321几类不同的增长函数模型

1、3.2.1 3.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型 有人说，一张普通的有人说，一张普通的 报纸对折报纸对折3030次后，厚次后，厚 度会超过度会超过1010座珠穆朗座珠穆朗 玛峰的高度，会是真玛峰的高度，会是真 的吗？的吗？ “爱卿，爱卿， 你所求的并你所求的并 不多啊不多啊！” “陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内， 赏给我赏给我两两粒麦子，在第二个小格内给粒麦子，在第二个小格内给四四粒，粒， 第三格内给第三格内给八八粒，用这样下去，每一小格粒，用这样下去，每一小格 内都比前一小格加一倍。陛下，把这样摆内都比前一小格加一倍。陛下，把这样摆

2、 满棋盘上所有格的麦粒，都赏给您的满棋盘上所有格的麦粒，都赏给您的 仆人吧！仆人吧！ ” 最最 意想不到的灾害意想不到的灾害澳大利亚兔灾澳大利亚兔灾 人类历史上损失最人类历史上损失最 为惨重的生物入侵事件为惨重的生物入侵事件 这是历史上影响最这是历史上影响最 大的生物入侵灾难之一。兔子并不是澳大利亚土生的，大的生物入侵灾难之一。兔子并不是澳大利亚土生的， 在在18591859年以前，那里还没有兔子。但在那一年，有一个农民从英格兰带来了一群年以前，那里还没有兔子。但在那一年，有一个农民从英格兰带来了一群 野兔，共有野兔，共有2424只。他完全没有料到，他的这一举动将要引起一场农业灾难。在澳只。他

3、完全没有料到，他的这一举动将要引起一场农业灾难。在澳 大利亚，兔子几乎没有什么天敌，兔群每年向北、向西扩大大利亚，兔子几乎没有什么天敌，兔群每年向北、向西扩大100100公里，到公里，到19501950年，年， 就蔓延到整个澳洲大陆，据估计，约有就蔓延到整个澳洲大陆，据估计，约有7.57.5亿只野兔，等于这里人口的亿只野兔，等于这里人口的7575倍，倍，1010 只野兔就可以吃掉一只绵羊的饲料，它们吃庄稼，毁坏新播下的种子，啃嫩树皮，只野兔就可以吃掉一只绵羊的饲料，它们吃庄稼，毁坏新播下的种子，啃嫩树皮， 并且打地洞损坏田地和河堤。筑篱笆也不能阻止它们侵入农民的田地。在几十年并且打地洞损坏田地

4、和河堤。筑篱笆也不能阻止它们侵入农民的田地。在几十年 时间里，澳大利亚的农业遭受了惨重的损失。时间里，澳大利亚的农业遭受了惨重的损失。 该选择哪种该选择哪种 函数模型描函数模型描 述这一现象述这一现象 呢？呢？ 我们知道，我们知道，函数是描述客观世界函数是描述客观世界 变化规律的基本数学模型，不同的变化规律的基本数学模型，不同的 变化规律需要用不同的函数模型来变化规律需要用不同的函数模型来 描述。描述。 小李今年大学刚毕业小李今年大学刚毕业, ,找工作四处碰壁找工作四处碰壁, ,父母考虑再三父母考虑再三, ,最最 后决定筹措一笔资金用于投资后决定筹措一笔资金用于投资, ,现有三种投资方案供小李

5、现有三种投资方案供小李 选择，这三种方案的回报如下：选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报方案一：每天回报4040元；元； 方案二：第一天回报方案二：第一天回报1010元，以后每天比前一天多回报元，以后每天比前一天多回报1010元；元； 方案三：第一天回报方案三：第一天回报0.40.4元，以后每天回报比前一天翻元，以后每天回报比前一天翻 一番一番. . 请问，小李会选择哪种投资方案？请问，小李会选择哪种投资方案？ 2.如何建立日回报金额与天数的函数模型？如何建立日回报金额与天数的函数模型？ 1.依据什么标准来选取投资方案？依据什么标准来选取投资方案？分析：分析： 日回报金额，还是累计回

6、报金额？日回报金额，还是累计回报金额？ 40404040 40 1010+10 =102 10+10+10 =103 10+10+10+10 =104 10+10+10+10+10 =105 0.40.420.422 =0.422 0.4222 =0.423 0.42222 =0.424 方案一方案一 方案二方案二 方案三方案三 12345 则方案一可以用函数则方案一可以用函数_描述；描述； 方案二可以用函数方案二可以用函数_描述；描述； 方案三可以用方案三可以用_描述。描述。 设第设第x x天的日回报金额是天的日回报金额是y y元元 40()yxN 10 ()yx xN 1 0.4 2()

7、x yxN x/天天 方案一方案一方案二方案二方案三方案三 y/元元增长量增长量/元元y/元元增长量增长量/元元y/元元增长量增长量/元元 140100.4 240020100.80.4 340030101.60.8 440040103.21.6 540050106.43.2 6400601012.86.4 7400701025.612.8 8400801051.225.6 94009010102.451.2 3040030010 214748364.8107374182.4 三种方案的增长情况：三种方案的增长情况： “指数爆炸指数爆炸” 式增长式增长! x y 4 40 0y y 20 40

8、 60 80 100 120 140 42681012 1 1x x 2 20 0. .4 4y y 1 10 0 x xy y 三个函数的图象三个函数的图象 3579111 我们看到，我们看到， 底为底为2 2的指的指 数函数模型数函数模型 比线性函数比线性函数 模型增长速模型增长速 度要快得多。度要快得多。 结论结论 从日回报量从日回报量 来看：来看： 第第1 13 3天，方案一最多；天，方案一最多； 第第4 4天天, ,方案一、二一样多；方案一、二一样多； 第第5 58 8天，方案二最多：天，方案二最多： 从第从第9 9天开始，方案三最多天开始，方案三最多 ( (即即y)y) 思考思考

9、根据以上的分析，是否应作这样根据以上的分析，是否应作这样 的选择：的选择：投资投资1 13 3天选择方案一；天选择方案一； 投资投资4 4天选择方案一或方案二；天选择方案一或方案二； 5 58 8天选择方案二；天选择方案二；8 8天以上选择天以上选择 方案三？方案三？ 累计回报数表：累计回报数表： 81981940940920420410210250.850.8252512126 62.82.81.21.20.40.4三三 660660550550450450360360280280210210150150100100606030301010二二 44044040040036036032032

10、028028024024020020016016012012080804040一一 111110109 98 87 76 65 54 43 32 21 1 天数天数 回报回报/ /元元 方案方案 3276327616381638 910910780780 520520480480 131312 12 方案一方案一 方案一或二方案一或二 方案三方案三 投资投资1 16 6天，应选择天，应选择, , 投资投资7 7天，应选择天，应选择, , 投资投资8 81010天，应选择天，应选择, , 投资投资1111天（含天（含1111天）以上，应选择天）以上，应选择, , 方案一方案一 方案一或方案二方案

11、一或方案二 方案二方案二 方案三方案三 方案二方案二 确定函数模型确定函数模型 利用利用数据表格、函数图象数据表格、函数图象讨论模型讨论模型 体会体会直线上升、指数爆炸直线上升、指数爆炸等不同等不同 函数类、模型增长的含义函数类、模型增长的含义 四个变量四个变量 随变量随变量 变化变化 的数据如下表：的数据如下表： 43,21 ,yyyy x 1.0051.01511.04611.14071.42952.31075 1551301058055305 337331785.294.4785 45053130200511305051305 302520151050 x 1 y 2 y 3 y 4 y

12、 5 1037. 6 7 102 . 1 8 1028. 2 关于关于x x呈指数型函数变化的呈指数型函数变化的 变量是变量是 2 y 一次函数一次函数 对数型函数对数型函数指数函数指数函数 (1)(1)例例2 2涉及了哪几类函数模型？涉及了哪几类函数模型？ 假设小李投资后为了实现假设小李投资后为了实现10001000万元利润的目标，万元利润的目标， 准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在 销售利润达到销售利润达到1010万元时，按销售利润进行奖励，万元时，按销售利润进行奖励， 且奖金且奖金y (y (单位：万元单位：万元) )随销售利润随销售利润x x（

13、单位：（单位： 万元）的增加而增加，但奖金总数不超过万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5 5万元，万元， 同时奖金不超过利润的同时奖金不超过利润的25%25%。现有三个奖励模型：。现有三个奖励模型： y=0.25x,y=logy=0.25x,y=log7 7x+1,y=1.002x+1,y=1.002x x, , 其中哪个模型能符合公司的要求？其中哪个模型能符合公司的要求？ 分析分析: : 销售利润达到销售利润达到1010万元时，按销售利润进行奖励，万元时，按销售利润进行奖励， 且人员销售利润一般不会超过公司总的利润且人员销售利润一般不会超过公司总的利润10001000 万元，所以销售利润万

14、元，所以销售利润x x可用不等式表示为可用不等式表示为 _._. 依据这个模型进行奖励时，奖金不超过利润的依据这个模型进行奖励时，奖金不超过利润的 25%25%，所以奖金，所以奖金y y可用不等式表示可用不等式表示_._. 依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5 5 万元，所以奖金万元，所以奖金y y可用不等式表示为可用不等式表示为_._. (2)(2)你能用数学语言描述符合公司奖励方案条件吗你能用数学语言描述符合公司奖励方案条件吗? ? 101000 x 05y 00 025yx 通过观察图象，你认为哪个模型符合公司的奖励方案？通过观察图象，你认为哪个

15、模型符合公司的奖励方案？ 2004006008001000 xy25. 0 x y002. 1 5y 1log7xy 2 3 4 5 6 7 8 1 0 x y 3 3、对于模型、对于模型 , ,它在区间它在区间10,100010,1000上上 递增递增, ,观察图象并结合计算可知观察图象并结合计算可知, ,当当x=1000 x=1000时时, , y=logy=log7 71000+14.555,1000+14.55806x806时时,y5,y5, 因此该模型不符合要求因此该模型不符合要求; ; 1.002 x y 1 1、对于模型、对于模型 , ,它在区间它在区间10,100010,100

16、0上递增上递增, , 当当x20 x20时时,y5,y5,因此该模型不符合要求因此该模型不符合要求; ; 0.25yx 是否有是否有 恒成立恒成立? ? 7 ( )log1 0.2510,1000f xxxx 令，当时， ( )0f x 解：当解：当 时时, ,要使要使 成立成立, ,10,1000 x0.25yx 7 log1 0.25xx 只需成立， 7 log1 0.25xx 即0 的图象是否在的图象是否在 轴下方轴下方? ? 7 10,1000( )log1 0.25xf xxx 即当时， x 按模型按模型 奖励时，奖金是否不超过利奖励时，奖金是否不超过利 润的润的25%25%呢？呢？

17、 7 log1xy= 作作 在区间在区间 的图象：的图象： (0,) 7 ( ) log1 0.25f xxx 作作 在区间在区间 的图象如下：的图象如下：(0,) 7 ( ) log1 0.25f xxx y x 12345678 0 1 -1 7 ( ) log1 0.25f xxx 根据图象观察根据图象观察, , 的图象的图象 在区间在区间10,100010,1000内的确在内的确在x x轴的下方轴的下方. . 7 ( ) log1 0.25f xxx 这说明这说明, ,按模型按模型 奖励奖励, ,奖金不会超过奖金不会超过 利润的利润的25%.25%. 7 log1yx 综上所述，模型综上所述，模型 确实能符合公司要求。确实能符合公司要求。 7 log1yx 一次函数一次函数 ， 对数型函数对数型函数 : 指数函数指数函数 ， 7 log