二次函数经典解题技巧精选教学文档

1、龙文教育学科教师辅导讲义3求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：y=ax2+bx + c =2cb 14ac-b=上日/a x +i +,:顶点是(0 （即a、b同万）时，对称轴在 y轴左侧；一 0 （即a、b开2aaa号）时，对称轴在 y轴右侧.(3)c的大小决定抛物线 y =ax2 +bx + c与y轴交点的位置.当x =0时，y=c,：抛物线 y = ax2 + bx + c与y轴有且只有一个交点（0, c）：c = 0 ,抛物线经过原点；c a 0 ,与y轴交于正半轴；c 0 ,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 y轴右侧，则 b 0.a1

2、1 .用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：y = ax2 +bx +c .已知图像上三点或三对 x、 y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：y = a（x h f + k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式（3）交点式：已知图像与 x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y = a（x - x1 jx - x212 .直线与抛物线的交点（1） y轴与抛物线 y=ax2+bx+c得交点为（0, c）.课题二次函数知识点总汇教学目标介绍一些些能加快速度的计算公式教学内容(2)与y轴平行的直线x = h与抛物线y = ax2+bx+c有且只有一个交点(h , ah 2十bh十c).(3

3、)抛物线与x轴的交点二次函数y =ax2 +bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标 x1、x2，是对应一元二次方程 ax2+bx+c = 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 u a0u 抛物线与x轴相交；有一个交点(顶点在 x轴上)u =0 u 抛物线与x轴相切；没有交点 u 0 u 抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3) 一样可能有 0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ,则横坐标是ax2 + bx + c = k的两个实数根.(5)一次函数y = kx + n(k #

4、0)的图像l与二次函数y = ax2+bx十c(a 0 )的图像g的交点，由方程组 y = kx n2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时u l与g有两个交点；方程组只有一组解时 u l与gy = ax +bx+c只有一个交点；方程组无解时 u l与g没有交点.(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y = ax2+bx+c与x轴两交点为 a(x1,0) b(x2,0),由于x1、x2是方程2ax +bx +c =0的两个根，故i b 2 4c bb2 -4ac /-4xix2 j= ttv a j a a a6、点到坐标轴及原点的距离(3)点p(x,y)到原点的距离等于 xx2 +

5、y2点p(x,y)到坐标轴及原点的距离:(1)点p(x,y)到x轴的距离等|y|(2)点p(x,y)到y轴的距离等于|x5、反比例函数中反比例系数的几何意义k八pmon的面积如下图，过反比例函数y = - (k 0)图像上任一点p作x轴、y轴的垂线 pm , pn ,则所得的矩形xill . ks=pm *pn= y * x| = |xy|o- y =一，二 xy = k,s = k。x考点三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)b，即当x = 时,2a24ac - by最值=4ab.如果自变量的取值范围是 x1 mx =x2,那么，首先要看 一

6、一是否在自变量取值范围 x1 mxex2内，若在此范围内，则当2ab4ac b2x=时， y最值 =；右不在此氾围内，则帝要考虑函数在x1 x wx2范围内的2a4a2、函数平移规律(中考试题中，只占 3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间)3、直线斜率:_ y2 - y1x2 - xib为直线在y轴上的截距1, 一般4、直线方程:一般两点斜截距一般直线方程ax+by+c=02,两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式y 2-y iy-yi(x-xi)x 2-x i最最常用，记牢3,点斜4,斜截知道一点与斜率y _ y1.k(x x1)斜截式方程，简

7、称斜截式：y= kx+b(k0)5 ,截距由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：x y =1a b记牢可大幅提高运算速度5、设两条直线分别为，li ： y=kix+bi i2： y = k2x+b211 / 12 ,则有 li i2 uki = k2 且 b1b b2。|kxo - yo + b |kxo - yo +b 、k2 (-i)2、k2 i右 li _ i2 = ki k2 - -i6、点 p (xo, yo)到直线 y=kx+b(即：kx-y+b=0)的距离：d对于点p (xo, yo)到直线滴一般式方程ax+by+c=0滴距离有1,常用记牢|axo by。

8、 c一、.a2 b222、如图，已知二次函数 y =ax -4x+c的图象与坐标轴交于点 a (-1, o)和点b 3 -5).(1)求该二次函数的解析式；(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点p,使得4abp的周长最小.请求出点p的坐标.2解：（1）根据题意，得0=ax（-1） -41）十g2分25=ax02 4m0+c.i a =1 解得尸, 3分c =-5.;二次函数的表达式为 y =x2 _4x _5 .4分(2)令y=0,得二次函数 y=x24x的图象与x轴的另一个交点坐标 c (5, 0) . 5分由于p是对称轴x =2上一点，连结 ab,由于 ab =joa2 +ob2 =0).

9、 (da efg勺边长是 (用含有x的代数式表示)，当x = 2时，点g的位置在; 若 efgw梯形abcdt叠部分面积是v,求当0vx2时，y与x之间的函数关系式；当2vx6时，y与x之间的函数关系式；探求中得到的函数 y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值 .ad 当0x2时， efge梯形abc汕部，所以y=13x2;4分两种情况：i .当2vx 3时，如图1,点e、点f在线段bc上， efgw梯形abcd1叠部分为四边形 efnm,/fnc= / fcn= 30 , ：fn= fc= 62x. ：gn= 3x 6.由于在 rtanmcg, / g= 60 ,.33。所以，此时 y=

10、 13x2- z3_ (3x-6) 27 3 x2 9 3 x-9 3ii .当3x6时，如图2,点e在线段bc上，点f在射线ch上, efg梯形abcd叠部分为 ecp,3 2x83x 93当00 时, 4y随x增大而增大,x = 2 时,y最大当 2vx3 时，: y8当 3x6 时，丁 y = x28：x = 3 时，y 最大=3 .7 3 x2 9 3 x9.3223.39.3x 在x=时,7y最大在x6时，y随x增大而a小,综上所述：当818 r,一时，y最大79%377b图2如图，直线y =-x +6分别与x轴、y轴交于a、b两点；直线y =- x与ab交于点c,与过点a且平行于y

11、轴的直线交于点44d.点e从点a出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动.过点e作x轴的垂线，分别交直线(1)(2)边向右作正方形 pqmn.设正方形pqmn与4acd重叠部分（阴影部分）的面积为 求点c的坐标.s （平方单位）(3)0t0时，直接写出点（4, 9）在正方形pqmn2内部时t的取值范围.【参考公式：二次函数 y=ax2+bx+c图象的顶点坐标为（b 4ac -b2a4a2一）.】解：（i）由题意，得-3x 6,ab、od于p、q两点，以pq为 ，点e的运动时间为t （秒）.45 x.4=3,15ec= 6-x,c (3,15).4(2)根据题意，得 ae=t, oe=8-t.:点q的纵坐标为_5（8-t）,点p的纵坐标为_ t, 44.pq=5 (8-t)- -3 t=10-2t.44当mn在ad上时,1010-2t=t, t=.310.当 0t0 一时，s=t(10-2t),即 s=-2t2+l0t.3s=(10-2t)