第三讲 运动学(1)

1、 2)刚体复杂运动的分解与合成刚体复杂运动的分解与合成 仅从几何的角度研究物体的运动规律仅从几何的角度研究物体的运动规律 1)点的合成运动点的合成运动 1）参照物：运动是绝对的，静止是相对的，要指明一个）参照物：运动是绝对的，静止是相对的，要指明一个 物体的位置，只有相对于另一物体才能确定，物体的位置，只有相对于另一物体才能确定， 这另一个物体即为参照物。这另一个物体即为参照物。 1）点）点2）刚体）刚体 2）参照系：建立在参照物上的坐标系称为参照系）参照系：建立在参照物上的坐标系称为参照系 描述物体的运动只有相对于某一参照系而言才有意义描述物体的运动只有相对于某一参照系而言才有意义 点的运动

2、规律点的运动规律-方程、轨迹，速度，加速度等方程、轨迹，速度，加速度等 矢量法，直角坐标法，自然坐标法矢量法，直角坐标法，自然坐标法 1、矢量法、矢量法 运动方程运动方程 轨迹轨迹 速度速度 加速度加速度 )(trr dt rd tvv )( 2 2 )( dt rd dt vd taa 矢端曲线矢端曲线 适用范围：理论推导适用范围：理论推导 M O r v a 2、直角坐标法、直角坐标法 运动方程运动方程 轨迹轨迹 速度速度 加速度加速度 )(txx kvjvivv zyx 消去参数消去参数t所得的方程所所得的方程所 代表的曲线代表的曲线 适用范围：实际计算适用范围：实际计算 )(tyy )

3、(tzz dt dx v x dt dy v y dt dz vz kajaiaa zyx 2 2 dt xd dt dv a x x 2 2 dt yd a y 2 2 dt zd az M y x z y x z 3、自然坐标法、自然坐标法 运动方程运动方程 轨迹轨迹 速度速度 加速度加速度 )(tfs dt ds tvv )( 已知曲线已知曲线 适用范围：轨迹已知的情况适用范围：轨迹已知的情况 banaaa bn 2 2 dt sd a 2 v an 0 b a O S M n b (+) 1、已知速度、加速度，求轨迹、已知速度、加速度，求轨迹-积分法积分法 2、已知运动方程，求速度、加

4、速度、已知运动方程，求速度、加速度-微分法微分法 运动轨迹运动轨迹 例题例题1 杆杆AB绕绕A点转动时，拔动套在固定园环上的小环点转动时，拔动套在固定园环上的小环M，如，如 图所示，已知，固定园环的半径为图所示，已知，固定园环的半径为R，j j=kt(k为常量）。为常量）。 试求试求M点的运动方程，速度和加速度。点的运动方程，速度和加速度。 x y M R O A B j j 2j j 解：方法一解：方法一-直角坐标法直角坐标法 j jj j2sin290cos 0 RRx x y M R O A B j j 2j j 1、如图建立坐标系，则时刻、如图建立坐标系，则时刻t,M点点 j jj j

5、2cos290sin 0 RRy -运动方程运动方程 2、速度、速度 ktRk dt dx v x 2cos ktRk dt dy v y 2sin kt v v iv x 2cos),cos( j j2),( iv 3、加速度、加速度 ktRk dt xd ax2sin4 2 2 2 ktRk dt yd a y 2cos4 2 2 2 rRka 2 4 -指向圆心指向圆心 方法二方法二-自然坐标法自然坐标法 x y M R O A B j j 2j j 1、如图建立片段坐标系，则、如图建立片段坐标系，则 时刻时刻t,M点的运动方程为点的运动方程为 O (+)j j2 Rs 2、速度、速度

6、Rk dt ds v2 3、加速度、加速度0 2 2 dt sd a 2 2 4Rk v an rRknaa n 2 4 -指向圆心，指向圆心，M点作圆周运动点作圆周运动 A B rAB x y rAB A B 刚体在运动中，其体内任意直线始终保持方向不变刚体在运动中，其体内任意直线始终保持方向不变。 即：即：任意直线始终与初始位置平行。任意直线始终与初始位置平行。 -刚体作平行移动刚体作平行移动 A B rAB x y O rAB A B rA rB 任选刚体上的两点任选刚体上的两点A、B，线段，线段AB在空间的位置确定，刚在空间的位置确定，刚 体的位置即被确定体的位置即被确定 取取O为参考

7、点：则为参考点：则t时刻时刻 ABAB rrr -任意时刻成立！任意时刻成立！ rA rB ABAB rrr t时刻时刻 A B rAB x y O rAB A B rA rB rA rB 1、AB在运动过程中永远平行，在运动过程中永远平行， AB r是常矢量是常矢量 A、B的轨迹相同，在运动过程中扫出相同的轨迹曲线的轨迹相同，在运动过程中扫出相同的轨迹曲线 2、任意时刻、任意时刻t ABAB rrr AB vv AB aa 结论：结论：刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同，同一瞬时各刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同，同一瞬时各 点的速度、加速度亦相等。点的速度、加速度亦相等。 研究刚体的平动

8、时，只要知道其中一点的运动情况研究刚体的平动时，只要知道其中一点的运动情况 即可。即可。 刚体平动，可以归结为刚体上任意一点的运动。刚体平动，可以归结为刚体上任意一点的运动。 A B rAB x y O rAB A B rA rB rA rB 刚体在运动过程中，其体内或其扩展部分有一条直刚体在运动过程中，其体内或其扩展部分有一条直 线固定不动，则这种运动称为刚体绕定轴的转动，线固定不动，则这种运动称为刚体绕定轴的转动， 简称定轴转动或转动简称定轴转动或转动。 例如：飞轮，电机转子，齿轮，门转动等。例如：飞轮，电机转子，齿轮，门转动等。 2、共同特征：、共同特征： 不动的直线称为不动的直线称为转

9、轴或轴线转轴或轴线。 1、定义：、定义： 刚体内除了转轴上的点不动外，其它各点都在垂直于刚体内除了转轴上的点不动外，其它各点都在垂直于 转轴的一些平面内作圆周运动，圆心就在转轴上。转轴的一些平面内作圆周运动，圆心就在转轴上。 根据这一特征，转轴可以在刚体外的延伸部分！根据这一特征，转轴可以在刚体外的延伸部分！ 1、运动方程、运动方程)(tf j j 2、转动角速度、转动角速度 dt dj j 3、转动角加速度、转动角加速度a a dt d a a -代表运动状态变化快慢代表运动状态变化快慢 大小：描述转动的快慢大小：描述转动的快慢 正负：转动的方向正负：转动的方向 单位：单位：rad /s -

10、标志刚体转动的量标志刚体转动的量 a a 与与同号，加速转动同号，加速转动 a a与与反号，减速转动反号，减速转动 a a 正负不代表转动方向正负不代表转动方向 a a 刚体内除了转轴上的点不动外，其它各点都在垂直于刚体内除了转轴上的点不动外，其它各点都在垂直于 转轴的一些平面内作圆周运动，圆心就在转轴上。转轴的一些平面内作圆周运动，圆心就在转轴上。 2、点的运动方程、点的运动方程 M （+） j j S 建立如图示坐标系，建立如图示坐标系， 则运动方程为：则运动方程为： )(trfrs j j r M0 1、运动轨迹、运动轨迹 2、点的运动速度、点的运动速度 r dt ds v v的方向的方

11、向: v大小：大小： 、点的运动加速度、点的运动加速度 a a r dt dv a 2 2 r r v an 顺着顺着转向的切向方向转向的切向方向 与与r成正比，即沿半径线线性分布成正比，即沿半径线线性分布 M （+） j j Sr M0 v M （+） j j Sr M0 ae n ae naa dt vd a n 1、角速度矢量、角速度矢量 三要素：三要素： 大小大小 转向转向 转轴的位置转轴的位置 右手螺旋法则确定方向右手螺旋法则确定方向 规定角速度矢量规定角速度矢量 大小大小 方向由方向由的转向按右手螺旋法则来确定的转向按右手螺旋法则来确定 画在转轴上画在转轴上 dt dj j 特征：

12、特征： 的起点不是固定的，但应画在转轴上的起点不是固定的，但应画在转轴上-滑移矢量滑移矢量 z O 刚体转轴的位置，角速度的大小及转向完全由角速度矢量刚体转轴的位置，角速度的大小及转向完全由角速度矢量 决定决定 2、角加速度矢量、角加速度矢量a a dt d a a 若用单位矢量若用单位矢量 kk 则 kk dt d dt d a a a a 加速转动，加速转动， 减速转动，减速转动， a a同向同向 a a反向反向 r 如图示，点如图示，点M在刚体上在刚体上,刚体以刚体以 角速度角速度绕绕OZ轴转动轴转动 作作M点的位置矢量点的位置矢量 ，角速度，角速度 矢量矢量 及其夹角及其夹角 ，如图示

13、，如图示 r 1）大小：）大小： sinrRv 2）方向：）方向： 垂直于垂直于OO1及及OM所确定的平面，指向由所确定的平面，指向由转转 向确定向确定 1、速度矢量、速度矢量 rv a2、加速度矢量、加速度矢量 vr dt rd dt vd a a a )( v R O1 z O M v 例题例题1 双曲柄四杆机构中，双曲柄四杆机构中，O1 A=O2 B=15cm,且且O1 AO2 B， 曲柄曲柄O1 A以转速以转速n=320r/min匀速匀速转动，求连杆转动，求连杆AB中点中点 C的速度和加速度。的速度和加速度。 AC O1 O2 B 解：运动分析解：运动分析 O1 A杆转动，带动杆转动，

14、带动O2 B杆转动，在整个运动过程中，杆转动，在整个运动过程中， AB始终保持水平位置，即始终保持水平位置，即AB作平动作平动 AC vv AC aa )/(02. 5 30 320 5 . 0smOAvv AC 0 a a raA )/(27.168 30 320 15. 0 2 2 22 2 1 smAOa n A )/(27.168 2 smaC 方向如图所示方向如图所示! O1 O2 BAC 方向如图所示方向如图所示! vC aC 例题例题2 图示机构中齿轮图示机构中齿轮1紧固在杆紧固在杆AC上，上，AB=O1O2，齿轮，齿轮1和和 半径为半径为r2的齿轮的齿轮2啮合，齿轮啮合，齿轮2

15、可绕可绕O2轴转动且和曲柄轴转动且和曲柄O2B没有联没有联 系。设系。设O1A=O2B=l，j j=bsin o o t,试确定试确定t=/2/2o o时，轮时，轮2的角速度的角速度 和加速度。和加速度。 O1 O2 j j BA 2 1 C 解：运动分析解：运动分析 O1 A杆定轴转动，带动杆定轴转动，带动O2 B杆定轴转动，在整个运动杆定轴转动，在整个运动 过程中，过程中， O1 A杆与杆与O2 B杆始终保持平行，即杆始终保持平行，即ACB作平作平 动，动，轮轮1平动，轮平动，轮2定轴转动。定轴转动。 DCBA vvvv DCBA aaaa tb dt d oo j j cos 方向如图所

16、示方向如图所示! O1 O2 j j BA 2 1 C vAaA aA n tb dt d oo j j a asin 2 2 2 1、设轮、设轮2与轮与轮1接触点接触点D，则，则 vD 2、轮、轮2上上D点：点： tbrrvv ooCD cos 11 tb r r r v oo D cos 2 1 2 2 tbrra ooD a a sin 2 11 tb r r r a oo D a a sin 2 2 1 2 2 O2 B 2 1 C D aD M 例题例题 坐在车上的人看到车轮上点的运动和地面上的人看车坐在车上的人看到车轮上点的运动和地面上的人看车 轮上点的运动轮上点的运动 1、静系：

17、、静系：工程上习惯将固连在地面上或相对地球静止的工程上习惯将固连在地面上或相对地球静止的 物体上的坐标系称为固定坐标系，简称静系物体上的坐标系称为固定坐标系，简称静系 2、动系：、动系：建立在相对于静系运动的其他物体上的坐标系，建立在相对于静系运动的其他物体上的坐标系， 称为动坐标系，简称动系称为动坐标系，简称动系 M1 M M 绝对运动：绝对运动： 动点动点M相对于静系的运动相对于静系的运动 相对运动：相对运动： 动系暂时不动时，动点动系暂时不动时，动点M 相对于动系的运动相对于动系的运动 牵连运动：牵连运动： 动系相对于静系的运动动系相对于静系的运动-刚体的运动刚体的运动(动点相对动系暂时

18、动点相对动系暂时 不动时随同动系一起运动不动时随同动系一起运动) 绝对运动绝对运动相对运动相对运动牵连运动牵连运动 =+ =+ MMMM1M1M 动点参与三种动点参与三种 运动运动! O A B CD v O O1 B A M 习作习作 分析下列各图的动点、动系及动点参与的三种运动。分析下列各图的动点、动系及动点参与的三种运动。 B O A D C j j O A B CD v 相对运动：相对运动： 牵连运动：牵连运动： 点点B相对于摆杆相对于摆杆OA作直线运动作直线运动 摆杆摆杆OA作摆动（定轴转动）作摆动（定轴转动） 点点B作水平直线运动作水平直线运动绝对运动：绝对运动： 解：解：1、动点

19、：、动点： 2、动系：、动系： BCD杆上的杆上的B点点 固连在固连在OA摆杆上摆杆上 3、分析、分析B点的三种运动点的三种运动 相对运动：相对运动： 牵连运动：牵连运动： 点点A相对于摆杆相对于摆杆OB作直线运动作直线运动 摆杆摆杆O B作摆动（定轴转动）作摆动（定轴转动） 点点A与与CD杆一起上下直线运动杆一起上下直线运动绝对运动：绝对运动： 解：解：1、动点：、动点： 2、动系：、动系： 套筒套筒A（固定在（固定在CD杆上）杆上） 固连在摆杆固连在摆杆OB上上 3、分析、分析A点的三种运动点的三种运动 O A D C j j B 相对运动：相对运动： 牵连运动：牵连运动： 点点M相对于摆

20、杆相对于摆杆OA作直线运动作直线运动 摆杆摆杆OA作摆动（定轴转动）作摆动（定轴转动） 点点M作以作以O1为圆心的圆周运动为圆心的圆周运动 绝对运动：绝对运动： 解：解：1、动点：、动点： 2、动系：、动系： 小圆环小圆环M 固连在固连在OA杆上杆上 3、分析、分析M点的三种运动点的三种运动 O O1 B A M 绝对运动速度：绝对运动速度：动点动点M相对于静系运动的速度相对于静系运动的速度 相对运动速度：相对运动速度：动点动点M相对于动系运动的速度相对于动系运动的速度 牵连运动速度：牵连运动速度：动系相对于静系运动（刚体的运动）的速度动系相对于静系运动（刚体的运动）的速度？ ？ 动点由于动系

21、的牵连而随同动系一起运动的速度动点由于动系的牵连而随同动系一起运动的速度 动点没有相对运动时动系相应的点的速度动点没有相对运动时动系相应的点的速度 动点暂时停留在动系上，动系上相应点（重合点）动点暂时停留在动系上，动系上相应点（重合点） 的速度。的速度。 动系上与动点重合的点在该瞬时的速度动系上与动点重合的点在该瞬时的速度 动点参与的牵连运动的速度动点参与的牵连运动的速度 va ve vr 动点所参与三种动点所参与三种 运动的速度运动的速度! A O O1 A O O1 vA1vA2 不同的瞬时，重合的点不一样，刚体上该点的速度的不同的瞬时，重合的点不一样，刚体上该点的速度的 大小方向均不一样

22、。大小方向均不一样。 O x z y M M1 M 绝对运动绝对运动 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 zy x 相对运动：相对运动： 牵连运动：牵连运动： 点点M相对于动系沿相对于动系沿AB曲线运动曲线运动 AB曲线在空中的运动形式曲线在空中的运动形式 点点M相对于静系的运动相对于静系的运动绝对运动：绝对运动： 1、动点：、动点： 2、动系：、动系： M 固连在曲线固连在曲线AB上上 动点动点M在动系中在动系中 沿沿AB曲线运动。曲线运动。 MM MM1 M1M 3、分析、分析M点的三种运动点的三种运动 A B x y z A B =+ MMMMMM 11 rea vvv -速度合成定理速

23、度合成定理 两边对两边对t求导求导 O x z y M M1 M 绝对运动绝对运动 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 zy x A B x y z A B MMMM1M1M rea vvv 速度合成定理速度合成定理: 任意时刻，动点的绝对速度等于牵连速度和相任意时刻，动点的绝对速度等于牵连速度和相 对速度的矢量和对速度的矢量和 1、动点一般是机构的连接点，运动传递的点；、动点一般是机构的连接点，运动传递的点； 2、动点在某一物体上是相对固定的点；、动点在某一物体上是相对固定的点； 3、动点、动系不在一个物体上；、动点、动系不在一个物体上； 4、动点动系的选择应使相对运动的轨迹简单、明了；、动

24、点动系的选择应使相对运动的轨迹简单、明了； 5、一个系统中可以不只一个动点，也可以不只一个动系；、一个系统中可以不只一个动点，也可以不只一个动系； 例题例题1 正弦机构如图所示，曲柄长正弦机构如图所示，曲柄长0A=r，以匀转速，以匀转速n绕绕 轴轴O转动，导槽转动，导槽BC与齿条与齿条EF相互垂直且固连在一起相互垂直且固连在一起 形成形成T型杆件，齿条型杆件，齿条EF可沿铅垂导轨上下平动，试可沿铅垂导轨上下平动，试 求曲柄与铅垂线成求曲柄与铅垂线成a角时，角时，EF的速度。的速度。 BC F E a A O 例题例题1 正弦机构如图所示，曲柄长正弦机构如图所示，曲柄长0A=r，以匀转速，以匀转速n绕绕 轴轴O转动，导槽转动，导槽BC与齿条与齿条EF相互垂直且固连在一起相互垂直且固连在一起 形成形成T型杆件，齿条型杆件，齿条EF可沿铅垂导轨上下平动，试可沿铅垂导轨上下平动，试 求曲柄与铅垂线成求曲柄与铅垂线成a角时，角时，EF的速度。的速度。 BC F E a A O 相对运动：相对运动： 牵连运动：牵连运动： 点点A相对于相对于T型杆沿型杆沿BC作直线运动作直线运动 T型杆作铅垂方向平动型杆作铅垂方向平动 点点A作以作