函数的单调性知识点和题型归纳

1、第三节i攵的单调性高考明方向1 .理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义 .2 .会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.备考知考情1 .函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点 ， 常见问题有：求单调区问，判断函数的单调性，求参数的 取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等.客 观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用.2 .题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇 命题，则以解答题的形式出现.一、知识梳理名师一号p15一、/汪忠：研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！知识点一函数的单调性1 .单调函数的定义增函数

2、减函数定义一般地，设函数1q的定义域为如果对于定义 域f内某个区间。上的任意两个自变量当/时.都亮foj那么就说函数 ，(外在区间d上是增 函数当3时，都有叱 ;/(%),那么就说函数 c在区间?卜是减 函数2 .单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间d上是增函数或减函数，则称函数f (x) 在这一区间上具有(严格的)单调性，区间d叫做f(x)的 单调区间.一、/汪忠：1、名师一号p16问题探究 问题1关于函数单调性的定义应注意哪些问题？(1)定义中xi, x2具有任意性，不能是规定的特定值.(2)函数的单调区间必须是定义域的子集；(3)定义的两种变式：设任意xb x?e a, b且x10

3、 ? f(x)在a, b上是增函数; (xi x2) f(xi) f(x2)0, 则f(x)在区间d内为增函数；如果f (x)0,则为减(增)函数，为增(减)函数. f x,3 .互为反函数的两个函数有相同的单调性.4 . y = fg(x)是定义在m上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数fg(x)为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反,则其复合函数fg(x)为减函数.简称“同增异减”5 .奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同; 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反.函数单调性的应用名师一号p17 特色专题(1)求某些函数的值域或最值.(2)比较函数值或自

4、变量值的大小.解、证不等式.(4)求参数的取值范围或值.作函数图象.二、例题分析：(一)函数单调性的判断与证明例1. (1)名师一号p16对点自测1判断下列说法是否正确(1)函数f (x) =2x+ 1在(一oo, +oo)上是增函数.()_一 1 ,一 一 一，(2)函数f (x)=-在其止义域上是减函数.()x(3)已知 f (x) =m, g(x) = 2x,贝y=f(x) g(x)在定义域上是增函数.()答案： v x v例1. (2)名师一号p16 高频考点 例1 (1)(2014 北京卷)下列函数中，在区间(0, + 00)上为增函 数的是()a. y =x+1b . y = (x

5、 1)2c. y = 2 x d . y = (x+1)答案：a.例2. (1)名师一号p16 高频考点 例1 (2)ax .、. 一判断函数”)=不在(一1,+oo)上的单调性，并证明.x十1法一：定义法设一1xix2,则 f(xl) f (x2)axiax2xi+ 1 x2+iaxi x2+1 ax2 xi+1xi+1x2+ia xi x2xi + 1x2+i. 一 1vx1vx2, x1-x20, x2-|-10. .当 a0时，f(x1) f(x2)0 ,即 f(x1)f(x2),:函数y = f (x)在(一1, +8)上单调递增.同理当 a0 ,即 f(x1)f (x2),:函数y

6、 = f (x)在(一1, +8)上单调递减.法二：导数法 注意：名师一号p17高频考点例1规律方法1 .判断函数的单调性应先求定义域；2 .用定义法判断（或证明）函数单调性的一般步骤为：取值一作差一变形一判号一定论，其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等;3 .用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视(二)求复合函数、分段函数的单调性区间例1.名师一号p16 高频考点 例2(1) 求函数y=x|1 x|的单调增区问；y = x一 |1 x| 二1, x1, 2x- 1, x0.贝u x3.函数y=log1 ( x24x+3)的定义域为3(8, 1) u(3, +oo).又u

7、 = x2 4x + 3的图象的对称轴为x = 2,且开口向上，u=x2 4x+ 3 在(一0, 1)上是减函数，在(3, +8)上是增函数.而函数y=log1 u在(0 , 十0)上是减函数，3.y=log1 ( x2-4x + 3)的单调递减区间为(3, +oo),3单调递增区间为(8, 1).注意：名师一号p17高频考点例2规律方法求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间.(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x) 的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间.（4

8、）导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间.2例 2. （2）（补充）y log1 x 410gl x22一一、1，一、1答案：增区向：-,；减区间：0-44.2练习:y 1og2 x1og2 x答案：增区间：j2,；减区间：0,j2（三）利用单调性解（证）不等式及比较大小例1. （1）名师一号p17特色专题 典例（1）乙一，1_已知函数 f（x） =1og 2x+-,若 x1c（1,2） , x2 （2 , 十1 x8）,则（）a. f（x1）0, f（x2）0 b . f（x1）0, f（x2）0c. f（x1）0, f（x2）0 d . f（x1）0, f（x2）01 ,【规沱解答】:函

9、数f(x) = log 2x+=x在(1 , +oo)上为增函数，且f(2) =0,当 xi(1,2)时，f(xi)f(2) =0,即 f(xl)0.例1. (2)名师一号p17特色专题 典例(2)2x 4x + 3, xc 0已知函数f(x)=2则不等式-x2-2x + 3, x0,f(a2 4)f(3a)的解集为()a. (2,6) b . (-1,4) c . (1,4) d . (3,5)【规范解答】作出函数f(x)的图象, 如图所示，则函数f(x)在r上是单调递减的.由f(a24)f(3a), 可得 a2 43a,整理得 a2 3a 40, 即(a+1)( a 4)0,解得一1a4,

10、 所以不等式的解集为(一1,4).注意：本例分段函数的单调区间可以并 (四)已知单调性求参数的值或取值范围例1.(1)名师一号p17特色专题 典例(3)a 2 x, x 2已知函数f x 1 x满足对任意的实数1,x 22x1wx2,都有f(x)f(x2) 0成立，则实数a的取值范 x1 x2围为()a. (8, 2) c . (8, 2【规范解答】函数f(x)是r上的减函数,_ _13由此解得a , 8即实数a的取值范围是813.a 20,于是有a-2 x2&12.1,例2.(1)(补充)如果函数f (x) =ax2 + 2x 3在区间(8, 4)上单调递增，则实数a的取值范围是1答案-4,

11、 0解析(1)当a = 0时，f(x)=2x3,在定义域r上单调递增，故在(, 4)上单调递增；(2)当aw。时，二次函数f(x)的对称轴为直线x= 1, a因为f(x)在(一oo, 4)上单调递增，所以a0,且一14, a解得ao,则由 f （x）=o 得 x=y2a,当 xy2a时，f （x）o, f（x）单调增，当一42ax，2a时, f（x）单调减，.f （x）的单调减区间为（一q2a,标），从而4治=2,a= 2.变式：若f(x)=x3 6ax在区间(一2,2)单调递减, 则a的取值范围是？点评f(x)的单调递减区间是(一2,2)和f(x)在(一2, 2)上单调递减是不同的，应加以区

12、 分.本例亦可用x=2是方程f (x)=3x26a=0的 两根解彳导a =2.例2.(3)(补充)若函数f(x) 10g i(x3 ax)- 3, 2)上单调递减，2则实数a的取值范围是()a. 9 ,12 b . 4 , 12c. 4 ,27 d . 9 , 27答案：a温故知新p23第9题2若函数f x logi x ax 3a在区间22, 上单调递减，则实数a的取值范围是计时双基练p217基础7计时双基练p217 基础8、10ax 18、设函数f x 在区间 2, 上是增函数,x 2a那么a的取值范围是答案：1,x10、设函数f x x ax a(2)若a 0且f x在区间1,内单调递减

13、，求a的取值范围.答案：1,(五)抽象函数的单调性例1.(补充)已知f(x)为r上的减函数，那么满足f (i 1l)1 ，解析：因为f(x)为减函数，f(| 1|)f(1),所以|工 xx则|x|0且 awl)x + 3a,xo是r上的减函数，则a的取值范围是()a. (0,1) b . ：, 1) c . (0, 3 d . (0,|333分析：f(x)在r上为减函数，故f (x) =ax(x0)为减函数，可知0a1,又由f (x)在r上为减函数可知，f(x)在x1.解析：.叶(x)在r上单调递减，0a1,1/.- a1.3答案：b练习2:是(一0,)3-a x 4a x 1+ 8)上的增函

14、数，那么a的取值范围是(a. (1 , +8) b . (oo, 3) 3c. 5, 3) d . (1,3)答案d解析解法1：由f(x)在r上是增函数，f(x) 在1 , + )上单增，由对数函数单调性知a1，又由 f(x)在(一8, 1)上单增，；3-a0,a3 ，又由于f(x)在r上是增函数，为了满足单调区间的定义， f(x)在(一8,1上的最大值3-5a要小于等于w乂)在1 , + 8)上的最小值 0,才能保证单调区间的要求，3-5a3 ，由可得1a3.5解法2:令a分别等于3、0、1,即可排除a、b、c, 5故选d.点评f (x)在r上是增函数，a的取值不仅要保证 f”)在(8, 1

15、)上和1 ,+00)上都是增函数，还要保证 x1 1 时，有 f(x1)f(x2).练习3:若函数f (x) = 2x2 ln x在其定义域内的一个子区间(k 1, k+1)内不是单调函数，则实数k的取 值范围是()3a. 1 , +oo) b . 1 ,万)3c. 1,2) d .万，2)答案b解析因为f（x）定义域为（0, +8）, f，（x）=4x 1,由 f，（x）=0,彳# x=1.x21k 1;0, 一 3.解得1wk2，选b.练习4:已知函数y 2x3 3ax2 12x(1)若函数在r上是单调增函数，则a的取值范围是解析：若函数在r上是单调增函数rx|f(x) 0因为y 6x2 6ax 12开口方向向上，2所以 0,即36 a 4 20,即2.2 a 2、. 2时条件成立；(2)已知函数y 2x3 3ax2 12x,若函数的单调递 减区间是1,2 ,则a的