中考数学考点讲解：二次函数的图象与性质

1、第12讲二次函数第1课时二次函数的图象与性质知识点1二次函数的概念1关于x的函数y(m1)x2(m1)xm，当m0时，它是二次函数；当m1时，它是一次函数知识点2二次函数的图象与性质2已知h与t的函数关系式为hgt2(g为常数，t为时间)，则函数图象为(A)3抛物线yx2，yx2，yx2的共同性质是：都是开口向上；都以(0，0)为顶点；都以y轴为对称轴；都关于x轴对称其中正确的个数有(B)A1个 B2个 C3个 D4个4如图，抛物线顶点坐标是P(1，3)，则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是(C)Ax3Bx3Cx1Dx15二次函数yx22x3的最小值是4知识点3二次函数图象的平移6抛

2、物线y(x2)23由抛物线yx2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到7将抛物线y2(x1)22向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，那么得到的抛物线的表达式为y2(x2)22知识点4确定二次函数的解析式8已知二次函数的图象如图，则其解析式为(B)Ayx22x3Byx22x3Cyx22x3Dyx22x39若抛物线yax2bxc的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为yx24x3知识点5二次函数与方程、不等式10抛物线yx22xm1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是(A)Am2 Bm2C0m2 Dm211已知二次函数yax2bxc(a0)的图象

3、如图所示，当y0时，x的取值范围是(A)A1x3Bx3Cx1Dx3或x1重难点1二次函数的图象和性质(2017枣庄)已知函数yax22ax1(a是常数，a0)，下列结论正确的是(D)A当a1时，函数图象经过点(1，1)B当a2时，函数图象与x轴没有交点C若a0，函数图象的顶点始终在x轴的下方D若a0，则当x1时，y随x的增大而增大【思路点拨】(1)将a1代入原函数解析式，令x1求出y值，由此得出A选项不符合题意；(2)将a2代入原函数解析式，令y0，根据根的判别式80，可得出当a2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，即B选项不符合题意；(3)利用配方法找出二次函数图象的顶点坐标，令其纵坐标小于

4、零，可得出a的取值范围，由此可得出C选项不符合题意；(4)利用配方法找出二次函数图象的对称轴，结合二次函数的性质，即可得出D选项符合题意【变式训练1】(2016兰州)点P1(1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数yx22xc的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(D)Ay3y2y1 By3y1y2Cy1y2y3 Dy1y2y3【变式训练2】(2017泰安)已知二次函数yax2bxc的y与x的部分对应值如下表：x1013y3131下列结论：抛物线的开口向下；其图象的对称轴为x1；当x1时，函数值y随x的增大而增大；方程ax2bxc0有一个根大于4.其中正确的结论有(B)A1

5、个 B2个 C3个 D4个,解决二次函数图象和性质相关题，首先需明确二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标等与解析式中相关字母的关系，若确定解析式，也可通过将解析式配方，得出函数的对称轴，顶点坐标，函数图象与坐标轴的交点等，从而画出函数大致图象，再利用数形结合思想解题比较抛物线上点的纵坐标大小的基本方法有以下三种：(1)利用抛物线上对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性进行比较；(2)当已知抛物线的解析式及相应点的横坐标时，可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小；(3)利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越小，开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近

6、，点的纵坐标越大”比较大小重难点2同一坐标系中的函数图象共存问题(2016毕节)一次函数yaxc(a0)与二次函数yax2bxc(a0)在同一个坐标系中的图象可能是(D)【变式训练3】函数y与ykx2k(k0)在同一直角坐标系中的图象可能是(B)解决函数图象共存问题主要有以下三种方法：(1)排除法：根据已知条件中得出的结论直接排除某选项，如：本例由已知条件可知两个函数的常数项都是c，说明两个函数图象与y轴交于同一个点，所以排除A选项；(2)同一法：一般可以先假定其中一种函数的图象(如：一次函数，反比例函数)，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的范围，去判断另一个函数图象是否正确如：本例B选项

7、，若一次函数图象正确，则a0，c3b；(3)8a7b2c0；(4)若点A(3，y1)，点B(，y2)、点C(，y3)在该函数图象上，则y1y3y2；(5)若方程a(x1)(x5)3的两根为x1和x2，且x1x2，则x1150，可得20a2c0；(4)抛物线的开口向下，距离对称轴越远，纵坐标越小；(5)方程a(x1)(x5)3的两根x1和x2为直线y3与抛物线ya(x1)(x5)的两个交点的横坐标，这两个交点在抛物线ya(x1)(x5)与x轴两交点的两侧，因此x115x2.【变式训练4】(2017荆门)在平面直角坐标系xOy中，二次函数yax2bxc(a0)的大致图象如图所示，则下列结论正确的是

8、(D)Aa0，b0B1Cabc0；2ab0；ca3，其中正确的有(B)A1个 B2个 C3个 D4个解答二次函数的图象信息问题，通常先抓住抛物线的对称轴和顶点坐标，再依据图象与字母系数之间的关系求解常考的一些式子的判断方法如下：(1)判断2ab与0的关系，需比较对称轴与1的大小；判断2ab与0的关系，需比较对称轴与1的大小；(2)判断abc与0的关系，需看x1时的纵坐标，即比较x1时函数值与0的大小；判断abc与0的关系，需看x1时的纵坐标，即比较x1时函数值与0的大小；(3)判断4a2bc与0的关系，需看x2时的纵坐标，即比较x2时函数值与0的大小；判断4a2bc与0的关系，需看x2时的纵坐

9、标，即比较x2时函数值与0的大小1(人教九上教材P37练习的变式题)(2017长沙)抛物线y2(x3)24的顶点坐标是(A)A(3，4) B(3，4)C(3，4) D(2，4)2(2017连云港)已知抛物线yax2(a0)过A(2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是(C)Ay10y2 By20y1Cy1y20 Dy2y103(2017襄阳)将抛物线y2(x4)21先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为(A)Ay2x21 By2x23Cy2(x8)21 Dy2(x8)234(2017兰州)下表是一组二次函数yx23x5的自变量x与函数值y的对

10、应值：x11.11.21.31.4y10.490.040.591.16那么方程x23x50的一个近似根是(C)A1 B1.1 C1.2 D1.35(2016临沂)二次函数yax2bxc，自变量x与函数y的对应值如下表：x543210y402204下列说法正确的是(D)A抛物线的开口向下B当x3时，y随x的增大而增大C二次函数的最小值是2D抛物线的对称轴是直线x6(2017六盘水)已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，则(B)Ab0，c0Bb0，c0Cb0，c0Db07(2017广州)a0，函数y与yax2a在同一直角坐标系中的大致图象可能是(D)8(易错易混)(2017徐州)若函数yx22

11、xb的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是(A)Ab1C0b1 Dbax2bxc的解集是x414(2017广东改编)在平面直角坐标系中，抛物线yx2axb交x轴于A(1，0)，B(3，0)两点，求抛物线yx2axb的解析式解：因为抛物线yx2axb交x轴于A(1，0)，B(3，0)两点，所以可设抛物线yx2axb的解析式为yk(x1)(x3)，即yk(x24x3)故k1.所以抛物线的解析式为yx24x3.15(2017南京)已知函数yx2(m1)xm(m为常数)(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是(D)A0 B1C2 D1或2(2)求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y(x1)

12、2的图象上；(3)当2m3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围解：(2)yx2(m1)xm(x)2，所以该函数的图象的顶点坐标为.把x代入y(x1)2，得y(1)2.因此，不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y(x1)2的图象上(3)设函数z.当m1时，z有最小值0.当m1时，z随m的增大而增大又当m2时，z；当m3时，z4.因此，当2m3时，该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围是0z4.16(2017绵阳)将二次函数yx2的图象先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的图象与一次函数y2xb的图象有公共点，则实数b的取值范围是(D)Ab8 Bb8Cb8 Db817(2017

13、嘉兴)下列关于函数yx26x10的四个命题：当x0时，y有最小值10；n为任意实数，x3n时的函数值大于x3n时的函数值；若n3，且n是整数，当nxn1时，y的整数值有(2n4)个；若函数图象过点(a，y0)和(b，y01)，其中a0，b0，则a0)与正方形ABCD的边(包括四个顶点)有交点，则m的取值范围是2m8习题解析20(2017武汉)已知关于x的二次函数yax2(a21)xa的图象与x轴的一个交点的坐标为(m，0)若2m3，则a的取值范围是a或3a221(2017济宁)已知函数ymx2(2m5)xm2的图象与x轴有两个公共点(1)求m的取值范围，写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；(2)题(1)中求得的函数记为C1.当nx1时，y的取值范围是1y3n，求n的值；函数C2：y2(xh)2k的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式解：(1)由题意，得解得m，且m0.当m2时，函数解析式为y2x2x.(2