数学建模答辩---制动器试验台的控制方法分析

1、制动器试验台的控制方法分析制动器试验台的控制方法分析 河南科技大学河南科技大学 2009年9月 2009年数学建模年数学建模A题题 一、问题分析一、问题分析 1.1.电惯量补偿机械惯量的方法电惯量补偿机械惯量的方法 控制器在控制系统制动的过程中，制动器的扭转力矩控制器在控制系统制动的过程中，制动器的扭转力矩 ，电动，电动 机的扭转力矩机的扭转力矩 ，它们满足的动力学方程：，它们满足的动力学方程： 通过电动机转矩补偿的方法可以实现汽车惯量的电惯量的等效模通过电动机转矩补偿的方法可以实现汽车惯量的电惯量的等效模 拟。电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不拟。电动机在一定规律的电流

2、控制下参与工作，补偿由于机械惯量不 足而缺少的能量。足而缺少的能量。 M M m d MMJ dt 2.2.控制方法与评价控制方法与评价 由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关 系很难得到。系很难得到。 工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为 许多小的时间段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与许多小的时间段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/ /或瞬时或瞬时 扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制扭矩，设计出本时段驱动电

3、流的值，这个过程逐次进行，直至完成制 动。动。 评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小。评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小。 二、模型的基本假设二、模型的基本假设 根据对模型的分析提出以下假设：根据对模型的分析提出以下假设： 1.1.飞轮在转动过程中除受制动器和驱动电机产生的扭矩外，不考虑其飞轮在转动过程中除受制动器和驱动电机产生的扭矩外，不考虑其 他任何外力对其产生的扭矩。他任何外力对其产生的扭矩。 2.2.电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比。电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比。 3.3.不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。不考虑观测误差、随

4、机误差和连续问题离散化所产生的误差。 4.4.忽略车轮自身转动具有的能量。忽略车轮自身转动具有的能量。 5.5.认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致。认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致。 三、模型的建立三、模型的建立 图1 试验台上电惯量式制动试验系统结构示意图 1.1.模型的分析模型的分析 根据机械动力学原理，机械惯根据机械动力学原理，机械惯 性式制动器满足：性式制动器满足： ( )0 d JM t dt 制动力矩恒定：制动力矩恒定： dM dtJ 制动力矩变化：制动力矩变化： ( )dM t dtJ 根据以上分析，我们分别建立了基于恒定力矩和非恒定力矩根据以上分析，我们分别建立了基于

5、恒定力矩和非恒定力矩 的两种数学模型。的两种数学模型。 2. 2.模型一：基于恒定力矩的数学模型模型一：基于恒定力矩的数学模型 制动器施加的扭矩制动器施加的扭矩 ，电动机施，电动机施 加的扭矩加的扭矩 。 当当 时，实现电惯量对机械惯量的模拟。可得：时，实现电惯量对机械惯量的模拟。可得： 电动机驱动电流为：电动机驱动电流为： M M 图2 飞轮组系统的在恒力矩下随时间变化示意图 系统达到预定转速系统达到预定转速 后，制动器后，制动器 开始制动。开始制动。 0 0M 0 1 J t M 0 2 m J t MM 12 tt (1) m J MM J (1) m J IKM J 曲线曲线1中，中，

6、电动机转矩电动机转矩 ，得，得 由曲线由曲线2，得，得 电流控制方法电流控制方法 依据以上模型，设计电流控制方法。这种方法根据前一时间段依据以上模型，设计电流控制方法。这种方法根据前一时间段 的瞬时扭矩与理论扭矩的相对大小，决定电机电流的增减值的瞬时扭矩与理论扭矩的相对大小，决定电机电流的增减值, ,然后逐然后逐 段向后递推。段向后递推。 首先根据试验需要模拟的初转速、末转速以及转动惯量计算出首先根据试验需要模拟的初转速、末转速以及转动惯量计算出 扭矩的理论值扭矩的理论值 。根据。根据 ，可以计算出前一段时间导，可以计算出前一段时间导 致扭矩不等于理论值的电流值为：致扭矩不等于理论值的电流值为

7、： 应使下一段的电流在前一段的基础上变化应使下一段的电流在前一段的基础上变化 。 假如假如 ，则，则 ； 假如假如 ，则，则 ； 假如假如 ，则，则 。 0 M io MM (1) m J IKM J io MM io MM 0 ()(1) m i J IK MM J 1 2 ii III 1 2 ii III 1ii II 2 I 3.3.模型二：基于非恒定力矩的数学模型模型二：基于非恒定力矩的数学模型 假定制动器的阻力距是前一段适用于下一段。假定制动器的阻力距是前一段适用于下一段。 第第k-2处瞬时转速为处瞬时转速为 ，第，第k-1处处 瞬时转速为瞬时转速为 ，则有：，则有： 则则A过程的

8、制动力矩：过程的制动力矩： 将将 应用于应用于B过程，设第过程，设第k处转速处转速 为为 ,则其满足：则其满足： 与上式联立得与上式联立得 图3 求解驱动电流时的分段示意图 12 m MMJ t 12 m MMJ t 23 MJ t 32212 () m JMt tM JJJ 1 2 M 3 从而我们知道了下段时间末处即第处要尽量达到的瞬时速从而我们知道了下段时间末处即第处要尽量达到的瞬时速 。 3 第第k-1k-1处飞轮组的动能为：处飞轮组的动能为： 第第k k处飞轮组的动能为：处飞轮组的动能为： 由能量转换关系可得：由能量转换关系可得： 从而得到第处的扭矩：从而得到第处的扭矩： 由它得第三

9、段的电流由它得第三段的电流I I。按上述方法向下工作，从而循环运行。按上述方法向下工作，从而循环运行。 该模型是电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型，同时，其本身该模型是电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型，同时，其本身 也是根据前一个时间段的观测值，设计本时间段电流值的计算机控制也是根据前一个时间段的观测值，设计本时间段电流值的计算机控制 方法。方法。 2 12 1 2 m QJ 2 23 1 2 m QJ 123 ()()QQMM dMMt 22 23 3 1 2 m MMJ t 求 四、模型的求解四、模型的求解 1.1.问题一的分析与求解问题一的分析与求解 车辆的平动动能：车辆的平动

10、动能： 等效的转动动能：等效的转动动能： 令令 则有：则有： 代入数据得等效的转动惯量为代入数据得等效的转动惯量为52 222 11 22 Emvmr 2 1 2 EJ E E 2222 22 mvGrGr J gg 2 kg m 2.2.问题二的分析与求解问题二的分析与求解 飞轮模型如图飞轮模型如图4所示。所示。 图4 飞轮的转动惯量模型 22 111222 11 22 Jm RJm R、 2 11 mR d 2 22 mR d 44 1212 1 () 2 JJJd RR 由于由于 又知又知 可得可得 由上式计算得三个飞轮的转动惯量分别为由上式计算得三个飞轮的转动惯量分别为 2 30 60

11、 120 kg m、 、 （） 结合基础惯量，经组合可得结合基础惯量，经组合可得8种机械惯量，分别为种机械惯量，分别为 2 10 40 70 100 130 160 190 220()kg m、 、 、 、 、 、 、 可对可对 两种机械惯量进行补偿，需要电动机补偿两种机械惯量进行补偿，需要电动机补偿 的惯量分别为的惯量分别为 2 1218 kg m、 （） 2 40 70()kg m、 由模型一可知：由模型一可知： 当当 时，得：时，得： 负号表示电动机的扭转力矩与制动器产生的扭转力矩方向相反。负号表示电动机的扭转力矩与制动器产生的扭转力矩方向相反。 当当 时，得：时，得： 假设制动减速度为

12、常数的前提下，模型一、二等效，说明如下：假设制动减速度为常数的前提下，模型一、二等效，说明如下： 由模型二的以下两式由模型二的以下两式 在假设条件下在假设条件下 可得可得 这与模型一的表达形式一样，运用模型二进行求解的结果与模型一的这与模型一的表达形式一样，运用模型二进行求解的结果与模型一的 结果相同。结果相同。 3.3.问题三的分析与求解问题三的分析与求解 (1) m J IKM J 2 40 m Jkg m 174.8252IA 2 70 m Jkg m262.234 IA 12 m MMJ t 23 MJ t 1223 (1) m J MM J 4.4.问题四的分析与求解问题四的分析与求

13、解 22224 21 1151422572 ()48 ()() 5.2150 10 226060 EJJ 理 11 4 11 4.9292 10 NN iii ii EEMtJ 5.21504.9292 100%100%5.48% 5.2150 EE E E 理 理 系统从制动开始到制动结束，能量的变化量的理论值为系统从制动开始到制动结束，能量的变化量的理论值为 能量的变化量的实际值为能量的变化量的实际值为 则得到能量的相对误差为：则得到能量的相对误差为： 从能量误差这个主要指标来看，这种控制方法是可行的，从能量误差这个主要指标来看，这种控制方法是可行的， 但不是很好。但不是很好。 5.1模型

14、一中的控制方法与评价模型一中的控制方法与评价 5.5.问题五的分析与求解问题五的分析与求解 采用计算机随机模拟的方法。采用计算机随机模拟的方法。 由于随机量的存在，每一次的程序运行由于随机量的存在，每一次的程序运行 结果都会略有不同。经多次运行程序发现，结果都会略有不同。经多次运行程序发现， 得到的能量误差在得到的能量误差在1.5%1.5%到到5%5%之间变动。再从之间变动。再从 转速变化与匀减速的接近程度上看，该控制转速变化与匀减速的接近程度上看，该控制 方法是可行的。方法是可行的。 图6 模型一中转速、扭矩随时间的变化曲线 图5 模型一控制与模拟流程图 5.2模型二中的控制方法与评价模型二

15、中的控制方法与评价 图8 模型二转速、扭矩随时间的变化曲线 模拟过程中选择的随机变模拟过程中选择的随机变 量比例与模型一中相同。得到量比例与模型一中相同。得到 的能量误差在的能量误差在2%2%到到7%7%之间变动，之间变动， 该控制方法是可行的。该控制方法是可行的。 采用计算机随机模拟的方法。采用计算机随机模拟的方法。 图7 模型二控制与模拟流程图 6.16.1模型一的改进与评价模型一的改进与评价 6.6.问题六的分析与求解问题六的分析与求解 图9 模型一改进后转速、扭矩随时间的变化曲线 采用使电流值在最初阶段迅速上升的方法采用使电流值在最初阶段迅速上升的方法, ,尽量减小扭矩逐渐增加尽量减小

16、扭矩逐渐增加 的初始阶段对转速变化的平滑性的影响。的初始阶段对转速变化的平滑性的影响。 结果如图结果如图7 7，电流值上升阶段的时间明显地缩短整个转速变化曲线，电流值上升阶段的时间明显地缩短整个转速变化曲线 更加平滑。更加平滑。 6.26.2模型二的改进与评价模型二的改进与评价 该模型中初值的选择对控制结果有一定程度影响该模型中初值的选择对控制结果有一定程度影响, ,为减小能量为减小能量 误差可采用如下方法。误差可采用如下方法。 0 M 先随意给定初值先随意给定初值 后反向计算后反向计算 ，逐段向前推导，可推出一，逐段向前推导，可推出一 个初值，以该值作为初值可使电动机力矩快速趋于正常。个初值

17、，以该值作为初值可使电动机力矩快速趋于正常。 M 图10 误差与初值的关系图 从图从图8中可以看出，误差的变化范围随初值增大而减小，初中可以看出，误差的变化范围随初值增大而减小，初 值（在一定范围内）较大时，误差波动范围较小，控制比较稳定。值（在一定范围内）较大时，误差波动范围较小，控制比较稳定。 五、模型的评价五、模型的评价 1.1.对模型一的评价对模型一的评价 优点：从物理学角度出发建立的合适的数学模型优点：从物理学角度出发建立的合适的数学模型 ，符合一般的符合一般的 实验情况。实验情况。 缺点：仅适用于恒力矩制动的情况。缺点：仅适用于恒力矩制动的情况。 2.2.对模型二的评价对模型二的评

18、价 优点：基于变力矩补偿惯量的数学模型优点：基于变力矩补偿惯量的数学模型 ，与模型一互补。与模型一互补。 缺点：假定制动器的阻力距是前一段适用于下一段，该假设是提缺点：假定制动器的阻力距是前一段适用于下一段，该假设是提 高模型的精度和模型的推广方面的高模型的精度和模型的推广方面的“瓶颈瓶颈”。 六、模型的进一步改进六、模型的进一步改进 1.1.基于能量基于能量补偿补偿的控制方法的控制方法 提出一种惯量模拟的能量补偿法，通过控制电动机输出功来补偿提出一种惯量模拟的能量补偿法，通过控制电动机输出功来补偿 待模拟的惯量。待模拟的惯量。 2.2.模糊整定模糊整定PIDPID控制算法计算机控制方案控制算法计算机