是标量函数在一个特定方向上的变化 率，而从场的每个给定点出发有无穷个方向，也就 有无穷多个方向导数。请问：沿着哪个方向的变 化率最大？最大变化率是多少呢？ v从方向导数的表达式可以看到，方向s的方向余弦 表示了所取的方向

6、，而三个偏导数则由数量场唯一 确定。 c o s (,)c o s (,)c o s (,)sisjsk sxyz 在 直 角 坐 标 系 中 方 向 导 数 的 表 达 式 为 : kksjjsiisk z j y i x ),cos(),cos(),cos( 宇航推进系-流体力学 * 1.3梯度 : ,M M 定义 数量场点处 存在这样一个矢量,其方 向为场函数在点处变化率最大的方向, 其模是这个最大的 梯度 变化率. gradijk xyz 从而方向导数可写为: agrad 满足的矢量场称为位势场, 称为位势函数. 一个矢量场存在位势函数也叫“有势” 0 grads s 宇航推进系-流体

7、力学 1.3梯度 v梯度的主要性质是: v性质一: 梯度在任一方向 上的投影等于该 方向的方向导数。 o y x M 1 M M n s 0 grads s 宇航推进系-流体力学 * 1.3梯度 v性质二: 梯度的方向，是等势面的法线方向，是位势函数 变化最快的方向，且指向函数值增加的方向；大小 是场函数沿等势面法线方向的方向导数的模。 宇航推进系-流体力学 * 习题 12 , , M Mgrad ss 1)给定平面标量场设在点上已知两个方向的方向导数 试用几何方法求点上的 1 1 s s 2 2 s s grad M 宇航推进系-流体力学 * 习题 :2)证明下列结论 1.(),;grad

8、c rc c 为常矢量 3. ( ), ( )gradu r v rgradugradv uv 0 2. ( )( )( )gradrr gradrr r 宇航推进系-流体力学 * 1.4散度 a 首先定义矢量 通过面S的通量,有以下几种表示方法 S a dS n S a ds S a nds cos( , )cos( , )cos( , ) xyz S an ian jan kds xyz S a dydza dzdxa dxdy 下面介绍矢量场散度的概念: x y z o dy dz ds n dx dz 宇航推进系-流体力学 * 1.4散度 a 定义散度: 在场内任取一点M,以体积V包之

9、,若V界面为S, 作矢量 通过S面的通量,然后用体积V除之.令 体积V向M点收缩,得极限 0 lim n S V a ds diva V : . aV S 散度的意义 矢量 通过单位体积元 的 界面 的通量 M V S a 宇航推进系-流体力学 * 1.4散度 利用高斯定理推导散度的解析表达式 y xz Mr a aa V xyz : n S asa ds 矢量 通过封闭面 的通量为 y xz V a aa dV xyz xyz S a dydza dzdxa dxdy 宇航推进系-流体力学 * 1.4散度 00 limlim y xz n SMr VV a aa Va ds xyz VV V

10、当 趋近于M点时 0 lim y xz r Mr a aa xyz y xz M a aa xyz 0 lim n S V a ds diva V 散度 y xz a aa xyz 宇航推进系-流体力学 * 1.4散度 n SV a dsdivadV 由此，高斯定理可简化成: S S 通量为正，意味着通过 面有正的源； 通量为负，意味着通过 面有负的源（汇）； 散度为零的场，没有源和汇。 n SV V dsdivVdV 对速度来讲: 宇航推进系-流体力学 * 1.4散度 无源场具有一些特殊性质，如: diva=0的矢量场称为或无源场管形场. 无源矢量a经过矢量管任一横截面上的通量保持同 一数值

11、 管形场意味着,像管子一样只能有物质的流入流出, 而不可能凭空流出物质来,也不可能吸收物质. 宇航推进系-流体力学 * 习题 :解 取电荷所在之处为坐标原点.此时电位移矢量表为 1, . qD MdivD ）在点电荷 所产生的静电场中 求电位移矢量 在任何一点处的散度 3 4 q Dr r :, rxiyjzkrr 其中 : y xz D DD divD xyz 得 ? 0 宇航推进系-流体力学 * 习题 :2)证明下列结论 1.(),;div c acdiva c 为常数 3.()div uaudivagradu a 2.div abdivadivb 宇航推进系-流体力学 * 1.5旋度 v

12、在这里仅给出旋度的定义，其意义在后面介绍。 ( , ),:a r tL 给定一矢量场在场内取任意一曲线作积分 xyz L a dxa dya dz aL称为矢量 沿曲线 的环量。 :首先介绍环量 L a dr 宇航推进系-流体力学 * 1.5旋度 设M为矢量场a中一点,在M处取定一个方向n, 再过M点以n为法向做微小曲面 S, , S 若极限存在 环量面密度 lim n SM S = 则称为矢量场在点M处沿环n方向的量面密度 n l S l rda 宇航推进系-流体力学 * 1.5旋度 由斯托克斯公式可以得到环量面密度的表达式: xyz LL a dra dxa dya dz 环量 cos,c

13、os,cos, yy xxzz S aa aaaa n xn yn zdS yzzxxy 由中值定理得: cos,cos,cos, yy xxzz M aa aaaa n xn yn zS yzzxxy 环量 M为 S中的一个点。 宇航推进系-流体力学 * 1.5旋度 ,SMMM当向点收缩时 lim cos,cos,cos, n SM yy xxzz M S aa aaaa n xn yn z yzzxxy = 环量面密度也依赖于所选的方向,这一点和数量场 的方向导数一致,人们还是希望找到一个特定的量来求 环量面密度. 宇航推进系-流体力学 * 1.5旋度 下面介绍旋度的概念: 环量面密度和旋

14、度的关系与方向导数和梯度的关 系非常相似 n rota n gradn n rota 若在矢量场a中有一点M处存在这样一个矢量,沿其方 向的环量面密度为最大,这个最大的数值为该矢量的模,则 称该矢量为矢量场M处旋度 的 宇航推进系-流体力学 * 1.5旋度 xyz ijk xyz aaa 旋度在直角坐标系下展开为 yy xxzz aa aaaa rotaijk yzzxxy LS a drrota dS Stokes公式可写成: 宇航推进系-流体力学 * 习题 2222 sin y ijk rotA xyz xy zzyx e 2222 1)sin y Axy z izyjx e k 求矢量场

15、的旋度 222 sinzyxy zk xy 22 sin y x ezyi yz 222y xy zx ej zx 2 2xyz k 2 22 y xy zxej 2 2 sin y x ezy i ? 宇航推进系-流体力学 * 习题 rxiyjzk 设矢径为 123 2) ,ijk 设一刚体绕过原点的某一轴转动,其角速度为 则刚体上的每一点处都有 线速度v,从而构成一个线速度场.求该速度场 的旋度. 123 2222rotvijk vr 233112 zy ixz jyx k :, 2 这说明 在刚体转动的线速度场中 任一点M处的旋度, 等于刚体旋转角速度的 倍.旋度因而得名. zyx kj

16、i 321 宇航推进系-流体力学 * 习题 2 3), b vr r 设一点源运动的流速场,速度为求其旋度。 ? 2 b rotr r rotv 0 宇航推进系-流体力学 * 1.5旋度 ,无旋场最主要的性质是无旋场和有势场等价 0.rota 的矢量称之为无旋场场 , , a agrad a 若 是某位势函数的梯度场 则 必为无旋场 , 0 . a rota aagrad 反之 若矢量 是无旋场 则 必为位势场 无旋场即：有势场 宇航推进系-流体力学 * 1.5旋度 ,agrad rotarot grad 设直接微分 0; s ,0, L rota a drrota dS 反之 设则由斯托克斯

17、公式有 ? aL a agrad 于是矢量 沿任意封闭回线 的线积分为零， 或矢量 线积分与路径无关，则可证得： 。 详见矢量分析与场论一书。 简单说明之： 0; 宇航推进系-流体力学 * 1.6哈密尔顿算子 ijk xyz 一方面它是一个矢量,因此在运算时可以 利用矢量代数和矢量分析中的所有法则. 这是一个具有矢量和微分双重性质的符号. 另一方面它又是一个微分算子,因此可以 按微分法则进行运算,但是必须注意它只对位 于算子发生微分作用,而对算子左 边的量不 右边的量 起作用. 宇航推进系-流体力学 * 1.6哈密尔顿算子 下面说明哈密尔顿算子是如何使用的. ijk xyz 以为例。= ,一方

18、面 是矢量是标量,按代数法则做乘积得一个矢量 , xyz 分量为 和和和的乘积 宇航推进系-流体力学 * 1.6哈密尔顿算子 这样三个分量必然是: 得 另一方面 是微分算子,它对 起微分作用, ; xyz ijk xyz grad 宇航推进系-流体力学 * 1.6哈密尔顿算子 于是a的三个分量写在微分号内 a 再看， xyz ijkiajaka xyz 它是矢量和矢量的点积, 按点积法则得标量: xyz aaa xyz ,a 同时 对 起微分作用 y xz a aa adiva xyz 宇航推进系-流体力学 * 1.6哈密尔顿算子 a xyz ijk xyz aaa xyz ijkiajaka

19、 xyz rota a 再看， 宇航推进系-流体力学 * 1.6哈密尔顿算子 对于微分算子作用于复合函数,可按下面方法进行运算 ()uvu vuv参照求导公式 a 如 ,) cc 先把a看成是常量a , 作用于得(a ,( cc 再把 看成常量作用于a,得a) 最后把两部分相加. )(a cc (aa)( =(aa) 宇航推进系-流体力学 * 1.6哈密尔顿算子 v哈密尔顿算子在柱坐标下的形式 柱坐标： rz iii rrz Z X Y z V r V rr rV V zr )( ()11 zrzr rz VrVVVVV Viii rzzrrr r 宇航推进系-流体力学 * 1.6哈密尔顿算子 vWhy？ , r i i 原因是在柱坐标下，是变化的 ( ),( ) rr iiii ( ),( ) rr ii ii r r Z 宇航推进系-流体力学 1.6哈密尔顿算子 v所以： () () rzrrzz ViiiiVi Vi V rrz ( )( ) r rz r iiViV r VV rz rrz VVVV rrrz ?V 宇航推进系-流体力学