数学分析华东师大第四版20章_曲线积分

1、曲线积分 第一型的曲线积分、 （与曲线的方向无关） 第二型的曲线积分 （与曲线的方向有关） 第一型曲线积分 第一型曲线积分的定义： .),(,),( ,),( ,),(lim ),( .max| , 2 , 1, , ,., .),(, 1 0| 1 10 L ii i n i ii T iii i ni iii n dsyxfILyxf TI Isf L sTT sLniL nLBAAAA TLBAL LyxfL 记为上的第一型曲线积分在 则称此极限值为的取法无关和点的值与分割且 限存在如果下面特殊和式的极上任取一点在 的模记为分割 的弧长记为小曲线段 个可求长度的分成它们将 记分点为作分割

2、对曲线的两个端点为设 上定义在二元函数线为平面上可求长度的曲设 第一型曲线积分 .,),(, ,),(lim),(),( ),( .),(, 1 0| 称为弧长微分称为被积函数称为积分路径 可以记为上的第一型曲线积分也在 上定义在二元函数线为平面上可求长度的曲设 dsyxfL sfdsyxfdsyxfI Lyxf LyxfL i n i ii T LBA 第一型曲线积分的性质 .),(),(),(),( , ),(),(, ,),(),( ,).(1 : 2121 2121 LLL dsyxgkdsyxfkdsyxgkyxfk L yxgkyxfkkk Lyxgyxf L 且存在上的第一型曲线

3、积分也在 则为常数 在上的第一型曲线积分存在 线为平面上可求长度的曲设线性性质 性质义可以得到下面的一些由第一型曲线积分的定 第一型曲线积分的性质 .),(),(),( ,),( ,),( ),( ,).(2 21 21 21 21 21 LLL dsyxfdsyxfdsyxf LLLyxf LLyxf LL LL 且存在上的第一型曲线积分也在则 在上的第一型曲线积分存在 两条曲线首尾相接的起点的终点是且 线为平面上可求长度的曲设可加性 第一型曲线积分的性质 .),(),( ),(),(, ,),(),( ,).(3 LL dsyxgdsyxf yxgyxfL Lyxgyxf L 则有上且在

4、存在上的第一型曲线积分都在 线为平面上可求长度的曲设积分不等式 第一型曲线积分的性质 .| ),(|),(| ,| ),(| ,),( ,).(4 LL dsyxfdsyxf Lyxf Lyxf L 且存在上的第一型曲线积分也在则 在上的第一型曲线积分存在 线为平面上可求长度的曲设绝对值不等式 第一型曲线积分的性质 .),(),( , ),( ).(5 BAAB dsyxfdsyxf BALyxf 则 的第一型曲线积分存在 上在可求长度的曲线 积分与方向无关 第一型曲线积分的计算 . , ,)( )( )(),(),( ,),( ,),( )(),(),( , 22 积分转化为求等号右边的定

5、值此时求曲线积分的积分 且定存在上的第一型曲线积分一在则 上连续在如果二元函数 其参数方程为设有光滑曲线 L b a dttytxtytxfdsyxf Lyxf Lyxf btatyytxx L 光滑曲线的含义 . . 0)( )( ,)(),( )(),(),( , 22 一定是可求长的曲线可以证明光滑曲线 且都具有连续的导函数满足 如果其参数方程为一条光滑曲线称 L tytx tytx btatyytxx L 证明 i i t t i iii i ni iii n dttytxs nitytxA sTT sLniL nLBAAAA TLBAL 1 .)( )( ., 2 , 1),(),(

6、 .max| , 2 , 1, , ,., 22 1 10 知利用曲线的弧长公式可 假设由曲线的参数方程我们 的模记为分割 的弧长记为小曲线段 个可求长度的分成它们将 记分点为作分割对曲线的两个端点为设 证明 .*, .)( )( *)( *)( )(),( )( )( )(),( *)( *)( )(),(),( , ),(),( ),( 1 2222 1 22 1 22 11 iiii iiiii n i ii iii n i ii iii n i iii n i ii iiii iii tuut tuyuxuyuxuyuxf tuyuxuyuxf tuyuxuyuxfsf uyux L

7、和式则由积分中值定理可知 假设 上任取一点在 证明 .)( )( )(),( ),(lim),(, 0 )( )( *)( *)( )(),(lim .)( )( )(),( )( )( )(),(lim . 0,0| ,max 22 1 0| 2222 1 0 22 22 1 0 21 dttytxtytxf sfdsyxf tuyuxuyuxuyuxf dttytxtytxf tuyuxuyuxf tT tttt b a i n i ii TL iiiii n i ii t b a iii n i ii t n 于是我们推出 并且 可以证明 我们有时则当 令 例题 ).0(sin,cos

8、,)( 22 ttaytaxL dsyx L 是上半圆周其中 试计算第一型曲线积分 解答 . )sin()cos()sin()cos( )( , 32 0 2 22 0 22 22 adtaa dttatatata dsyx L 算公式由第一型曲线积分的计 例题 ).0(sin,cos ,)( 22 ttaytaxL dsyx L 是上半圆周其中 试计算第一型曲线积分 解答 . )sin()cos()sin()cos( )( , 22 0 2 22 0 22 22 adtaa dttatatata dsyx L 算公式由第一型曲线积分的计 例题 . 1 ,| 22 yxL dsy L 是单位圆

9、周其中 试计算第一型曲线积分 解答 . 422 )sin(sin1|sin| )(sin)(cos|sin| | , ).20(sin,cos 1 2 0 2 0 22 2 0 22 dttdttdtt dtttt dsy ttytx yx L 算公式由第一型曲线积分的计 转化为参数方程 首先将单位圆周的方程 例题 .1 , 2 2 2 2 位于第一象限的部分是椭圆其中 试计算第一型曲线积分 b y a x L dsyx L 解答 . )( 3 1 sin)(sin)( )(2 cossincossin )sin()cos(sincos , ).2/0(sin,cos 1 22 33 2 0

10、2222222 22 2222 2 0 22 2 0 2 2 2 2 ba abba tbadtbab ba ab dttbtattab dttbtatbtadsyx ttbytax b y a x L 算公式由第一型曲线积分的计 转化为参数方程 首先将椭圆的方程 第一型曲线积分的计算 . , .)( 1)(,),( )(),(, ,)(, ,)( 2 积分转化为求等号右边的定 值此时求曲线积分的积分 于是此时 的参数方程写为我们可以将曲线 上具有连续的导函数在其中 来表示由直角坐标系的方程设曲线 L b a dxxxxfdsyxf bxaxyxx L baxbax xyL 第一型曲线积分的计

11、算 . , .)( 1),(),( )( ,),( ,)(, ,)( 2 积分转化为求等号右边的定 值此时求曲线积分的积分 于是此时 的参数方程写为我们可以将曲线 上具有连续的导函数在其中 来表示由直角坐标系的方程设曲线 L d c dyyyyfdsyxf dycyyyx L dcydcy yxL 例子 . ) 1 , 0(),0 , 1 (),0 , 0( ,)( 为顶点的三角形 是以其中 计算第一型曲线积分 BAOL dsyx L 解答 L BO AB OA BO LOAAB dsyx dyydsyxI dxdsyxI xdxdsyxI dsyx dsyxdsyxdsyx .21)( .

12、2 1 )( ;22)( ; 2 1 )( .)( )()()( ,3 1 0 3 1 0 2 1 0 1 积分分别求出每一段的曲线段将曲线积分分成 第一型曲线积分 .),( ,),( , .),( , L dszyxfI Lzyxf Lzyxf L 并且记为 上的第一型曲线积分在空间曲线 我们可以定义类似地 上定义在三元函数 线为空间中可求长度的曲设 第一型曲线积分的计算公式 . , )( )( )( )(),(),( ),( ,),( ,),( )(),(),( , 222 积分转化为求等号右边的定 值此时求曲线积分的积分 且定存在上的第一型曲线积分一在则 上连续在如果三元函数 其参数方程

13、为设有空间光滑曲线 dttztytxtztytxf dszyxf Lzyxf Lzyxf btatzztyytxx L b a L 例题 .)20( ,sin,cos ,)( 222 上的一段 为螺旋线其中 计算第一型曲线积分 t btztaytaxL dszyx L 解答 ). 3 8 2( )( )sin()cos()( )( , 32 222 22 2 0 222 222 2 0 222 222 b aba dtbatba dtbtatatba dszyx L 算公式由第一型曲线积分的计 例题 ).0, 10( 2 1 , , 2 2 at atztayaxL ds a z L 为空间曲

14、线其中 计算第一型曲线积分 解答 ) 122( 3 1 ) 2 1 ()(0 2 , 2 1 0 222 1 0 222 1 0 2 a dttta dttaat dttatat ds a z L 算公式由第一型曲线积分的计 例题 ).20( ,sin,cos , t tzttyttxL dsz L 为空间曲线其中 计算第一型曲线积分 解答 ).228( 3 1 )24( 3 1 )2(2 2 1 2 33 2 0 22 2 0 2 tdt dtttzds L 算公式由第一型曲线积分的计 第二型曲线积分 第二型曲线积分的定义： .max| , ., 2 , 1, ),( , 2 , 1, ,

15、, .),(),( .,: , 1 11 1 10 i ni ii iiiiii iii iii n sTT sL niyyyxxx yxA niAAL nLBAAAA TL LyxQyxP BABAL L 的模记为分割 的弧长记为 并且记 的坐标为记分点 可求长度的小曲线段 个有方向的分成它们将 记分点为作分割对曲线 上定义在二元函数 为终点为起点设 长度的曲线为平面上有方向的可求设 第二型曲线积分 .),(),( ,),(),( ,),( ,),(),(lim ),( ,: , 11 0| 1 L ii i n i iii n i ii T iiiii dyyxQdxyxPI LyxQyx

16、P TI IyQxP AAL BAL L 记为 上的第二型曲线积分沿着有向曲线 则称此极限值为的取法无关和点的值与分割且 限存在如果下面特殊和式的极 上任取一点在有向的小曲线段 设 长度的曲线为平面上有方向的可求设 第二型曲线积分 .),(),(, .),(),( ),( .),(),(),(),( .),(),( , 称为被积函数称为积分路径 为上的第二型曲线积分记则沿着封闭的有向曲线 起点与终点相重合为封闭的有向简单曲线若 可以记为上的第二型曲线积分也沿着有向曲线 上定义在二元函数 长度的曲线为平面上有方向的可求设 yxQyxPL dyyxQdxyxP L L dyyxQdxyxPdyyx

17、QdxyxPI L LyxQyxP L L LBA 第二型曲线积分的性质 LL L dyyxQdxyxPkdyyxQdxyxPk dyyxQkyxQkdxyxPkyxPk L yxQkyxQkyxPkyxPk kk L yxQyxPyxQyxP L .),(),(),(),( ),(),(),(),( , ),(),(),(),( , , ),(),();,(),( ,).(1 : 222111 22112211 22112211 21 2211 且存在上的第二型曲线积分也在 则 为常数 存在上的第二型曲线积分都在 度的曲线为平面上有向的可求长设线性性质 性质义可以得到下面的一些由第二型曲线积

18、分的定 第二型曲线积分的性质 2 1 .),(),( ),(),(),(),( , ),(),( ,),(),( ),( ,).(2 21 21 21 21 L LL dyyxQdxyxP dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP LLL yxQyxP LLyxQyxP LL LL 且存在上的第二型曲线积分也在 则 存在上的第二型曲线积分都在 两条曲线首尾相接的起点的终点是且 度的曲线为平面上有向的可求长设可加性 第二型曲线积分的性质 . .),(),( ),(),( , ),(),( ).(3 线的方向有关即第二型曲线积分与曲 则 在上的第二型曲线积分存 线在有向的可求长度的曲 积分与方向有

19、关 AB BA dyyxQdxyxP dyyxQdxyxP BAL yxQyxP 第二型曲线积分的计算 且定存在上的第二型曲线积分一 到从则沿着有向曲线 上连续在如果二元函数 的坐标为终点 的坐标为并且起点 其参数方程为线设有平面有向的光滑曲 , )( ,),(),( )(),( ),(),( ),(),(),( , BABAL LyxQyxP bybxB ayaxA btatyytxx BAL 第二型曲线积分的计算 . . , .)( )(),()( )(),( ),(),( 应该保持一致 上限、下限的确定曲线的方向与定积分的 特别需要注意的是： 积分的计算就转化为等号右边的定 值此时求曲线

20、积分的积分 dttytytxQtxtytxP dyyxQdxyxP b a L . , .)( )(),()( )(),( . ),( , , ),(),( 积分的计算就转化为等号右边的定 值此时求曲线积分的积分 最后回到这一点 逆时针等等顺时针所指定的方向沿着 点上任意选取一点作为起我们可以在 的计算问题 上的第二型曲线积分线对于沿着封闭的简单曲 dttytytxQtxtytxP L L dyyxQdxyxP L b a L 例题 ).0 , 1 (,)3( 2:)2( )2 , 1 ()0 , 0( ,2) 1 ( , 2 AOAB xyOB BO xy L ydxxdy L 点沿着 ；沿

21、着直线段 的一段；到从原点 沿着抛物线 为这里 计算第二型的曲线积分 解答 . 2624 .1 , 0,2, ,2) 1 ( 1 0 1 0 22 2 2 dxxdxxxx ydxxdy xxxyxx xy L 作为参数以 将其写成参数方程沿着抛物线 解答 . 2422 .1 , 0,2, ,2)2( 1 0 1 0 xdxdxxx ydxxdy xxxyxx xy L 作为参数以 将其写成参数方程沿着直线段 解答 . 2 . 21 .2 , 0, 1 , 1: . 00 .1 , 0, 0, , 0: :)3( 2 0 1 0 L AB OA ydxxdy dyydxxdy yyyyx xA

22、B dxydxxdy xxyxx yOA 作为参数以 将其写成参数方程 作为参数以 将其写成参数方程 将积分路径分成两段 例题 . )20)(cos1 (),sin( ,)2( 增加方向的一段沿着 为摆线这里 计算第二型的曲线积分 t ttayttax L dydxya L 解答 2 0 222 2 0 .sin)cos1 ( sin)cos1 ()cos2( )2( : adttata dttatataaa dydxya L 算公式由第二型曲线积分的计 例题 . , 1 , 22 22 沿着逆时针的方向 为单位圆周这里 计算第二型的曲线积分 yxL yx ydyxdx L 解答 . 0)2s

23、in( cossin)sin(cos ).20( ,sin,cos 1 2 0 2 0 22 22 d d yx ydyxdx yx yx L 算公式由第二型曲线积分的计 写成参数方程 坐标系的方程首先将单位圆周的直角 第二型曲线积分 .),(),(),( , ),(),(),( , .),(),(),( , L dzzyxRdyzyxQdxzyxPI LzyxRzyxQzyxP LzyxRzyxQzyxP L 并且记为 第二型曲线积分 上的在空间有向曲线 我们可以定义类似地 上定义在三元函数 长度的曲线为空间中有方向的可求设 第二型曲线积分的计算公式 ., .)( )(),(),( )( )(),(),()( )(),(),( ),(),(),( , ,),(),(),( ).)(),(),( , 的计算转化为等号右边定积分值此时求曲线积分的积分 且 定存在上的第二型曲线积分一则沿着空间有向曲线 上连续在 如果三元函数 其参数方程为设空间有向的光滑曲线 dttztztytxR tytztytxQtxtztytxP dzzyxRdyzyxQdxzyxP L LzyxRzyxQzyxP btatzztyytxx L b a L 例题 ).3 , 0 , 2(),0 ,