复合函数的几个性质及其应用

1、复合函数的性质及其应用有关函数的知识是高中数学的重要内容， 也是高考及竞赛的重点、 热点，同时也是难点。由几种初等函数复合而成的函数更因其概念抽象，综合程度较高，解题方法灵活，给教与学带来了一些困难，现行教科书上并未对其作系统介绍，本文拟讨论形如 y=fg(x) 的复合函数的几个性质及其应用。复合函数的定义： 一般地， 若函数 y=f(u) 的定义域为 p， 而函数 u=g(x) 的 定义域为m ,值域为c,并且c包含在p内，那么对于m内的每一个值x 经过中间变量u,相应地得到唯一确定的一个值y,于是y经过中间变量u而成为 x 的函数，记为： y=fg(x) 。这种函数称为复合函数。 (函数

2、u=g(x) 的值不超过函数y=f(u)的定义域是极重要的)。y=f(u)叫做复合函数的外函数， u=g(x)叫做复合函数的内函数。一、定义域 ：复合函数y=fg(x) 的定义域是函数u=g(x) 的定义域中使值属于 y=f(u) 的定义域的部分。例1,设函数f(x)的定义域是0, 4,求函数f( x2)的定义域解：: f(x)的定义域为0, 4.-.0 x24,即-20x&2；f(x2)的定义域为-2, 2二、值域：求复合函数的值域时即要考虑内函数的值域又要兼顾外函数的定义域。例 2 求函数ylog 0.5 (2x x23) 的值域解：: 2x x23 (x 1)24 4又 2x x2 3

3、0. 0 2xx23 4又0.50故二次函数g(x)的图象 开口向上，对称轴属于0, 1g(0)0, g(1)0 (如图)3 2k 0, k .014得：3 2k解得：0&k& g(0) k 1 05g(1) 5k 4 0若y=f(x)具有单调性由复合函数单调性很容易得出以下结论:1、y=f(x)与y=-f(x)的单调性相异；2、若f(x) *0则y=f(x)与y -的单调性相异； f (x)3、若f(x) 0则y=f(x)与y v,t(x)的单调性一致.例5讨论y的单调性1 x2解：y是奇函数1 x2当x0时.在(-oo, 0)与(0, +oo)上具有相同的单调性,1-2 x2 111y x

4、 递增y 2递减 y j1 -2递减 y :递xx11x2增。又 f(0)=0, x0 时，f(x)0, x0 时 f(x)0,x:y /在(-0,+oo)上为增函数2,1 x此题如用单调性的定义判定将会很复杂。四、复合函数y=fg(x)的周期性：由周期函数的定义很容易得出，函数u=g(x)是r上的周期函数时,uc m , f(u)在m上有定义，则fg(x)也是r上的周期函数(fg (x+t) = fg(x)即：内函数为周期函数则复合函数为周期函数。但外函数为周期函数时，复合函数未必是周期函数例y=lg (sinx)在定义域内是周期函数，但 y=sin(lgx)不是周期函数五、复合函数y=fg(x) 的奇偶性：由函数奇偶性定义很容易得到。1、如u=g(x)为奇函数，y=f(u)为奇(偶)函数则复合函数为y=fg(x)奇(偶) 函数 ;2、如u=g(x)为偶函数，y=f(u)有意义，则y=fg(x)必为偶函数。证明 2fg(-x)= fg(x)，丫=的仅)为偶函数。其他情况可仿此证明。函数是一个很大的课题，复合函数是单一函数的整合与拓展，它很好地体现