华东师大版九年级数学下册教案：27.4正多边形和圆

1、课题27.4正多物形和圆授课人教 学 目 标知识技能使学生经历正多边形的形成过程，了解正多边形的有关概念， 掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；能应用正多边形的边 角关系迸行有关计算.数学思考使学生丰富对正多边形的认识，通过设计图案，发展学生的形 象思维.问题解决使学生会等分圆周，利用等分圆周的方法构造正多边形，并会 设计图案，发展学生的实践能力和创新精神.情感态度通过等分圆周、构造正多边形等实践活动，使学生在数学学习 活动中获得成功的体脸，建立自信心.教学 耋点理解掌握正多边形的半径、中心角、边心距、边等名称及其求法.教学难点探索正多边形和圆的关系.授课 类型新授课课时教具多媒体教学活动

2、教学 步骤师生活动诙计意图回顾（多媒体演示）问题:1 .切线长定理的内容是什么？请画出一个三角形的内切圆.2 .请画出垂径定理的基本团形，并说明其中的数量关系.3 .什么是正多边形？你对正多边形有多少了解？师生活动：教师引导学生迸行解答，并适时做出补充和讲解.回顾以前学习 过的且对本节课的 学习有基础作用的 知识，为学习新知打 下基础.活动 创设 情境 导入 新课【课堂引入】（课件展示）观看下列美丽的图案，提出问题：创设情境，使学生主 动将圆的知识与正 多边形联系起耒，激 发学生探索的热情， 调动学生学习的积 极性.第9页/共12页图 274一4(1)你能从这些美丽的图案中找出正多边形吗？(2

3、)你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样作出一个正多边 形呢？师生活动：教师引导学生观察、思考，学生讨论、交流，发 表各由见解.教师关注：学生能否从团案中找出正多边形；学生能否 从图案中发现正多边形和圆的关系.【探究新知】问题1：将一个圆分为五等份，依次连结各分点得到一个五边 形，这个五边形一定是正多边形吗？如果是，清你证明这个 结论.师生活动：教师演示作团并提示学生从正多边形的定义入手 证明，引导学生观察、分析，教师指导学生完成证明过程. 教师在学生思考、交流的基础上板书证明过程：实践 探究 交流 新知图 274一5如图 27-4-5, ab = 6c = (j)=l5e=ga, ：.ab=b

4、c=cd = de=ea.bad=cxe=3醺，:，c=nd.同理可证：na=n5=nc=nd=ne, 五边形a3cqe是正五边形.a, b, c, d, e 在。0 上，二.五边形abcqe是圆内接正五边形.教师小结：圆心。到各边的距离都相等，记为， 那么以点。为圆心、为半径的圆就与正五边形的各条 边都相切，它就是正五边形的内切圆.归纳：任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切 圆.这两个国有公共的圆心，称其为正多边形的中心.外 接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正 多边形的边心距.正多边形每一条边所对的外接圆的圆 心角都相等，叫做正多边形的中心角.问题2:如果将圆n等分，依次连

5、结各分点得到一个n 边形，这个n边形一定是正n边形.1 .将结论由特殊推广到一般，符合学生的认知规律,并交给学生一种研究问题的方法.2 .教学中，使学生明确圆 内接正多边形必须满足各 边相等，各角相等，培养 学生严谨的态度和思维批 判性.3 .通过学生探索、归纳，教给学生等分圆周的方法，尤其是尺视作正方形、正六边形.师生活动：学生思考，然后小组内交流、讨论，教师根 据学生的回答迸行总结.教师重点关注：学生能否按照证明国内按正五边形的方 法证明圆内接正n边形.活动. 实践 探究 交流 新知问题3:各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角 相等的圆内接多边形呢？请说明理由.师生活动：学生讨论，思考

6、回答，教师进行总结讲解.教师亶点关注：学生能否利用正多边形的定义进行判断；学生能否由园内接正多边形的各边相等得到弦相等代 弦所刻的弧相等；学生能否举反例说明各角相等的圆内接多边形不一定 是正多边形.【应用新知】活动一：教师演示课件，根据正多边形的中心、半径、 中心角、边心距等概念进行相关计算.教师提出问题：正多边形的中心角怎么计算？ (2)边长a,半径r,边心距有什 么关系？图 27-4-6 师生活动：学生在教师的引导下，结合图形，得到结论: 正n边形的中心角等于360 +n, (1)2+r=r2.活动二：提出问题：如何把一个圆迸行n等分呢？ 师生活动：学生小组内讨论，得到：把中心角n等分，

7、则孤被n等分，即可得到正多边形.教师引导分析：正方形的中心角为90,，说明两条半径互相垂直；正六边形的中心角为60 ,说明两条半径和一边构成 等边三角形.活动二【应用举例】例1如图27-4-7,有一个亭子，它的地基是边心距为2小 的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留根号）.学生在教师的引 导下，将正多边形 的中心、半径、中 心角、边心距等集 中在一个三角形 中研究，可以利用开放训练0 27-4-7勾股定理进行计 算，迸而能够求得体现 应用解：:六边形a8coee是正六边形，二3。=不x36o0 =605 ,而。8 = oc, oplbc, .o8c是等边三角形，lbop= /cop = 3

8、0 , ；.bc=ob, cos30/28 6, 3 5 c. 3 6 d. 6, 32 .如图 274 11,在。中，oa=ab, oclab,交00 于点 c, 那么下列结论错误的是(a)a. _bac=3(t b.ac=bc。歧段。8的长等于f内接正六边形的半径 d.弦ac的长等于圆内接正十二边形的边长0 27-4-11图 27-4-123.如图274 12,在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形 abcoe/的对称中心与原点。宣合，点a在k轴上，点8在反比例 函数.v=1位干第一象限的图象上，则k的值为上也(续表)活动 四： 课堂 总结 反思4.如图27-4-13,巳知正五边形abcd

9、e, af !t cd交 db的延长线于点f,交qe的延长线于点g.(1)写出图中所有的等腰三角形；(2)求证：ng=2nf.团 27-4-13解：(1)、五边形abcd是正五边形，.a8=bc=co= de=ea, 4abe= /bcd= /cde= ndea= /eab = 108 , :dc=bcy /.acdb 是筝腰三角形.vzc= 108 ,z1 = zcbd = 36 . ：af/cd, /. zf=z1= 36 , / abd= aabc- zcbd= 108 36 = 72 , ：.f=zbaf=36a ,.ba尸是等腰三角形， 进而可得 nge4=/g=n2 = 72 ,：

10、, afdg, aaeg 是等腰三角形，极等腰三角形有bcd, _abf, afdg, _aeg.(2)证明：五边形a8coe是正五边形，.c=zcde = 108 , cd=cb,得nl=36，22=108 -36 =72# .又la-cd, ./f=nl=36，枚ng=180 -z2-zf=180 -72 -36 =72, =2zf.师生活动：学生完成达标测评后，教师进行个别提问，并 指导学生解释做题理由和做题方法，使学生在个别思考解 等的基础上，共同交流、形成共识、确定答案.设置达标测评的目的是 使学生加深对所学知识 的理解和运用，在问题 的选择上以基础为主、 疑难点突出，增加开放 型、

11、探究型问题，便学 生思维得到拓展、能力 得以提升.【课堂小结】(1)谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？布置作业：教材尸67习题27.4第1, 2, 3题.巩冏、梳理所学知识.对 学生进行鼓励、进行思 想教育.【知识网络】提纲挈领，重点突出.第9页/共12页（续表）活动 四： 课堂 总结 反思【教学反思】授课流程反思在探究新知的过程中，使学生认识到事物之间是普遍联系 的,是可以相互转化的，并培养和训练学生综合运用知识和 解决实际问题的意识，渗透数形结合的思想和方法.讲授效果反思引导学生注意以下几点：（1）正多边形的相关概念；（2）正多 边形中的相关计算；

12、（3）正多边形的画法.师生互动反思从学生课堂发言和表现来看，学生能够主动参与，亲身体脸 知识的发生和发展过程，学有所获.习题反思好题题号错题题号反思教学过程和 教师表现，进一步提 升操作流程和自身素 质.典案二 导学说计编写人时间月 日学生姓名班级年级班组学习目标1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系；2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形；3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形；4、理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。学习重点 难点重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系。 难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形。第13页/共12页一、情境创谀：观察下

13、列图形，你能说出这些图形的特征吗?提问：1.等边三角形的边、角各有什么性质？2.正方形的边、角各有什么性质？二、探索活动：活动一 观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念概念：叫做正多边形。(注：各边相等与各角相等必须同时成立)提问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？如果一个正多边形有n(n93)条边，就叫正n边形.等边三角形有三条边叫正三角形, 正方形有四条边叫正四边形.活动二用量角器作正多边形，探索正多边形与圆的内在联系1、用量角器将一个圆n (n3)等分，依次连接各等分点所得的n边形是这个圆的 内接正n边形；圆的内接正n边形将圆n等分；2、正多边形的

14、外接圆的圆心叫正多边形的中心。活动三探索正多边形的对称性问题：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，哪些是卦却称图形？ 哪些是中心却称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心有称图形？如果是轴对称图形，画 出它的时称轴；如果是中心对称图形，找出它的劝称中心。问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心?发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆.圆心就是正多边形的中心。 分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分.要将圆五等分，把 等分点顺次连结，可得正五边形.要将圆六等分呢？你知道为什么吗？思考：任何一个正多边形既是轴对称团形，又是中心对称图形吗？跟边教有何关系？结论：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有一条时称轴，每条时称轴都通过正n 边形的; 一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形,又是史 心时称图形。活动四利用直尺与圆规作特殊的正多边形问题：用直尺和圆规作出正方形，正六多边形。思考：如何作正八边形正三角形、正十二边形?拓展1：巳知：如团，五边形abcde内接于oo, ab=bc=cd=de=ea