第25讲 S域系统函数及应用

1、第4章 连续系统的S域分析 拉普拉斯变换拉普拉斯变换是傅里叶变换的是傅里叶变换的广义形式广义形式， 通过拉普拉斯变换将通过拉普拉斯变换将微分方程微分方程转换为转换为代数方程代数方程， 同时将起始状态和输入信号一起考虑，一举求得全响应。同时将起始状态和输入信号一起考虑，一举求得全响应。 通过拉普拉斯变换引入通过拉普拉斯变换引入S域系统函数域系统函数，其零极点联系了系统，其零极点联系了系统 的时域和频域特性，并可直观判断系统的稳定性。的时域和频域特性，并可直观判断系统的稳定性。 第4章 连续系统的S域分析 本章导读：本章导读： 首先，介绍拉普拉斯变换的首先，介绍拉普拉斯变换的定义、性质和反变换定义

2、、性质和反变换方法。方法。 然后，介绍拉氏变换分析然后，介绍拉氏变换分析LTI系统的两种方法：系统的两种方法： 已知已知微分方程微分方程的的S域求解域求解 已知已知电路电路的的S域系统模型求解。域系统模型求解。 最后，给出最后，给出S域系统函数域系统函数的定义，通过系统函数的零极点分布来的定义，通过系统函数的零极点分布来 分析系统的稳定性分析系统的稳定性。 第4章 主要内容 n4.1 4.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 n4.2 4.2 单边拉普拉斯变换的性质单边拉普拉斯变换的性质 n4.3 4.3 拉普拉斯反变换的方法拉普拉斯反变换的方法 n4.4 4.4 连续系统的连续系统的S

3、S域分析方法域分析方法 n4.5 S4.5 S域系统函数及应用域系统函数及应用 第第 25 讲讲 nS域系统函数及应用域系统函数及应用 系统函数H(s)定义为:零状态响应的象函数与输入信 号的象函数之比，即 n 系统函数的概念系统函数的概念 1 110 1 110 ( ) ( ) ( ) mm zsmm nn n Ysb sbsb sb H s F ssasa sa )( )( )( )( in sZ sI sU sH H(s)的含义： 输入阻抗 )( )( )( )( in sY sU sI sH 输入导纳 )( )( )( 1 2 sU sU sH 转移电压比 )( )( )( 1 2 s

4、I sI sH 转移电流比 )( )( )( 1 2 sI sU sH 转移阻抗 )( )( )( 1 2 sU sI sH 转移导纳 单端口策动点函数 双口传递函数 （转移函数） H(s)的特性：的特性： H(s)是联系输入和响应的纽带和桥梁，是系统频 率特性H(j)的S域表示； H(s)取决于系统的结构和元件参数，与系统的起 始状态无关； H(s)是一个实系数有理分式，它决定了系统的特 征根（固有频率）； H(s)为系统冲激响应的拉氏变换。 系统函数H(s)的零、极点分析 )( )( )( sA sB sH LTI系统的系统的系统函数系统函数是复变量是复变量s的有理分式，即：的有理分式，即

5、： 1 0 1 () () m j j n i i s H s 01 1 1 01 1 1 asasas bsbsbsb n n n m m m m 其中：其中： 称为称为H(s) 的的零点零点； ,2,1,mj j 称为称为H(s) 的的极点极点。 ,2,1,ni i 2 (1j1)(1j1) ( ) (1) (j2)(j2)(1) s ss H s ssss 极点：极点：12 1, 零点：零点： j 0 1j 2j 2j 1 画出零极点图：画出零极点图： 3 j2, 4 j2, 1 0, 2 1j1, 3 1j1 例：例：画零极点分布图画零极点分布图 1j 5 1 1 6.2 6.2 系统

6、函数的零、极点系统函数的零、极点 n 零、极点的概念零、极点的概念 n i m j ss zs H sD sN sH 1 i 1 j 0 )( )( )( )( )( 零点零点： H(s)分子多项式N(s)=0的根，z1，z2， zm 极点极点： H(s)分母多项式D(s)=0的根，s1，s2， sn 阻抗函数的意义： )( 1 )( )( )( 21 ssss s CsI sU sH 图2 零、极点的表示： 图1 图中 s1 = -1 + j1 s2 = -1 j1 图3 s1 = 1 + j2 s2 = 1 j2 2 (1j1)(1j1) ( ) (1) (j2)(j2)(1) s ss

7、H s ssss 3121124 2 (1)1j2j21 kkkkk sssss 1211 j2*j2 224 ( )( )( ) ( )( )( ) tt ttt h tk tetk et k etk etk et 1211 4 ( )( )( ) cos(2) ( )( ) tt t h tk tetk et Attk et n ii i s K sH 1 )( 若极点为实数：若极点为实数： 展开式中包含展开式中包含 s b sH i )( 一阶极点一阶极点 )()(tbeth t i 若极点为复数：若极点为复数： 1 ,2 j 22 )( )( s bs sHi )()sin( )( )

8、( 22 tte b th t i b arctan H(s) 的一阶极点 与所对应的响应 H(s) 的二阶极点与所对应的响应 H(s) 的零、极点与h(t) 的关系 (2) 零点影响零点影响 h(t) 的幅度、相位的幅度、相位。 (1) 极点决定极点决定h(t) 的函数形式的函数形式： a) 左半开平面左半开平面极点对应的响应，随时间增加，是极点对应的响应，随时间增加，是按指数按指数 函数规律衰减函数规律衰减的；的； b) 虚轴上虚轴上一阶极点一阶极点对应的响应对应的响应 ，是，是阶跃函数阶跃函数或或正弦函数正弦函数 （临界稳定临界稳定），二阶及二阶以上极点二阶及二阶以上极点对应的响应是对应

9、的响应是随随 时间增加而增大的时间增加而增大的； c) 右半开平面右半开平面极点对应的响应，极点对应的响应， 都是随时间增加，按都是随时间增加，按 指数函数规律增大指数函数规律增大的。的。 已知各系统函数如下，画出已知各系统函数如下，画出零、极点分布图零、极点分布图和和 冲激响应波形冲激响应波形。 4)1( 1 )()1( 2 s s sH 4)1( )()2( 2 s s sH 4)1( )1( )()3( 2 2 s s sH 极点位置与h( t ) 的对应： 结论：结论： 极点位于S平面原点，h( t )对应为阶跃函数； 极点位于S平面负实轴上， h( t )对应为衰减指数函数； 共轭极

10、点位于虚轴上， h( t )对应为正弦振荡； 共轭极点位于S的左半平面， h( t )对应为衰减的正弦振荡； H( s )的的零点只影响零点只影响h( t )的幅度和相位的幅度和相位, H( s )的的极点才决定时极点才决定时 域特性的变化模式域特性的变化模式。 由H(s)可以决定系统的频率特性H()，即 j )()( s sHH n H(s)与频域特性与频域特性 二阶系统的四种频域特性： j 2 )( s abss a KH低通函数： 高通函数： 带通函数： 带阻函数： j 2 2 )( s abss s KH j 2 )( s abss s KH j 2 2 )( s abss as KH

11、 图5 零极点位置与频域特性的示意图： 系统的稳定性定义 一个系统（连续的或离散的），如果对任意一个系统（连续的或离散的），如果对任意有界有界 输入输入，其，其零状态响应也是有界的零状态响应也是有界的，则称该系统是，则称该系统是有界有界 输入有界输出输入有界输出(BIBO)稳定系统稳定系统。即：。即： ( ),( ) ffy f tMytM若若则则有有 其中：其中： yf MM0,0 连续系统稳定的充分必要条件 时域时域充要条件充要条件 tthd)( 即：即：系统的系统的单位冲激响应绝对可积单位冲激响应绝对可积 系统稳定系统稳定 复频域复频域充要条件充要条件H ( s ) 的极点全部在的极点全

12、部在左半开平面。左半开平面。 必要条件必要条件0)(lim th t 例：例：图示线性时不变系统，图示线性时不变系统， )2)(1( 1 )( ss sG K为何值时为何值时，系统稳定，系统稳定? 【解解】 )( )(1 )( )(sF sKG sG sYf )(1 )( )( sKG sG sH Kss 23 1 2 H(s)的极点：的极点： K 2 2 3 2 3 2 2,1 为了使极点均在左半开平面，必须为了使极点均在左半开平面，必须: 22 2 3 2 2 3 K 2 K解得：解得： n 稳定性判据稳定性判据 必要条件必要条件： H( s )的分母多项式的分母多项式 的全部系数非零且均

13、为正实数。的全部系数非零且均为正实数。 充要条件充要条件：对二阶系统，：对二阶系统， 的全部系的全部系 数非零且为正实数。数非零且为正实数。 充要条件充要条件：对三阶系统，：对三阶系统， 的的 各项系数全为正，且满足各项系数全为正，且满足 01 1-n 1-n n n )(asasasasD 01 2 2 )(asasasD 01 2 2 3 3 )(asasasasD 3021 aaaa 系统稳定性的判定 1. 根据系统函数的极点判断根据系统函数的极点判断 2. 霍尔维茨（霍尔维茨（Hurwitz）多项式）多项式 （1） H(s)极点极点全部全部位于位于s左半开平面：左半开平面： 系统稳定系统稳定 （2）含有）含有 j 轴轴单单极点，其余位于极点，其余位于s左半开平面：左半开平面：系统临界稳定系统临界稳定 （3）含有含有 s 右半平面右半平面或或 j 轴轴重重极点极点： 系统不稳定系统不稳定 01 1 1 )(asasas