构造函数法证明不等式的八种方法

1、导数之构造函数法证明不等式1、移项法构造函数【例1】 已知函数f(x) ln(x 1) x,求证：当x 1时，恒有,11 ln(x 1) xx 11x【解】f (x) 1x 1 x 1当 1 x 0时，f (x) 0,即f(x)在x ( 1,0)上为增函数当x 0时，f (x) 0,即f(x)在x (0,)上为减函数故函数f (x)的单调递增区间为(1,0),单调递减区间(0,)于是函数f(x)在(1,)上的最大值为f(x)max f (0) 0,因此，当x 1时,f(x) f(0) 0,即 ln(x 1) x 0 ln(x 1) x (右面得证)，111x现证左面，令 g(x) ln(x 1

2、) - 1, 则g (x) - -一-2 -消x 1x 1 (x 1)(x 1)当 x ( 1,0)时,g(x) 0;当x (0,)时,g(x) 0 ,即g(x)在x ( 1,0)上为减函数，在 x (0,)上为增函数，故函数g(x)在(1,)上的最小值为g(x)min g(0) 0 ,1当 x 1 时，g(x) g(0) 0,即 ln(x 1)1 0x 111 ln(x 1) 1综上可知，当 x1 时，有一 1 ln(x 1) xx 1x 12、作差法构造函数证明1 2【例2】已知函数f(x) -x lnx.求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数22 3,g(x) - x的图象的下

3、方；【解】设 f(x) g(x) f(x),即 f(x) -x3 -x2 lnx, 32_ 2则 f(x) 2x2 x 1=(x 1)(2x x 1) xx2八(x 1)(2x x 1)当 x 1 时，f (x)=x1-从而f(x)在(1,)上为增函数，f(x) f(1) 1 0 6，当 x 1 时 g(x) f (x) 0,即 f (x) g(x),2 q故在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数g(x) x3的图象的下方。33、换元法构造函数证明1111【例3】证明：对任意的正整数n,不等式in(1 1)2 3都成立.n n n一一人1只需令1 x n【解】令 h(x) x3 x2 ln

4、(x 1),)上恒正,213x 2x x 18所以函数h(x)在(0,)上单调递增,x (0,)时，恒有 h(x) h(0)0,11),则有 ln( 1) n n即 x3 x2ln( x 1) 0, ln( x 1) x2 x31对任意正整数n,取x 1 (0,n4、从条件特征入手构造函数证明【例4】若函数y= f (x)在r上可导且满足不等式 x f (x) f (x)恒成立，且常数a, b满足 ab,求证：.a f (a) b f (b)【解】由已知 x f (x)+ f(x) 0 .构造函数 f(x) xf(x),则f (x) x f (x)+ f (x)0,从而f(x)在r上为增函数。

5、a b ，f(a) f(b)即 a f(a)b f (b)5、构造二阶导数函数证明导数的单调性1 c例.已知函数f (x) ae x2若f(x)在r上为增函数，求a的取值范围；(2)若 a=1,求证:x 0 时,f(x)1+x解：(1)f (x) = aex x , f (x)在r上为增函数，f (x) 0对*611恒成立，即a x e 对x c r恒成立记 g (x) = xc -x,则 g (x) = c-xxc -x=(1-x)e -x, 当 x1 时，g (x)vo,当 xvl 时，g (x)0.知g (x)在(-8,1)上为增函数,在(1,+ oo)上为减函数,1.g(x)在 x=1

6、 时，取得最大值，即 g(x)max=g(1)=1/e,1.a 1/e,即a的取值范围是1/e, +8)、一.1 o(2)记 f(x)=f(x)(1+x)= ex x2 1 x(x 0)2则 f (x)=e x-1-x,令 h(x)= f (x)=e x-1-x,则 h (x)=e x-1当 x0 时，h (x)0, h(x)在(0,+ 8)上为增函数,又 h(x)在 x=0 处连续，h(x)h(0)=0即f (x)0 , f(x)在(0,+ oo)上为增函数，又f(x)在x=0处连续， f(x)f(0)=0,即 f(x)1+x .6.对数法构造函数(选用于哥指数函数不等式)1x1 -1 -例

7、：证明当x 0时,(1 x) x e 2证明 对不等式两边取对数得(i +上)叱+x) 1 x化简为+x)0 (x0)i + x由定理2知在(0,4)上严格单调增加，从而r(o)=o (xo)又由r(x)在0, *8 )上连续.且(外 。得“，在【。0上严小单调增加,所uhc”。) o (1 0).即 2乂- 2(1 4x)ln(l *1)0,2x +x? 20)7.构造形似函数例：证明当b a e,证明ab ba例：已知m n都是正整数，且1 m n,证明：(1 m)n (1 n)m强化训练：1、设 a 0, f (x) x 1 ln2 x 2a ln x求证：当x 1时，恒有x ln2 x

8、 2aln x 12、已知定义在正实数集上的函数f(x) 1 x2 2ax, g(x) 3a21nx b,其中a0，且522b -a 3a in a,求证：f (x) g(x) 2x3、已知函数f(x) 1n(1 x) ，求证：对任意的正数 a、b, 1 x恒有 in a 1nb 1 b. a4、f(x)是定义在(0, +8)上的非负可导函数，且满足 xf (x)f(x)0,对任意正数a、b,若a b,则必有()(a) af (b) bf (a)(b) bf (a) af (b)(c) af (a) f (b)(d) bf (b) 0对定义域内的任意 x恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：

9、对任意的正整数 m, n,不等式4+-恒成立.in (m4) in (m+z) in (irbn) m (nr+n)11.设函数 f (x) =lnx -12丁工一bx,求函数f (x)的单调区间;(i)当 a=(n)令 f (x) =f (x)p (x0, y0)处切线+工nj+bx十且(q 2(x+ x);33x(m)设实数k使得f(x)k(x+)对xc (0,1)恒成立，求k的最大值.bex 114 .设函数 f(x)=a ex inx+ ,曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处切线方程为 y=e(x-1)+2.x(i )求 a,b ;(n)证明：f(x)1.利用导数求函数单调性x x

10、15 .已知函数f(x尸 e - e -2x.(i )讨论f(x)的单调性(n )设 g(x)=f(2x)-4bf(x), 当 x0 时，g(x)0,求 b 的最大值;16 .函数 f(x)=ln(x+1)- ax (a1)讨论 f(x)的单调性冗 ,、 0,-,求证：f(x) w0；虱幻二力+ 6-6e工，其中4e rx a17 .已知函数 f(x)=xcosx-sinx,x/x18、已知函数,(1)讨论工)的单调性；(2)若且(工)在其定义域内为增函数，求正实数&的取值范围;设函数= f 一限4,当厘=2时，若存在内w (0j ,对于任意的覆息【l 2】， 总有之人(七)成立，求实数洞的取值范围.13f =in x-彳+-119、已知函数一 一二 .（i ）求函数g的单调区间；（n）设献m若对任意再巨（拆2）-j 1,2,不等式义工” gg）恒成立，求实数七的取值范围.20、设函数/9 # + 2饰工/（工）表示1y的导函数,（1）求了。）的单调区间（2）若对任意的应用唱121、已知函数1：1尸（瓦）,/（）成立，求实数 明的取值范围 “一嚏，虱幻二，（力+ 6-6瓜工，其中凰e r. （i）讨论xw的单调性；（n）若 自（工）在其定义域内为