信号与系统第4章答案

1、第4章拉普拉斯变换与连续系统复频域分析4.6本章习题全解4.1求下列函数的拉普拉斯变换（注意:r为变量，其它参数为常量）。(3)外（0-心（2）呃2）二（萨y严）血（4）刍：.(5)(7)（10）伽f+2扯叩）(9)(11)(13)(15)(l-cosat)emQ) 血域T-2)（12）Fcos2（f）（14）严吨2）（畀伽殂（）(17)(19)(21)（23）解：25I-ai atn(t)j - -ann t2a球 cos 诚) = 0+4)Zfd-cnsat)皿(0=拧+0 (H册十/陆rm忙j+1m 吸2)=二一2+cos2)/+1(17)(18)r “八、lr fi2 981 -fD?

2、 3uf) = -_ + =4G订9尸(5?+8D(側)細)(19)(20)a s aj+1(21)(22)(23)J(Hl) +w0盹)-皿(册=2-丄Z2範-如)+3眾)沖沪+3Z(?+f3+r+I(0)6 2 11 = -r+-3+-= + s s s s401 =-5-已知求下列信号的拉普拉斯变换。(2)电愉卯论-4)(4)1虚(1)(3)4.2取卜乎時磊解：(1)(2)(5)x ms创=扌斗啲0 宀)jC二寺何玖。严珅砂4 jt= hx&-yaQ+Jr&+ja2(j - jfi)2 +2(r-_/J1予(3+_/%)如+_/%) +-11迴_町=引顽_2)卜孰分产11亠2壬Cj3+4

3、j + 20（4）曾卜寸心ds =J H I hi =234 2Ldds(5)欠0) -吨-xKJO) = - 1sT(j)+53XV) -40)谦）二血吨二0彳警卜国血）* &吆划2s ，2j+2/晋2sC（/十加站丫+5所以-4.3已知信号的拉普拉斯变换如下，求其逆变换的初值和终值。s-610（盼2）（1）（”孰卄5）(2)(3) (小 +卯(4) 0 +1) (T他）-叫：J J1解（1）初值:rw-fcn0终值:一0(打2)(45)g x v 10s(s+2)（2）初值： -10s(s + 2) nf(on) = lim= 0终值:ho j(j+5)（3）初值：($ +3)3砂血、=0

4、终值:（4）初值：蚀二fim丄焊十（打1）%+2）-0终值:4.4求题图4.4所示信号的单边拉普拉斯变换。t x(00/谗）-1 02tA血题图4.4解（iVmL所以一产彳警=必）現0）根据微分性质 L -Y :则卜拒T注：该小题也可根据定义求解，可查看（5）小题（2 ）根据定义=-4卜Hs LJ(3)*w盘g（T_做-L钦J2-根据（i）小题的结果L 做一 一）=2e再根据时移性质L所以牧）s-2 r 5Q)二根据微分性质得（4 ）根据定义敦1） *曲弍血2n/dt二严-n宀sJo2/2jV九=J占4 一 _心产）jjjt/2s1宀1宀二2j yff/2-j -jk/2-s)注：也可根据分部

5、积分直接求取（5）根据单边拉氏变换的定义,本小题与（1）小题的结果一致。(6)根据单边拉氏变换的定义，在 f0是,询吨冷)心冷)%)=_L_对比(3)小题，可得4.5已知丄()为因果信号， 心心)，号,求下列信号的拉普拉斯变换。(T(2)解：(1)根据尺度性质E再根据s域平移性质(1) g)4-)O2X(2j)(2) 根据尺度性质rf)O-LT(2s) = -2 - XOj)根据s域微分性质根据时移性质1)町亠(心)町)心；陀轻x0r)e-xd)(3) 根据尺度性质再根据s域平移性质(4) 根据时移性质T -t-T 兰 f再根据尺度性质本小题也可先尺度变化得到如必心，再时移人，得到结果4.6求

6、下列函数的拉普拉斯逆变换。1(1) 皿4(3 )21(5) 0+巩21(7)+捡+ 21-ltCs(9)+皿)(11)+5 + 6(13)(小必门)S(15) Q內|们沙/|为+ 4(17) / + 盒 + 54?十 m+10(19) 2i t 5a I 34(2)益+ 3(4)石 2)As(6)您+哄皿)(8)他=+1)(10) (I时川1皿)100(屮(12)F + 20b + ?00(14)(汽釧G+b+F(21) 4 I 珈 + 可j+2(20)心+咲+1)，1(22)曲+小)s-a(24) I*)(3)巩亦3齐2丁亍逝安(5)(, + 2X3)f(6)(7)*仆“-(8)(9)(10

7、)已謊严（2ff(7w i2一 W 讣 M +H 5J L ，(/+)(1+恥) H(QJ(11)(12)(13)(14)400 +19500/+20h + 200f199e厂J +町应+ +門-a严S)ap（15）=歼+宀：）ms）W1宀屮如之泌）(fl2-)cos3 -(a2 +a3 4护)sb#(16) L w(：F=m 吨呗)力十 5 -cns-ardan -)(17) 0 =(18)r 04.10利用拉普拉斯变换求解下列系统的系统函数、零状态响应、零输入响应和全响应。（i）必0+吨凡（0应）：（2）的）+ 2H0 -他附叩）用）-1（3）川卩I 4如）-出I讥（）； x（O-，VOX

8、O biAO ）-5；（4）y存曲）+纠蚀W曲）詢），刑二1,的）-0,胞）T解：（1）将系统方程两边拉氏变换得:xF （s）-jr（P_） + ar （s） = ? j +a得岀系统函数为”心计零状态响应；令理_）詡导零状态响应的拉氏变换为零输入响应：令x& = oft零输入响应的拉氏变换为jr -I- aP点沪旷-=a-s + a-系统全响应为I%W = （L+cyuff）（2）将系统方程两边拉氏变换得：把 0=1 代入上式,得岀系统函数为：FG)二 严严零状态响应：令m=0i导零状态响应的拉氏变换为F G) =O2 + w02X2)y (i = -1 =巴a(Fz/X*)0+2冶 5用-

9、咖b11巾力沪峙+M堂長出Hi 宙十25-JWfa用*nb=亠尸+-牛-哲严+-牛叫*伽4+wfl3 4k5 +164w05 +16零输入响应：F) =-s + 2uo=不叫0)仁系统全响应(求严宀等皿遜 严期(3)絲统方程馳拉般换彳寻：白(M -殒0寸(0J+5rf(M -5曲 J+47(5)=M(j)-240J+57(j) v +19 + 31 r(5)系统函数：(j2+& + 4)r(j) = (2s + 5-2 + 2s + 15j + 2-2 =/ *亦4口 + 匀+亠+ 4X + 2)零状态响应：Ys(s) = -j零输入响应；嘉(0=严严上s +5s + 4鮭炉碍宀彳宀(f)全响

10、应：刈讥com(卄習*-g严 扑3jo2将系纯方程两边拉氏变换得:)-X0)- (o_)-y(o_)+X5)-oj-y(i_)+2(yr&)-Mo_)=S 将啲=诚0貞0_) =1.(tt ) = 0,= 1带入上式、 得出系统函数：f七Wnj2(5+1Xs + 2)零状态响应:4 +5j+iX+s)-5s+1 s + 23=零输入响应T盎青蛰7S +1512-2r系统全响应*血診（05（0 = 0 +专-話上 Jb4.11求下列微分方程描述的连续系统的零输入响应;（）。（1）血+伙）+城）7姒肌）T（0J7；血 H （3）必）+ 1 咆-吨川J7（0JT。解：（1）考虑输入 琼）=0，将微分

11、方程两边做拉氏变换得占-姬）-畑+却（归曲1皿）二0代入初始条件，?F 何-$-2+3課何-3+2丁何二 0整理得,做拉氏反变换得零输入响应以）二寓-沪卜個（2）考虑输入上0 = ，将微分方程两边做拉氏变换得占诀-畑+知（归畑+二o代入初始条件,白何-j+1+5sI(5)=0Y(s)=聖竺整理得，-做拉氏反变换得零输入响应凫-P丑杆)血(3 )考虑输入 40=0, 将微分方程两边做拉氏变换得-典-*p_)+d=o代入初始条件，做拉氏反变换得零输入响应求在下列输入时4.12已知连续系统的微分方程为V+W()y2加)+期, 的零输入响应、零状态响应和全响应。(1)(2)农广皿曲)叽叭0 ) 1解：

12、将系统方程两边拉氏变换得白-典 J - 刃0_)+%- 5 K0_)+6F(5)二船何+蹴C)整理得(/ I乞I砒何一 (& I 2)X(,) I呗0 ) i艸)卜艸)即令状态呗_) 一灿)-0，得零状态响应的拉氏变换为令i(i)()，即0，得零输入响应的拉氏变换为4网”畑映（1）输入的拉氏变换，和初始状态得Ss+2 1 2/5722/3/+5j+6 j+2 a+3对上式求拉氏反变换得,-+7零状态响应零状态响应从）一阡宀）血完全响应刈讥亦也彳|+血产(1)(2)JC（s） = （2）输入的拉氏变换-.，和初始状态得221422“二牆“2+对上式求拉氏反变换得，ya（t）二（如僅-14*-20

13、 卜零状态响应零状态响应必）一（产鬥血完全响应一咆-人+哄）-（滋 -稣）呛已知线性连续系统的系统函数和输入信号，求系统的完全响应。v -1-5、H（沪士牯如严畑他已灿口4.13j+4H 二亦亍咼皿二叹= /OJ=/（OJ =1解：根据系统得s域分析，系统的零状态响应的拉氏变换为处）二（归）二 J 丄所以一4 一-亠一-亠 2 - 2根据系统方程可得二阶系统特征方程的系数为1，4, 3所以系统的零输入响应的拉氏变换为Y =二 士 =J_ J_1j3 + 4s + 3s1 +4j+3 j+1 s +3所以）心+；求拉氏反变换得系统的完全响应为讪+山二（Q - “）血12 5/231/2（2）5所

14、以）恥）沁）7根据系统方程可得三阶系统特征方程的系数为1，3, 2，0所以系统的零输入响应的拉氏变换为卜臥叮）十时（QJWTOO * 3qr（pj+y（pj+2X0J+3j + 2)3_+ 1(s3 +3s + 2) s j+12 1/2 1/21(5)= )+!)=+ 所以求拉氏反变换得系统的完全响应为X0乜亦从）=何抵尸4.14 一线性系统，当输入为时，零状态响应为弘(0=，求系统的单位冲激响应。解：输入的拉氏变换为舁：.输出的拉氏变换为 盹2蜒（界坏切2 2（卄恥+3） 2 s+1 X3求反拉氏变换得系统的单位冲激响应4.15 已知系统的阶跃响应为 册（1-宀0，为使其零状态响应为创）0

15、/，求激励信号垃）。解:M笳叮*）的拉氏变换分别为:rD（ s） = zn -=-,s a + 2 （虚罟石2 蓟虚*Z）二由砂X凹得；盡（雪）二空H 44.16已知线性连续系统在相同的初始状态下，输入为 y（o时，完全响应为川）呦+血）;输入为（0（）时，完全响应为;求在相同的/0再+习上11112 + 54-t 0,位于平面的左半平面，所以可得系统的频率响应函数T叫“叫切+/ImJHS41S则 Si2血=远新+診用厂所以系统的正弦稳态响应为V=OJ5|+-52X0 =035 ros(2/22(06昭=系统函数：|-厉宀=0271宀系统的极点分别是引 1,2；，位于平面的左半平面，所以可得系

16、统的频率响应函数则盹明1 =爲切=&腐宀所以系统的正弦稳态响应为扎“沏阚妇宁50巧呃）44.18已知系统函数 H（S）的零、极点分布如题图4.18所示，单位冲激响应加）的初值(1)求系统函数 何；(2)求系统的频率响应函数（W）；(3)求系统的单位冲激响应血）；母）=金*（求系统在激励下系统的正弦稳态响应。解：（i）根据题图可知，系统函数的极点为，零点为上J根据系统函数的零极点，可写出零极点形式为丽二K(s-zjKsmJ Ln-J(*)雋利用初值定理得Ag 二触曲(Q =fimjr-ms-m=K(呵雋H =21所以（冲）+-2J&（2 ）系统的频率响应函数为5%呦碍2(j+2)胡 5/2(3)

17、申雋申雋3（冷号对h（a）求拉氏反变换得砂T 2金（半寸-半彳寸卜）刈二冈s|鈕所以正弦稳态响应HfC/)u(0 = on2 2 24.19已知下列各系统函数，画出零、极点图，求单位冲激响应加），画出波形，并判断系统是否稳定。a+1（2）占+ 2占+ 2 ；(4)S(j + Q(5 + 2)s2+2s-3(3) _ mo解：（1）系统零极点图如下:确胡丄尹确_加（0j + 2该系统的所有极点都在左半开平面，所以系统稳定。（2） 系统零级点图如下：*W =21 =如皿s +2s + 2该系统的所有极点都在左半开平面，所以系统稳定。 系统零极点图如下:A/ *)(0K0*（宀心血该系统的所有极点都

18、在左半开平面，所以系统稳定。（4）系统零极点图如下：(2)?该系统有一个极点位于虚轴上，所以系统不稳定。4.20线性系统如题图4.20所示，图中叽$，驸-则。(1)求系统的系统函数找）和单位冲激响应(2)若输入 垃）二吨）, 求系统的零状态响应 0,即Q 31（3）在临界稳定状态下，此时 K二3A，所以/ +5sa +40 33 + 5 F +8 34lr+23求拉氏反变换得系统单位冲激响应4.22某连续系统的分母多项式为:。，1 Us I 1 ,为使系统稳定，J,应满足什么条件？解：这是一个三阶系统，三阶系统稳定的充要条件是D（s）中全部系数非零，且同符号，而且还要求满足：% M机Z）（s）

19、=j3 +fa3+2j+ln s匚顶oj加）所以根据题有：2kl:t44.23检验以下多项式是否为霍尔维兹多项式。（1）H+2 + 侗+佃+仁（2）山亦 f Uh I 4；（3）? +4-+2? 4-954-1；解：（1）根据罗斯一霍尔维兹别准，排出罗斯阵列如下：第一行144第二行360第三行240第四行000罗斯阵列排列至此，出现一行元素全为0。可把第 3行的一行元素写为辅助多项式邮）“，将現对5求一阶导数，再将辅助多项式导数的系数 4,4重新列在第4行，这样得到新的完整的罗斯阵列为第一行144第二行360第三行240第四行440第五行200罗斯阵列中第1列兀素全大于0,所以是霍尔维兹多项式

20、。(2)101；根据罗斯一霍尔维兹别准，排出罗斯阵列如下第一行1100第二行2540246第三行250 0第四行 40罗斯阵列中第1列元素全大于0,所以是霍尔维兹多项式。(3) 根据罗斯一霍尔维兹别准，排出罗斯阵列如下：第一行 129第二行 43 45第三行 48第四行 -22.6以上阵列的第一列元素不全为正，所以不是霍尔维兹多项式。4.24已知线性系统的系统函数如下，试判断各系统的稳定性。跆=2 : d叫=1J(1)亠 (2) 54(3): 1解：(1)这是一个二阶系统，其系统(二阶重根系统除外)稳定的充要条件是：分母中全 部系数不缺项且同符号，该题目中全部系数分别为1 , 5, 4不缺项且

21、全为正,该系统稳定。(2)首先将的特征多项式排列罗斯阵列第一行1176第二行7170240第三行门 60198x17第四行2400 0第五行600因为系数的罗斯阵列第一列元素全大于零，所以H (s)对应的系统为稳定系统。盹)二j+1因此H (s)H (s)的分母多项式的系数 -0 , H (s)分母多项式的系数符号不完全相同，所以 对应的系统为不稳定系统。(3)4.25已知因果信号坨）的拉氏变换分别如下所示，试问W）的傅里叶变换川严）是否存在？若存在，写出 蛊0硏的表达式。（2）叫订+如4解：（1）极点:X (jw)存在因为系统所有极点都在左半开平面，所以系统稳定,jw + X （jw） =X

22、（s）| s=jw =（7 I）Si =-1+j, s2=-1-j 极点：s仁0,s2=-1有一个极点在虚轴上，除了将*（）中的5以J卸代换外，还要加一系列冲激函数一:X（ jw）不存（3）极点：s1= -4, s2=1,所有极点不是都在左半开半面，所以系统不稳定, 在。第5章连续时间信号的抽样与量化5.6本章习题全解5.1试证明时域抽样定理。证明：设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为务（帖吃）由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为：迟個）二;Fw）呀（创2覽式中F（a）为原信号f （的频谱，再（仞）为单位冲激序列也rW的频谱。可知抽样后信号的频谱代価）由3.）以叫为周期进行周期延拓后

23、再与1E相乘而得到，这意味着 如果叫叫，抽样后的信号就包含了信号几）的全部信息。如果叫叫，即抽样间隔，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建原信号。 因此必须要求满足，代）才能由人V）完全恢复，这就证明了抽样 定理。（2）烟（W）5.2 确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔:(1)沁)翅50（ ）1以1皿）（4）阿唤）I &?（600解：抽样的最大间隔称为奈奎斯特间隔,最低抽样速率称为奈奎斯特速率，最低采样频率 虬称为奈奎斯特频率。JT血(5Qt) O -+50)-y(0-5Q)(i)，由此知f2f =由抽样定理得：最低抽样频率，奈奎斯特间隔脉宽为400,由此可得

24、(2)九，由抽样定理得最低抽样频率f=2f =200T=- =_二，奈奎斯特间隔A加0a =50 radls血(50t) O -u(+50)-u(0-5Q)(3)，该信号频谱的IF阿町扁妁W0）血该信号频谱的叫皿.5450）1做皿）信号频谱的叫一僧血h ,则-二，由抽样定理得最低抽样频率-，奈奎斯特间隔W网町扁血问血该信号频谱的叫700，该信号频谱的叫U mdh所以阿萱f） *胭）频谱的何二 120 rod/s，则二，由抽样定理得最低抽样频率罟，奈奎斯特间隔Wo5.3系统如题图5.3所示，人（0,/?（/）阳2000加），旳Z?切金如川），用一/（师）。（1）为从丄（中无失真地恢复/，求最大采

25、样间隔乂 。（2）当，4时，画出/（0的幅度谱/例）。即ffl乘题图5.3解:(1)先求几）的频谱（M）。例&idOOOgKO)伽u(0 i 1000a)-(0-1000fc/0)=耳 C/)= Xxio4用云片論钮（回卡WObO诚-1000观*疝页（域+2000 -世0 - 2000町 x (+3000盹(例 + 3000j4 -u(&+1000/)+ 2000珥世佃 *1000町琥何1000劝H(-0* 3000班)址 0-1000a)-3000j由此知f（js）的频谱宽度为6000ff，且叫彳砸*血，则人T500用，抽样匸丄亠的最大允许间隔xo=f-nfftl（2）一一.：，所以为用冲激序列对连续时间信号为进行采样，设原输入信号/（D的频谱密度为（心”，而单位冲激序列的频谱密度为：P（斫字-鸣）其中IffT则根据频