导数与函数的极值和最值问题

1、导数与函数的极值和最值一函数极值的定义极大值：已知函数y f(x),设xo是定义域内任意一点，如果对xo附近的所有 点x,都有f(x) f(xo) , f (x) 0,而且在x %附近的左侧f (x) 0,右侧 f (x) 0,则称函数f(x)在点xo处取得极大值，并把xo称为函数f(x)的一个极 大值点.极小值：已知函数y f(x),设xo是定义域内任意一点，如果对xo附近的所有 点x,都有f(x) f (xo) , f (x) o,而且在x xo附近的左侧f (x) o,右侧 f (x) o,则称函数f (x)在点xo处取得极小值，并把xo称为函数f(x)的一个极 小值点.注：可导函数的极

2、值点必须是导数为 o的点，但导数为o的点不一定是函数的 极值点.求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域，求出导函数f (x).(2)求方程f (x) o的根.(3)根据极值的定义确定极大值和极小值.例1求函数f(x) -x3 4x 4的极值. 3例2已知函数f (x) 2f(1)ln x x ,则f(x)的极大值为例3函数f(x) (x2 1)3 2的极值点是.x o练习1若函数f(x) x3 ax2 bx a2在x 1处取得极值10,则a 2 b练习 2 已知函数 f (x) ex(sin x cosx),若 f (x) ex(sin x cosx),若 0 x 2011，则f(x)各极大

3、值和为.练习3设函数f (x)-x3 2ax2 3a2x 1,求函数f(x)的极值.3二极值与参数范围问题例1已知函数f(x) 1x3 - x2 cx d有极值，则实数c的取值范围为 .32例2若函数f(x) x2 1lnx 1在其定义域内的一个子区间(a 1,a 1)内存在极2值，则实数a的取值范围为.例3已知函数f(x) x(ln x ax)有两个极值点，则实数a的取值范围为例 1 已知 f (x) ax in x ,x (1,e)且f(x)存在极值，则实数a的取值范围为例2已知f (x) a(ln x x),若函数图像在点(2, f(2)处切线倾斜角为一,且4g(x) x3 x2m f(

4、x)在区间(2,3)上总存在极值，则实数m的取值范围为 219 ，练习3已知函数f(x) -x4 x3 -x2 cx有三个极值点，则实数c的取值范围 42为( 27,5)例4设f(x) x2 aln(x 1)有两个极值点，则实数a的取值范围为 吟)三函数最值(最大值和最小值)如何求函数在a,b上的最值：(1)求函数y f (x)在(a,b)内的极值和端点值f(a),f(b).(2)将函数y f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较，其中最大的 一个是最大值，最小值的一个是最小值.例1已知函数f(x) x3 12x 8在区间3,3上的最大值与最小值分别为 m ,m ,则 m m 32练习1函数f(x) ln x x在区间0,e上的最大值为练习2已知函数f(x) (x2 2x)ex, x 2,)，则f(x)的最小值为四函数最值相关的参数范围的问题例1已知f(x) ax ln x , x 0,e ,当a =时，f(x)最小值为3例2已知函数f(x) (a 3)x ax3在1,1的最小值为3 ,则实数a的取值范围为 3,122练习1若函数f(x) 1x3 x2 2在