两角和与差的三角函数及倍角公式的综合运用

1、、本讲教学内容两角和与差的三角函数及倍角公式的综合运用、典型例题选讲例1求证：小2明.sin 2分析()已知tan(1 k.1 k注意到)k tan( )(k 1).知条件中的角与欲证等式中的角2 、 2的关系：证:sin 2sjin 2),2)(，因此可用两角和与差的正弦公式变形，再用已知条件代入进行证sin( )sin(tan(tan()tan()tan()()=tan()tan()=sin()sin()k tan()k tan()cos( ) cos( ) sin( ) _)cos( ) cos()sin(评析本题也可以由已知得tan asin a sin b tan bcos a co

2、sbsin a cosb cosa cos a cosb代入右边，得sin b sin( atan( )tan()1 tan()tan() tan()tan() tan()b)tan(1 kcos a cosb) sin( sin()()sin 2sin 23已知sin sin 一,求cos cos 的取值氾围 .4分析 cos cos 难以直接用 sin sin的式子来表达，因此设coscost应满足的等式，从而求出coscos的取值范围.角早 令coscos由已知,sinsin .42+2 :cos22coscos2. 2cossin2sin2 sin sint22 2 cos()t291

3、6,t2. 55 . 55t ,即cos 44例3求函数f (x) sin xcos2316 2cos( ).55 . 551 cos( )1,9, 16t2 i55 0, . l 16jcosx 3sinx cosx 的值域分析f(x)的解析式中既有sin x ,又有cosx ,若由sin2x cos2x1将cosx表示成2-1 sin x或将sin x表示成 & cos2 x,都会出现根式,且需要讨论符号,因此这种做法不可取.注意到(sin x cosx)2 1 2sin x cosx ,因此可作代换：sinx cosx t,则sin x cosx和sin x cosx都可以用t表示，f(

4、x)就可以变形为t的二次函数,再由二次函数在闭区间上的值域就可以求得f(x)的值域.解令t sin x cosx,则 t2 12sinx cosx,sinx cosx1 t22f(x)sinx cosx3sin x cosx1 t23 22t232(t)2sin x cosx2 (sinx cos4cosx sin) 42sin(x ). t-2, - 2.1 ，、一,f (x) max3f(x)的值域为32325.一;32亚f(x)min 1 内23.评析相应于sinxcosx 2 sin(x-),还有更一般的情况:4,2, 2 ,.asin x bcosx -,a b (sin xabco

5、s , sin .a2 b2.a2b2如 3sin x 4 cosx 5(sin x 35acosxa2 b2,贝u asin xcosxf), 5/a),并由此可求出asinx,2, 2 , zbcosx , a b sin(x3 . cos ,sin54,则53sinx 4cosx 5sin(x3sin x 4cosx 例4 已知sin5,5.sinsin角单由已知,sinsin2+2:cossin2cos2sin sin2 2 cos()1, cos( )0,cossin，cos . sin21 .2coscos评析仅由cos( )2 ,不能确定角单位圆中的余弦线可以看出，可以设bcos

6、x 的取值范围，若 x r,则cos 0,且、 均为钝角，求角 的值.2. 222cos cos cos sin cos2,42 ,.3的值,还必须找出角的范围，才能判断的值.由2,使 cos():的角为二-或 j;若 233r,则2 2k 或 3例5已知tan tan分析因cos( )8sin sin coscos9cos( )的值.的值.由已知，的值，即可求得分析由出丁可以求出的三角函数，因此需要把欲求值的式子变形为关于的三角函数的42k (k z).38 19 ,tan 2-, 求 cos( )的值.cos cos sin sin ,所以只要求出 cos cos 和 sin sin, 所

7、以如能由 tan求出 cos( ) cos cos sin sin2解tan21cos()cos22sin221 tan221 ( -)223,22sin2-1 tan2y25cos222coscos sinsin3.5tan8tan 一，9,sinsin8一 cos 9cos ,cos cos8一cos cos9cos27 cos .85sinsin892724.8585cos()cos cos sinsin2785243.8585评析一地，cos(),cos()和 tantancos()cos() tan tancos()cos()35，或写成cos()1 tantan.cos()1 ta

8、ntan例 6 已知 tan -,求 sin2() sin2 sin2 的值.23式子.解 cos(2 2 ) cos2 cos 2 sin 2 sin 2cos(2 2 ) cos2 cos 2 sin 2cos(22sin (sin(sin2(cos(2 2)2sin2sin 2 , sin 2sin 21 rcos(2cos(2)sin 2 sin 21 cos(222 )1) -cos(2cos(2 2)cos(2sin 22 ).2 ).2,、sin ().2sin cos222.2cos sin一222 tan2_1 tan2 22 -31 21 (3)评析2/329) sin 2

9、 sin().525与 sin a sin b1 ，、，cos(a b) cos(a 2b)】类似，有 cos a cosb1-cos(a b) cos(a b).例7已知32一,求 cos 4cos2.2 cos cos的值.分析由例6评析，cos cos1 _cos( 2)cos(）,因此希望把三角函数.2 2一1 cos21 cos21-.2 cos(2-22, cos 21 cos22cos( 2、3 i)cos .4cos2cos 2 cos(=2 cos()cos(),22coscos，.2 coscos = 1 cos(31 cos4-cos() cos( 211).22评析若令

10、a2 ,b 2 ,则由上述解题过程可知，cosacos a cosb 2 sin-a basin22b.cos2cos2 也变形为)cos( )=)()cos()(、，、2，、)cos() cos()cosb 2cos cos22求值：(1) sin63 cos 632y2sin 66 cos84 ;）2方 一类似地有/c、 sin 20 cos50(2)cos80分析(1) 6684150为特殊角,846618 ,因此有661501828415018759 ;502030为特殊角，50207020703023515 ,50703023515 .解（1）sin 63cos63 2.2sin66

11、cos84=,2 (sin 63、.22cos63 ) 22, 2sin(75)cos(75)=、.2sin(63sin1845 )2 -： 2(sin 75 cos92、. 2(sin 75cos75cos75,2sin182 . 2 (sin 75cos75(2)sin 20 cos50sin(35sin75一 . 22一cos75 sin 9cos 75sin9一. 2一cos9sin 75sin9cos9 )cos9 )=.2sin18 .2(sin150sin18). 2sin1502.2cos(3515 ) _ sin 35 cos15cos35sin15 cos35cos15si

12、n35 sin15sin 9 )(cos 75cos9sin 75 sin9 )=sin 915 )cos802-cos 9cos80cos80(sin35 cos35 )(cos15 sin 15)2 sin(35 45 ) ,2sin(1545 )、2sin10 .2sin60cos80sin10sin10-.3.、选择题1.1 cos4等于a.cos2b.cos22.已知（0，2）,(2, )且 sin(a.b.3.已知tan(-,tan( 5a.18b.13184.a.卜列式子中不正确的是1_3cos40 sin 40 cos2022c. sin 2d. sin 2335)33,cos

13、a，则sin的值等于()6513c.1365d.3665则tan（一）等于 （）4c22d.13b.1 tan40 tan51 tan4022c. tan20cot 202csc40d. cot20sin 401 cos405.已知tan则 sin2的值等于a.b.c.d.-6.已知sin且是第三象限角，则叫的值是a.b-3c.、填空题7.求值：sin15 sin30sin 45 sin 60sin 75 =8.已知sin3,cos 5是第象限角.9.已知均为锐角，且tanl,tan 2-,tan 52则10.求值:(tan5cos20cot5 )cos70解答题11 .求值：（1）13.求证

14、：（1）cos9cos 93,求2sin21sin221 sin212.已知tan4cos;9(2)sin 125cos.12(1sin )(1sin )14. (1)已知sincos已知sin(5 cos2 的值.cos2(sin 21,cos 252. /,sin(1tan 1; 222cos).2sin(2).4 sin1cos2 2-cos4 ; 8sin();tan,求tan、1.b2. a3. c4. d、7.68.四9.一10. 2324、11.（1）l-312.-84197答案与提示答案5. d6. a13.略14. (1)32(2)提示1.1 cos4coscos2cos2.

15、4. 1cos4023 .，”sin 40cos(60240、“ 1 tan40)cos20 ,1 tan 40tan(4540)tan 5 , tan20 cot 20sin20cos20cos20+ sin 20sin 402sin20 cos20sin 20 cos20,sin 40 1 cos402cos220tan205, sin 22sin cos2tan1 tan21 21 (2)cos2sin2536. sin -,是第三象限角,53 4、8. sin 22( )0,cos25 59.tan(cos4.5tan 2sin 2cos 22sin2 21 cos2sin cos22

16、sin2(6210.71)-19781651.6512111,- 1,- 1, 58、 、981 (5) 3(q/3.10. (tan5cos20 1 sin5 cot5 )(-cos70 cos52cos5) 2sin 10sin 5 sin 20cos2 5sin25 2sin210sin5 cos5 2sin 10 cos10cos10 sin101 sin1022. cos1011.(1)24cos cos cos9998sin cos cos cos9999(2) sin125 cos12cos6213. (1)(2)(3)=(cos8sin 98sin 95cos22sin22. 25(cossin7sin2- 25cos7 tan257 32529). 2sin2 costan2132.151sin 21sin2(sin、2 cos )sincos 1 , tan11sin 2cos2- 22cossin 22cos (cossin )2 cos2.2sin41 (一cos22)211一cos2 212 ccos 2 = 411cos2