第4章平行四边形 4.1多边形

1、4.1 4.1 多边形多边形 第第4 4章章 平行四边形平行四边形 1 课堂讲解课堂讲解 多边形及其内角和多边形及其内角和 多边形的外角和多边形的外角和 多边形内角和与外角和的关系多边形内角和与外角和的关系 2 课时流程课时流程 逐点逐点 导讲练导讲练 课堂课堂 小结小结 作业作业 提升提升 能用全等的任意四边形纸片既不重叠、又不留空能用全等的任意四边形纸片既不重叠、又不留空 隙地组成一幅镶嵌图吗？为什么？隙地组成一幅镶嵌图吗？为什么？ 1知识点知识点多边形及其内角和多边形及其内角和 知知1 1导导 （来自（来自教材教材） 如图如图4-1，在同一平面内，在同一平面内， 由任意两条都不在同一条直

2、由任意两条都不在同一条直 线上的若干条线段线上的若干条线段(线段的条线段的条 数不小于数不小于3)首尾顺次相接形首尾顺次相接形 成的图形叫做成的图形叫做多边形多边形(polygon). 组成多边形的各条线段叫做多边形的组成多边形的各条线段叫做多边形的边边. 边数为边数为3的多边形叫三角形，边数为的多边形叫三角形，边数为4的多边形叫四边的多边形叫四边 形形.类似地，边数为类似地，边数为5的多边形叫五边形的多边形叫五边形边数为边数为n的多边的多边 形叫形叫n边形边形(n为正整数，且为正整数，且n3). 图图4-1 知知1 1导导 如图如图4-1，多边形相邻两边组成的角叫做多边形，多边形相邻两边组成

3、的角叫做多边形 的的内角内角，多边形一边的延长线与相邻的另一边所组，多边形一边的延长线与相邻的另一边所组 成的角叫做多边形的成的角叫做多边形的外角外角.多边形每一个内角的顶点多边形每一个内角的顶点 叫做多边形的叫做多边形的顶点顶点.连结多边形不相邻两个顶点的线连结多边形不相邻两个顶点的线 段叫做多边形的段叫做多边形的对角线对角线. 说出如图说出如图4-2所示的四所示的四 边形边形ABCD的各条边和各个的各条边和各个 内角，并画出各条对角线内角，并画出各条对角线 和任意一个外角和任意一个外角. （来自（来自教材教材） 图图4-2 知知1 1导导 问题问题1：合作学习：合作学习 在纸上任意画一个四

4、边形，剪下它的四个角，把它在纸上任意画一个四边形，剪下它的四个角，把它 们拼在一起们拼在一起(四个角的顶点重合四个角的顶点重合).你发现了什么？其他同你发现了什么？其他同 学与你的发现相同吗？你能把你的发现概括成一个命题学与你的发现相同吗？你能把你的发现概括成一个命题 吗？你能证明这个命题吗？吗？你能证明这个命题吗？ （来自（来自教材教材） 知知1 1导导 四边形有以下的定理：四边形有以下的定理： 四边形的内角和等于四边形的内角和等于360. 已知：四边形已知：四边形ABCD. 求证：求证：ABCD360. （来自（来自教材教材） 如图，连结如图，连结BD. AABDADB180， CCBDC

5、DB180， AABDADBCCBD CDB 180180360， 即即AABCCCDA360. 证明：证明： 知知1 1导导 问题问题2：合作学习：合作学习 填写下表填写下表: 知知1 1导导 （来自（来自教材教材） 你从表中得到了什么结论？你从表中得到了什么结论？ 对于对于n边形，从某一个顶点出发的边形，从某一个顶点出发的(n3)条对角条对角 线把线把n边形划分成边形划分成(n2)个三角形，所以个三角形，所以n边形的内角边形的内角 和就等于这和就等于这(n2)个三角形的所有内角之和个三角形的所有内角之和.于是就于是就 有下面的定理：有下面的定理： n边形的内角和为边形的内角和为(n2)18

6、0(n3). 归归 纳纳 知知1 1导导 （来自（来自教材教材） 知知1 1讲讲 例例1 如图，四边形风筝的四个内角 如图，四边形风筝的四个内角A，B，C，D 的度数之比为的度数之比为1:1:0.6:1. 求它的四个内角的度数求它的四个内角的度数. 解：解： （来自（来自教材教材） ABCD 360 (四边形的内角和等于四边形的内角和等于360)， 又又 A，B，C，D的度数的度数 之比为之比为 1:1:0.6:1， 设设Ax度，则有度，则有xx0.6xx360， 解得解得 x100. ABD100， C1000.6 60. 解答本题运用了解答本题运用了方程思想方程思想当已知几个量的比当已知几

7、个量的比 时，可以设未知数列出方程，通过解方程即可求解时，可以设未知数列出方程，通过解方程即可求解 总总 结结 知知1 1讲讲 1 在四边形在四边形ABCD中，若中，若A B C1 2 4， 且且D108，则，则AC的度数为的度数为() A108 B180 C144 D216 2在四边形在四边形ABCD中，中，A与与C互补，互补，B80.求求 D的度数的度数. 3已知已知:在四边形在四边形ABCD中，中，AD，BC. 求证：求证：ADBC. 知知1 1练练 （来自（来自教材教材） 知知1 1讲讲 例例2 一个六边形如图 一个六边形如图.已知已知ABDE，BCEF，CDAF. 求求ACE的值的值

8、. 分析：分析： （来自（来自教材教材） 因为两条平行线被一条因为两条平行线被一条 直线所截，有许多等角直线所截，有许多等角 关系，所以我们不妨连关系，所以我们不妨连 结结AD试试看，如图试试看，如图. 不难发现，不难发现，13， 24.由此可得本题由此可得本题 解法解法. 知知1 1讲讲 解：解： （来自（来自教材教材） 如图，连结如图，连结AD. ABDE，CDAF(已知已知)， 13，24. 1234，即即FABCDE. 同理，同理，BE，CF. FABBCCDEEF (62)180720, FABCE 1 720360 . 2 把多边形的内角和的问题转化为四边形内角和、把多边形的内角和

9、的问题转化为四边形内角和、 三角形内角和问题是常用的解题思路三角形内角和问题是常用的解题思路. 总总 结结 知知1 1讲讲 1已知一个多边形的内角和为已知一个多边形的内角和为900，这个多边形是，这个多边形是 几边形？几边形？ 2(中考中考怀化怀化)一个多边形的内角和是一个多边形的内角和是360，这个多，这个多 边形是边形是() A三角形三角形 B四边形四边形 C六边形六边形 D不能确定不能确定 3下列角度中能成为某多边形的内角和的是下列角度中能成为某多边形的内角和的是() A270 B560 C1 800 D1 900 知知1 1练练 （来自（来自教材教材） 2知识点知识点多边形的外角和多边

10、形的外角和 知知2 2导导 （来自（来自教材教材） 由于每一个外角与和它相邻的内角互补，所以由于每一个外角与和它相邻的内角互补，所以 n边形的外角和边形的外角和(每一个顶点只取一个外角每一个顶点只取一个外角)为为 n180(n2)180360. 任何多边形的外角和为任何多边形的外角和为360. 知知2 2讲讲 定理：定理：任何多边形的外角和为任何多边形的外角和为360. 要点精析：要点精析： (1)多边形的外角和与多边形的边数无关，它始终多边形的外角和与多边形的边数无关，它始终 为为 360； (2)若若n边形的每个内角都相等，则每一个外角的度边形的每个内角都相等，则每一个外角的度 数数 为为

11、 (n3) 360 n 知知2 2讲讲 例例3 中考中考孝感孝感已知一个多边形的每个外角等于已知一个多边形的每个外角等于 60，则这个多边形是，则这个多边形是() A五边形五边形 B六边形六边形 C七边形七边形 D八边形八边形 导引：导引：根据多边形外角和等于 根据多边形外角和等于360，可直接求出多边形的，可直接求出多边形的 边数边数 B (1)用多边形外角和定理求外角或求多边形的边数用多边形外角和定理求外角或求多边形的边数 时时， 一般可利用一般可利用方程思想方程思想通过列方程解决，边数通过列方程解决，边数多多 边形每个外角的度数边形每个外角的度数360. (2)由于多边形的外角和等于由于

12、多边形的外角和等于360，因此有些多边，因此有些多边 形形 的内角问题也可以转化为外角问题来解决的内角问题也可以转化为外角问题来解决 总总 结结 知知2 2讲讲 知知2 2练练 1中考中考资阳资阳一个多边形的内角和是外角和的一个多边形的内角和是外角和的3 倍，则这个多边形的边数是倍，则这个多边形的边数是_ 2如果一个多边形的每个外角都等于如果一个多边形的每个外角都等于36，那么它，那么它 是是() A四边形四边形 B六边形六边形 C八边形八边形 D十边形十边形 3知识点知识点多边形内角和与外角和的关系多边形内角和与外角和的关系 知知3 3讲讲 例例4 已知一个正多边形的每个内角与其外角的差为

13、已知一个正多边形的每个内角与其外角的差为90， 求这个多边形的每个内角的度数求这个多边形的每个内角的度数 解析：解析：由于正多边形的每一个外角和每一个内角都相等， 由于正多边形的每一个外角和每一个内角都相等， 从而可建立方程从而可建立方程 知知3 3讲讲 解：解： 设这个正多边形为设这个正多边形为n边形，边形， 则正多边形的每个内角为则正多边形的每个内角为 正多边形的每个外角为正多边形的每个外角为 由题意可列：由题意可列： 故这个正多边形的每个内角度数为：故这个正多边形的每个内角度数为： 2180 , n n 360 , n 2180360 90 ,8 n n nn 解解得得 82180 13

14、5 . 8 因为多边形的外角和是定值，所以有些多边形因为多边形的外角和是定值，所以有些多边形 的问题经常转化为外角的问题来解决的问题经常转化为外角的问题来解决. 多边形的内多边形的内 角和、外角和在应用时注意区分，不要混了角和、外角和在应用时注意区分，不要混了 总总 结结 知知3 3讲讲 知知3 3练练 1已知一个多边形的内角和等于外角和的已知一个多边形的内角和等于外角和的2倍，则这个倍，则这个 多边形的边数是多边形的边数是_ 2(中考中考宿迁宿迁)已知一个多边形的内角和等于它的外角已知一个多边形的内角和等于它的外角 和，则这个多边形的边数为和，则这个多边形的边数为() A3 B4 C5 D6 3若一个多边形的内角和比它的外角和的若一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少倍少180， 则这个多边形的边数是则这个多边形的边数是() A5 B6 C7 D8 多边形的内多边形的内(外外)角和与边数间的