134最短路径问题

1、八年级八年级 上册上册 13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题 看图思考：看图思考：为什么有的人会经常践踏草地呢为什么有的人会经常践踏草地呢？ 绿地里本没有路，走的人多了绿地里本没有路，走的人多了 禁止践踏禁止践踏 两点之间，线段最短两点之间，线段最短 将军饮马问题：将军饮马问题： 两点之间线段最短这个问题早在古罗马时代就两点之间线段最短这个问题早在古罗马时代就 有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学 者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他， 向他请教一个百思不得其解的问题：向他请教

2、一个百思不得其解的问题： 将军每天骑马从城堡将军每天骑马从城堡A A出发，到城堡出发，到城堡B B，途中，途中 马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？ 这就是被称为这就是被称为将军饮马将军饮马而广为流传的问题。而广为流传的问题。 P 两点之间线段最短两点之间线段最短. 根据：根据： B A 两点在一条两点在一条直线两侧直线两侧 例例1.1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡如图：古希腊一位将军骑马从城堡A A到城堡到城堡B B，途中，途中 马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？ 最短路线：最短路线：

3、 将军饮马：将军饮马： A -P- B. 例例2.2.如图：一位将军骑马从城堡如图：一位将军骑马从城堡A A到城堡到城堡B B， 途途 中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走 路程最短？路程最短？ A B 河河 两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧( (二二) )一次一次轴对称轴对称： 例例2 2变式：已知：变式：已知：P P、Q Q是是ABCABC的边的边ABAB、 ACAC上的点，你能在上的点，你能在BCBC上确定一点上确定一点R R， 使使PQRPQR的周长最短吗？的周长最短吗？ 两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧 ( (二二) )一次一次轴对

4、称轴对称： 草地草地 河边河边 .驻地驻地A 例例3.3.如图：一位将军骑马从如图：一位将军骑马从驻地驻地A A出发，先牵马去出发，先牵马去草地草地 OMOM吃草，再牵马去吃草，再牵马去河边河边ONON喝水，喝水， 最后回到驻地最后回到驻地A A， 问：这位将军怎样走路程最短？问：这位将军怎样走路程最短？ O M N ( (三三) )二次轴对称二次轴对称：一点一点在两相交直线内部在两相交直线内部 例例3 3变式：已知变式：已知P P是是ABCABC的边的边BCBC上的点，上的点， 你能在你能在ABAB、ACAC上分别确定一点上分别确定一点Q Q和和R R， 使使PQRPQR的周长最短吗？的周长

5、最短吗？ ( (三三) )二次轴对称二次轴对称：一点一点在两相交直线内部在两相交直线内部 例例4 4：如图，如图，A A为马厩，为马厩，B B为帐篷，为帐篷，将军将军某一天要某一天要 从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河 边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的 最短路线。最短路线。 （四）二次轴对称：（四）二次轴对称： 两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部 A B A/ B/ P Q 最短路线：最短路线：A P Q BA P Q B l M N 例例4变式变式：如图，如图，OMCN是矩形的台球桌面

6、，有是矩形的台球桌面，有 黑、白两球分别位于黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，两点的位置上， 试问怎样撞击白球，使白球试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边依次碰撞球台边 OM、ON后，反弹击中黑球？后，反弹击中黑球？ （四）二次轴对称：（四）二次轴对称： 两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部 . , . AOMA BONB 作法:(1)作点 关于的对称点 点 关于的对称点 (2)ABOMCOND连结 和 ，交于 ，交于 。 则点C、D为所求。 . . . . . A A B B C D M O N 例4变式： （四）二次轴对称：（四）二次轴对称： 两点在两相交直线内部两点在两相交直

7、线内部 两点在一条河两侧两点在一条河两侧 例例5.5.如图：古希腊一位将军骑马从城堡如图：古希腊一位将军骑马从城堡A A到城堡到城堡B B，A A和和B B两两 地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.MN.桥建在何桥建在何 处才能使将军从处才能使将军从A A到到B B的路径的路径AMNBAMNB最短？（假定河的两岸最短？（假定河的两岸 是平行的直线，桥要与河垂直）是平行的直线，桥要与河垂直） B A 造造桥选址问题桥选址问题 思维分析思维分析 B A 1、如图假定任选位置造桥、如图假定任选位置造桥 ，连接和，从，连接和，从A到到 B的路径是的路径是AM+

8、MN+BN，那么，那么 怎样确定什么情况下最短呢？怎样确定什么情况下最短呢？ 2、利用线段公理解决问题我们、利用线段公理解决问题我们 遇到了什么障碍呢？遇到了什么障碍呢？ 我们能否在不改变我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把的前提下把 桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？ 思维火花思维火花 各抒己见各抒己见1、把、把A平移到岸边平移到岸边. 2、把、把B平移到岸边平移到岸边. 3、把桥平移到和、把桥平移到和A相连相连. 4、把桥平移到和、把桥平移到和B相连相连. 古有愚公移山，今有学古有愚公移山，今有学 子搬桥，呵呵子搬桥，呵呵! 上述方法

9、都能做到使上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检不变呢？请检 验验. 合作与交流合作与交流 1、2两种方法改变了两种方法改变了. 怎样调整呢？怎样调整呢？ 把把A或或B分别向下或上平移一个桥长分别向下或上平移一个桥长 那么怎样确定桥的位置呢那么怎样确定桥的位置呢? 问题解决问题解决 B A A1 M N 如图，平移如图，平移A A到到A A1 1，使，使A A1 1等等 于河宽，连接于河宽，连接A A1 1交河岸于交河岸于 作桥，此时路径作桥，此时路径 最短最短. . 理由；另任作桥理由；另任作桥 ，连接 ，连接 ， ， ， ， . 由平移性质可知，由平移性质可知， ， ， ， ， .

10、 AM+MN+BN转化为转化为 ，而 ，而 转 转 化为化为 . 在在 中，由线段公理知 中，由线段公理知A1N1+BN1A1B 因此因此 AM+MN+BN 问题延伸问题延伸 如图，如图，A和和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一两地之间有两条河，现要在两条河上各造一 座桥座桥MN和和PQ.桥分别建在何处才能使从桥分别建在何处才能使从A到到B的路径最短？的路径最短？ （假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直） 思维分析思维分析 如图，问题中所走总路径是如图，问题中所走总路径是 AM+MN+NP+PQ+ 桥桥MN和和PQ在中间，且方向不在中间，且

11、方向不 能改变，仍无法直接利用能改变，仍无法直接利用“两两 点之间，线段最短点之间，线段最短”解决问题，解决问题， 只有利用平移变换转移到两侧只有利用平移变换转移到两侧 或同一侧先走桥长或同一侧先走桥长. 平移的方法有三种：两个桥长都平移平移的方法有三种：两个桥长都平移 到到A点处、都平移到点处、都平移到B点处、点处、MN平移平移 到到A点处，点处，PQ平移到平移到B点处点处 思维方法思维方法 沿垂直于第一条河岸方沿垂直于第一条河岸方 向平移点至点，沿向平移点至点，沿 垂直于第二条河岸方向平移垂直于第二条河岸方向平移 点至点，连接点至点，连接A1B1 分别交分别交A、B的对岸于的对岸于N、P 两点，建桥两点，建桥MN和和PQ. 最短路径最短路径 AM+MN+NP+PQ+QB转化为转化为 AA1+A1B1+BB1. （2）把）把A，B在直线同侧的问题转化为在直线同侧的问题转化为 在直线的两侧，化折线为直线，在直线的两侧，化折线为直线， 将军饮马的实质：将军饮马的实质： （3）可利用）可利用“两点之间线段最短两点之间线