复变函数试题及答案

1、6、积分sin z|z|g-dz 一、填空题（每小题2分）1、复数122 2i的指数形式是2、函数w = 1将sz上的曲线x 1 2 i95、积分 z 2 dz = y2 1变成sw（w u iv）上 z的曲线是3 .若 1 ez 0 ,则 z = 4、4、根式3n的值之一是（）7、幕级数1 i nzn的收敛半径r=n 0一11 ,8、z 0是函数1的奇点e 1 zz_ _ e9、res z 1 z 110、将点,i,0分别变成0,i, 二、单选题（每小题2分）的分式线性变换w 等于1d是复数其模等于1零的辐角是零z d 1 z izi1、设为任意实数，则1 =（）a无意义bc是复数其实部等于

2、12、下列命题正确的是（）a i 2ibc仅存在一个数z,使得1z3、下列命题正确的是（）a函数f zz在z平面上处处连续b如果f a存在,那么f z在a解析c每一个幕级数在它的收敛圆周上处处收敛d如果v是u的共腕调和函数，则u也是v的共腕调和函数5、6、7、8、9、a 13.a i22卜列函数在za， .1 sin 一 z0的去心邻域内可展成洛朗级数的是卜列积分之值不等于a |z| 1 zdz-321 cos一z0的是（|z| 1 zdz21 ctg_ zlnzclzdz1 z2 2zdzlz 1 cosz函数f z arctanz在z 0处的泰勒展式为（幕级数2n1nj1)2n 11 nz

3、2nz z1)2n 1 n z2n1(|z1)2n n z2n(z1)c:1)n1内的和函数是11 z2i =1,则zcosz ,/c2dz(c a ic 2 ieicosi10、将单位圆z 1共形映射成单位圆外部1的分式线性变换是（a w ei z -a (a1)1 azeia(-(a az1)c wei -a(a 1)ei1)、判断题（每小题2分）1、（）对任何复数z, z22z成立2、（的一个奇点，则a也是fz g z的奇点3、（)方程 z7 z3 120的根全在圆环1 z 2内54、（ ）z= 是函数f z -2的三阶极点1 z5、（）解析函数的零点是孤立的 四、计算题（每小题6分）1

4、、已知 f z x2 axy by2 i(cx2 dxy y2)在 sz上解析，求 a,b,c,d 的值2、计算积分5z2z(zdz12345z 1 . 3、将函数f z j 在z 1的邻域内展成泰勒级数，并指出收敛范围 z 14、计算实积分i= 02dx (x2 1)(x24)5、求 f(z)在指定圆环2内的洛朗展式6、求将上半平面imz 0共形映射成单位圆w1的分式线性变换w l z ,使符合条件l i 0, l i 0五、证明题（每小题7分）1、设（1）函数f （z）在区域d内解析（2）在某一点 z d有 f （z。）0, （n 1,2,）证明：f（z）在d内必为常数n个根2、证明方程e

5、z 5zn 1 0在单位圆z 1内有一填空题（每小题2分,视答题情况可酌情给1分，共20分）5 . i1 4e 63 (2k+1),(k=0,1, 2),-2ki in 24e e(k=0,1,可去，9，10二单选题1 d 2 d(每小题2分，共20分)3 a 4 a 5 b 6 b 7 c 8 d10 a判断题（每小题2分，共10分）四计算题（每小题6分，共36分）61解：u2.22x axy by , v cx12dxy yuxvy 2x ay dx 2yuyvxax 2 by 2cxdy解得：a d 2,b2解：被积函数在圆周的2内部只有一阶极点z=0及二阶极点z=1res f (z)z

6、 05z 2(z 1)2res f (z)z 15z 25z 2i 2 z(z 1)2dz= 2i(-2+2)=0az 13 解：f z 1 1z 11 2(z 12)4解：被积函数为偶函数在上半z平面有两个一阶极点i,2idx 4)2x22(x2 1)(x21八=2 i resf (z) resf (z)2 z iz 2i(z i)(z24)2z(z21)(z 2i)-15 斛：f (z)(z i)(z i)i i(z i)21 2l z i(v包 n n 0 (z i)6 解： w =l(i)=kl (i)0 k五证明题(每小题.z iiz i7分，共14分)1证明：设k:zor(kd)f

7、 (z)在z0解析由泰勒定理f (z)f (zo)o n!(z zo)n (zd)由题设f(n)(zo)f (z)f(zo) , (zd)由唯一性定理f(z)f (zo)(z d)2 证明：令 f (z) 5zn ,(z) ez 1(1) f z及 z在z 1解析(2) |z 1 上，|fz| |5zn5zez 1ez 1 ez 1 e 1 5故在z 1上f z z ,由儒歇定理在z 1内n(f zz, z 1) n(f z , z 1) n, 1分3分6分2分,3分4分6分2分4分7分2分4分7分一、填空题（每小题2分）21、-cos5isin5 3的指数形式是cos3 isin32、ii=

8、3、若 0r1,则积分 ln 1 z dz zl r4、若v是u的共腕调和函数，那么v的共腕调和函数是 5、设z 0为函数f（z）=z3 sin z3的m阶零点，则m =6、设za为函数f z的n阶极点，那么resz an7、幕级数巳的收敛半径r=n 0 n!u 1 .8、z 0是函数z sin的 奇点z9、方程z7z3 12 0的根全在圆环 内的分式线性变换w10、将点,i,0分别变成0,i, 二、单选题（每小题2分）1、若函数f z在区域d内解析，则函数f z在区域d内（）a在有限个点可导b存在任意阶导数c在无穷多个点可导d存在有限个点不可导2、使z2 |z2成立的复数是（）a不存在 b

9、唯一的 c 纯虚数 d 实数3、cosz2(1z)2dza isin1 bi sin1 c -2 i sin1 d 2 isin14、根式vt的值之一是sin z 用5、z 是的（）a可去奇点 b一阶极点c 一阶零点 d本质奇点6、函数f z0为中心的圆环内的洛朗展式有m个，则m=（）c 3d 4)b x2 xyia 1b 27、下列函数是解析函数的为（.22c.a x y 2xyi2233c 2(x 1)y i(y x 2x) d x iy8、在下列函数中，resf z 0的是()z 011ez 1 zez 1c . sin z cosz -c f z dz9、设 a i , c: z i

10、=1,则 0s4dz（）c2a ia 0b ic 2 ied icosie10、将单位圆|z 1共形映射成单位圆外部|w 1的分式线性变换是（a w ei z -a (a 1) b w ei z -a (a 1) 1 az1 azc w ei -a( a 1) d w ei -a( a 1) z az a三、判断题（每小题2分）1、（）幕级数 zn在z1内一致收敛 n 02、（ ）z=是函数1 cosz的可去奇点 z3、（）在柯西积分公式中，如果a d,即a在d之外，其它条件1fz不变，则积分dz 0, z d2 i c z actg14、（）函数f z e z在z 0的去心邻域内可展成洛朗级

11、数5、（）解析函数的零点是孤立的四、计算题（每小题6分）1、计算积分x y ix2 dz, c: i1 + i 的直线段2、求函数fz2在所有孤立奇点（包括 ）处的留数z 13、将函数fi的去心邻域内展成洛朗级数，并指出收敛域4、计算积分cz2dz2z一,c：12y 1,5、计算实积分(a 1)a cos6、求将单位圆1共形映射成单位圆w 1的分式线性变换w l z使符合条件五、证明题（每小题7分）1、设函数f z在区域d内解析，证明:函数也在d内解析2、证明：在z 0解析，且满足的f2n 112n11f(n 1,22n2n函数f z不存在满分14得分一填空题（每小题2分，视答题情况可酌情给1

12、分，共20分）i19k 2k _ _1 e , 2 e 2（k=0, 土），3 0,4 u , 5 96 n , 7,8 本质,9 1 |z 2 , 101二单选题（每小题2分，共20分）1 b 2 d 3 c 4 d 5 a 6 c 7 c 8 d 9 a 10 a三判断题（每小题2分，共10分）12345四计算题（每小题6分，共36分）1解：c的参数方程为：z=i+t, 0 t 1 dz=dtx y ix2 dz= t 1 it2 dt = 1 -c02 32解：z 1为f z 一阶极点z 1为f z二阶极点res f zz 1res f z 2 z 1 一z1z 1 24resf z 0 z3 解：f z111z i 2i 1 zi2i1. n z i1n 1z i n 0 2i（0z i k于是所求变换五证明题（每小题121121 z k z 212z 2 2z 1z 2 z 27分，共14分）1 证明： 设 f(z)=u (x, y) +iv (x, y)f(z) = u (x, y) -iv (x, y)if(z) = v (x, y) -i u (x, y)f (z)在 d 内解析，ux vy,uy vxif(z)四个偏导数为v x, vy, -u x, -u y.1 分3分5分6分2分4