高考真题——文科数学(湖北卷)解析版Word版含答案

1、绝密启用前普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(文史类)本试题卷共5页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。祝考试顺利注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的2b铅笔将答题卡上试卷类型a后的方 框涂黑。2 .选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2b铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上 无效。3 .填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 答在试题卷、草稿纸上无效。4 .考生

2、必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1 .已知全集 = 123,4,5,集合a = 1,2, 8 = 2,3,4,则5n=a. 2b. 3,4c. 1,4,5d. 2,3,4,5)【答案】b【解析】本题考查集合的相关运算.因为全集u=(123,4,5,集合4=q2,则由补集的定义可知qx = 3,4,5.又因为 3 = (2,3,4),所以 3nqn = 234n345 = 0,4.故选 b.【易错点】在求解集合中关于补集问题时，要注意全集的范围，以免得出错误结

3、论.【难易度评价】易2 2222.已知0夕5,则双曲线g： - 一 = 1与= i的4sin8 cos- 0- cos9 siirda.实轴长相等 b.虚轴长相等c.离心率相等d.焦距相等【答案】d【解析】本题考有双曲线的离心率等基本特征.因为080仆111。：0.由双曲线的定义，不妨设双曲线g、g的实半轴、虚半轴、半焦距、离心率分别为。1、瓦、cp /、的、瓦、c2、e2,则勾=siii= cos8、g = 1, 于是4=；% siii 0% = cos=sin=l 于是6=s-=-. a、 cos 6比较可知#/，声的，“。4,q =&.故选d.【易错点】正确理解双曲线的定义，不要认为凡是

4、含/项的分式的分母对应的就是实半轴 的平方.【难易度评价】易3 .在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围二q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 a. （/） v （4）b. p v （7）c. （1/） a （夕）d. p v q【答案】a【解析】本题考查逻辑联结词、复合命题的判断.已知命题p是“甲降落在指定范围”，则命题力 是“甲没有降落在指定范围“；同理，命题一q 是“乙没有降落在指定范围”，贝卜至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 （9）v”故选人.【易错点】正确理解命题本身的含义以及逻辑联结词的含义是解决这

5、类问题的关键，否则极 易由于理解不准确而出错.【难易度评价】易4 .四名同学根据各自的样本数据研究变量工,，之间的相关关系，并求得回归直线方程，分 别得到以下四个结论：y与x负相关且y = 2.347x - 6.423；y与x负相关且y = -3.476x + 5.648 ：y与x正相关且y = 5.437x + 8.493；y与x正相关且尸 一3261.578 .其中一定不准确的结论的序号是 a. b. c.d.【答案】d【解析】本题考查线性相关的基本概念.由正相关、负相关的性质知：在中，斜率为23470,不可能负相关；中，斜率为-4.326 0)个单位长度后，所得到的图 象关于y轴对称，则

6、m的最小值是d.5nt【答案】b 【解析】本题考查三角函数图象的对称性、奇偶性、平移、辅助角公式等.函数 y =十 sin x = 2 sinx + - |（xer）,将其图象向左平移机个单位长度，得到3 /7t函数y = 2smx+ 土+桃.又因为平移后得到的图象关于y轴对称，所以函数 13，r、y = 2sin x + -4-w为偶函数.由三角函数图象的性质，可得名十阳=4左十（女七乙），0,所以7的最小值是上故选b.66jt1易错点】本题的关键是利用三角函数y = asin（wx十）为偶函数，则夕二痴十这一条件解题.同样，当三角函数二cos（gx+9）为奇函数，则0左/十二（左uz）.弄

7、清2 两者的区别，才不易出错.【难易度评价】中7.已知点a（t, 1）、8（1,2）、。（一2,-1）、。（3,4）,则向量a8在6方向上的投影为3 &r 3715_3&3/2222【答案】a【解析】本题考查向量的基本运算、数量积和向量投影.已知点n(l1)、5(1,2)、c(-2,-l)x 2(3.4),得刀=(2,1).而=(5, j .不妨设向量刀与向量的夹角为。，则向量方在e5方向上的投影为1-71。 -731 ab-cdab-cd(2,1(5,5)3立.出 aab cos & = ab _ = _ =-=故选 a.1 1abcdcd 炜2【易错点】理解向量的投影的几何意义是关键.对于

8、向量、bf向量在向量b方向上的投影为acos(9,而不是6 cos6或同sin(9 ,容易记错. r【难易度评价】易8 . x为实数，x表示不超过x的最大整数，则函数/(x) = x-x在r上为a.奇函数b.偶函数c.增函数d.周期函数【答案】d【解析】本题考查新知识的接收及使用能力，及数形结合的思想方法.作出函数/(x) = x-x的大致图象如下：观察图象，易知函数x)= x-可是周期函数.【易错点】正确理解幻的含义及作出准确的函数图象，同时不要误认为该函数为增函数.【难易度评价】难9 .某旅行社租用a、3两种型号的客车安排900名客人旅行，a、3两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分

9、别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且8型车不多于a型车7辆.则租金最少为a. 31200 元b. 36000 元c. 36800 元d. 38400 元【答案】c【解析】本题考查线性规划的实际应用设月型、3型车辆的数量分别为二y辆，贝ij租金为2 = 1600.丫 + 2400n.依题意.需满足y900,x-y 75, x+y0)只有一根，即直线y = 2依1与曲线y = lnx相 切.设切点为(/.in/),则切线方程为y-ln=-(x xo),即y =x+ino l .又切 而,xq2a = l_ _线方程为y = 2m1,对比得 “一见 解得 5.故若要

10、使直线y = 2m1与曲 -1 = 111 xq 1,x。= 1 ,线y = lnx相交，即函数f (x) = x(1hx-qx)有2个极值点，需满足0ovg故选b.【易错点】巧妙利用导数求极值，利用数形结合思想解决方程根的问题是解决本题的关键所在.若按常规方法求解，则极易出错或加大解题难度.【难易度评价】难二 填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11 . i为虚数单位，设复数z?在复平面内对应的点关于原点对称，若4=2-3i,则【答案】-2 + 3i【解析】本题考查复平面、关于原点对称的性质.由题意，复数2

11、1,句的实部和虚部都互为相反数，故2?=-2+3l【易借点】切忌将关于原点、直线、坐标轴等各种对称性质弄混，从而失分.【难易度评价】易12 .某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7, 8, 7, 9, 5, 4, 9, 10, 7, 4则(i )平均命中环数为:(1【)命中环数的标准差为【答案】（1）7 （ii） 2【解析】本题考查平均数和标准差的计算.i- . b t7 + 8+，+ 9 + 5 + 4 + 9 + 10+/+ 410( i )平均命中的环数为=7：11）由平均命中的环数为7,可知命中环数的标注差为02 + l2 +02 +22 +(-2)2 +(-3 y 十 2

12、?十 32 + 02 + (-3)210:=2【易错点】注意计算的准确性，以免造成不必要的失分.【难易度评价】易13 .阅读如图所示的程序框图，运行相对应的程序.若输入?的值为2, 则输出的结果.（,）第13题图【答窠】4【解析】本题考查程序框图.若输入加=2,则根据算法知, 第一次运行时：，=1,/ = 2,5 = 1,不满足幺8；第二次运行时；i =.2,w = 4.3 = 2,不满足第三次运行时：，=3,/ = &3 = 6,不满足月vb；第四次运行时；i = 4,n = 16.3 = 24,此时刚好满足/3,所以输出i = 4.【易错点】注意每一步运算中，条件与结论的对应关系，不要因为

13、弄混而出错.【难易度评价】中14 .已知圆o： a-2 + v2 =5 ,直线/： xcos8+ysind = l （ 0夕）.设圆o上到直线/的距离等于1的点的个数为氏，则 =.【答案】4【解析】本题考查圆与直线的位置关系、点到直线的距离以及转化和化归的思想方法一xcos8 + ysin- 2 = 0xcos + jsin = 0也有两个解，所以满足条件的点有4个.2 ,2 cx0 +% =5不妨设点（天,九）在圆。上，且到直线/的距离等于1,有, |%。0,0 +先在化jcos2e+sin?。简得 兀=5, 或 与一九二工所以点（无,比）的个数，转化为x0 cos 8 + j。sin 8

14、= 0.x0 cos 8 + % sin 8 - 2 = 0,+ y，= 5/ 十 针=5方程组1. 或. .的实数解的个数.又因为圆。的圆心为（0,0）,半径为正，而圆o的圆心到直线/：无cos。十ysins2 = 0的距离为2逐， 所以直线/与圆。相交，即方程组1 “ 一，二-有两个解；同理可得方程组【易错点】注意圆0： 1+丁=5的半径是而不是5.【难易度评价】中15 .在区间-2,4上随机地取一个数x,若x满足u区机的概率为2,则川=【答案】3【解析】本题考查绝对值不等式，几何概型的应用.由几何概型，得上士=2,解得川=3.4-（-2） 6【易错点】正确理解几何概型的含义,以免出错.【

15、滩易度评价】中16 .我国古代数学名著数书九章中有天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天 池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆 中积水深九寸，则平地降雨量是 寸.（注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口而积；一尺等于十寸）r答案】3【解析】本题考查圆台知识在实际生活中的应用.由已知得，天池盆盆口的半径为14寸，盆底的半径为6寸，则盆口的面积为196乃求寸2,盆底的面积为36万*寸2 .又盆高18寸，积水深9寸，则积水的水面半径为把回=io寸, 2积水的水面面积为 1001 * 寸2积水的体积为寸3,所以平地降水量为v = x (3 6/r + -73

16、6x 100 +100万)义9 = 5gg 万588万*寸3 f= 3 寸196* 寸2 【易错点】题目给出圆台两个面的尺寸都是直径，要注意先求出半径.【难易度评价】难17 .在平面直角坐标系中，若点p(x,y)的坐标x, y均为整数，则称点。为格点.若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为s,其内部的格点数记为n,边界上的格点数记为心例如图中 a3。是格点三角形，对应的s = l, n = 0, l=4. (i)图中格点四边形defg对应的s.n,l分别是:(ii )已知格点多边形的面积可表示为 s=n +也+c,其中b, c为常数. 若某格点多边形对应的n

17、 = 71, l=18, 则5= (用数值作答).【答案】(i ) 3.1.6 (ii ) 79【解析】本题考查接收新知识并应用新知识解题的能力以及归纳、猜想、推理能力.(i )观察图形，可得s = 3.n = lz = 6. j(ii)不妨设某个格点四边形由两个小正方形组成，此时6 = 2.n=0. = 6.又因为格点多边形的面积可表示为s = anbl + c ,结合图中的格点三角形abc及格点四边形defg,1 = 4b + c .可得3 = a + 6b+c,解得l 所以5 =十,，一 .将n = 7l2 = 18代入，得 7222 = 6b + c,c = -l.5 = 79.【易错

18、点】注意区分多边形内部格点数和边界格点数，这是比较容易出错的地方.【难易度评价】难 三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18 .(本小题满分12分)在中，角a, b ,。对应的边分别是，c.已知cos 2a-3cos(3 + c) = l.(i)求角a的大小：(h )若 abc的面积s = 5vj, b = 5,求sinbsinc的值.【答案】(i )由8$24-385(3 +。=1,得 2cos24 + 3cos 幺- 2 = 0,(2 cos a - l)(cos /i + 2) = 0 ,解得 cos4=，或 cos4 = -2 (舍去)-2因为

19、0/2-fc2-22ccos = 25+16-20 = 21,故”烟.又由正弦定理得 sin 5sin c =-sin a - -sni a = r sin1 = x -=.a a a2 21 4 7【解析】本题考查三角恒等变换，正弦定理及余弦定理的应用.【易错点】解三角形问题要注意两点：1.三角变换的恒等性；2.公式、定理运用的合理性.1难易度评价】易【估分策略】第一步；得到2cos2幺+38,月一2 = 0,得2分；第二步；求出cos%的值，得2分；第三步：求出角幺的大小，得1分；第四步：由面积公式求出c的值，得2分:第五步：利用余弦定理，求出。的值，得2分；第六步：由正弦定理求出s山与s

20、inc的值，得3分.19 .（本小题满分13分）已知sn是等比数列的前项和，ss1,s,成等差数列，且/+%+4=-18.（i）求数列“的通项公式；（ii）是否存有正整数，使得s. 22013?若存有，求出符合条件的所有的集合： 若不存有，说明理由.【答案】（i）设数列的公比为则 1，,由题意得rr 3 j o s】一况=$3 -s,一可。一一，也二过二：%+。3=t8，即可4（1+0 +建）=-1&解得k = -2故数列4的通项公式为4=3（-2）小应=止印=1-（w（h）由（i ）有 1一（-2）若存在,使得舄32013,贝#一（2）2013, gp（-2r,上式不成立；当为奇数时，（的=

21、-2&2012,即2*012,则让11.综上，存在符合条件的正整数%且所有这样的的集合为无、无之 【解析】本题考等比、等差数列的性质以及不等式的证明.【易错点】关于不等式（-2）勺-2012,要注意分类讨论.【难易度评价】中【估分策略】第一步；列出关于生的方程，得3分;第二步；求出数列凡的通项公式，得2分：第三步；求出s/得2分； 第四步：得出不等式（一2） w-2012,得2分;第五步：分类讨论，得出结论，得4分.20 .（本小题满分13分）如图，某地质队自水平地面4 b, c三处垂直向地下钻探，自八点向下钻到4处发现矿藏, 再继续下钻到4处后下而已无矿，从而得到在4处正下方的矿层厚度为a&

22、 = 4 .同样可 得在8, c处正下方的矿层厚度分别为8产2 =4，gg=，且4 4 4过回，ac 的中点m , n且与直线a4平行的平面截多而体a约g所得的截而defg为该 多面体的一个中截面，其而积记为s中.（i）证明：中截而ofg是梯形：（ii）在8c中，记8c = ”，8c边上的高为人 面积为s.在估测三角形abc区域内 正下方的矿藏储量（即多而体44c-4区g的体积v ）时，可用近似公式 % =s中.来估算.已知v = :（4+w+43）s，试判断,与u的大小关系，并加 以证明.第20题图【答案】（i）依题意上平面45。，用公,平面3c,平面知c,所以44瓦/gg-又44=4,方向

23、=4, gg=4,且&44 因此四边形44鸟4、44gg均是梯形.由/4平面merv, 4&u平面a4鸟,且平面44&月pl平面meev = me, 可得42me,即44）e.同理可证4且2 fg,所以de fg.又m、n分别为也5、4c的中点， 则。、e、f、g分别为4耳、4与、4g、4g的中点, 即。上、fg分别为梯形4当与4、44gq的中位线一0回二枭44 ”也）二 +4） fg = n44 +cg）4d3） 因此 22 f 22而极de。，4 - 40,故0时，称/（x）为。、关于x的加权平均数.判断了,”2）是否成等比数列,并证明/a）“aa（h）、的几何平均数记为称若为、人的调和平

24、均数记为从若hwf（x）wg,求k的取值范围.【答案】（i ） 项的定义域为（fdu（-l制）,a（x + y）-（ax + b） a-bf5=1）2=西球当ab时，八外0,函数/（劝在（to，t）, （tx）上单调递增；当ab时，/w o /（-）= o，眄二质,0（ii） g）计算得 2,。， v”（11）由知r,故由得bb当=时,a.这时，x的取值范围为0十功；e b , b /t0 1 jc、 o i 、当&时，。，从而，由在十划上单调递增与式，得j气。,即的取值范围为山；1r当时，a ,从而。v。，由八幻在。口）上单调递减与式，j-1得0即兀的取值范围为iv。.【解析】本题考查利用导

25、数求函数的单调性，不等式，接受新知识并应用的能力.【易借点】求解过程中要注函数定义域、参数的范围的讨论及运算的准确性一【难易度评价】难【估分策略】第一步：求出导函数，得2分：第二步：分类讨论，求出函数的单调性，得2分；第三步：求出了,八秒 吟的值，得出x1）心=/（02,得2分；第四步：证出心4/0，得2分；第五步：求出/（-）/ )，过原点且不与工轴重合的直线/与g，的四个交点按纵坐标从大到小依次为4 8, c, d.记2 =，4。加和4/15人，的面积分别为51和5). n(i)当直线/与)，轴重合时，若s|=/s2,求几的值：(ii)当力变化时，是否存有与坐标轴不重合的直线/,使得，=%

26、邑？并说明理由.第22题图【答案】依题意可设椭圆g和。2的方程分别为2222g： -r +=1 g：十 v = l.其中2= 1.a疗a w*n()解法1：如图1,若直线/与y轴重合，即直线的方程为尤=0,则国=。友?|.|。必| 二 ：。|8。|, s2=l|-|o| = la|aff|,所以二挈.2222z2 aii在ci利g?的方程中分别令y= 0,可得1yd=加，为=，加=-加，于是i即1二i取 此i二根+ =7 +1疑 ya-ys! m-n 4t若!、/1,则汜二2，化简得月2-2尤1 = 0.由41,可解得 0 + ls、x 1故当直线/与y轴重合时，若s = 2s?,则2 =忘+

27、1.解法2：如图1,若直线，与丁轴重合,则bd=ob- od=mnt ,4b=oa-ob = m-n$i =； bd om=a bd, s： =!|-45 -on=a ab .飞上第21题解答图1所以a=四=竺y=包s ab ia-1若工=4,则1=4,化简得万邑4t故当直线/与y轴重合时，若s = /ls二第21题解答图22/-1 = 0. 由4 1,可解得x = &+1. 则 /? = 十 1.(h)解法1：如图2,若存在与坐标轴不重合的直线/,使得耳=452.根据对称性,不妨设直线i s y = kx (i 0),点a,0), nq,0)到直线，的距离分别为4，w，则因为4=看2 = r

28、, 4=42=口，所以&=成一又si=l bd a,s1=-abd 所以凡= w bdab.2 i由对称性可知|4|=|c。，所以 bc=bd-ab = a-v)ab.ad = bd 十 | 也3 =(z + 1)|/b|,于是m1 = a11bc a-l将，的方程分别与g, q的方程联立，可求得amangt +w4+年根据对称性可知4二-xg , xd = -xa ,于是i皿=jl十？ |犬金_g二区=巴卜)十6bc 3 + 丁 |/ -| 2/ 丫于/从而由和式可得ia2k2 +n2a+1七始十川二而不.令 j -,则由阳，力，可得eh1,于是由可解得也上t11)a(a -1)j(l-j)因为上工0,所以/o.于是式关于上有解，当且仅当上y-/i)o,jqt )等价于(一1)(尸一之)1，可解得 xx即工由几i,解得+五，所以./ 1)当11 +企时，存在与坐标轴不重合的直线/使得用二/s2.解法2：如图2,若存在与坐标轴不重合的直线/使得工二:凡.