高中数学第1部分第二章2-12-1-4函数的奇偶性课件新人教B版必修

1、2.12.1 函函 数数 2.1.42.1.4 函函 数数 的的 奇奇 偶偶 数数 理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练 第 二 章 函 数 考点一 考点二 考点三 考点四 问题问题1：对于函数：对于函数f(x)x2，f(x)|x|，以，以x代替代替x函数函数 值发生变化吗？其图象有何特征？值发生变化吗？其图象有何特征？ 提示：提示：以以x代替代替x各自的函数值不变，即各自的函数值不变，即f(x)f(x)； 图象关于图象关于y轴对称轴对称 问题问题2：对于函数：对于函数f(x)x3与与f(x) ，以，以x代替代替x函数函数 值发生变化吗？其图像有何特征？值发生变化吗？其图像有何特征？ 提示

2、：提示：以以x代替代替x各自的函数值互为相反数，即各自的函数值互为相反数，即 f(x)f(x)；图象关于原点对称；图象关于原点对称 1奇、偶函数的概念奇、偶函数的概念 xDf(x)f(x) xDg(x)g(x) 偶函数偶函数 2奇、偶函数的图象特征奇、偶函数的图象特征 (1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以 为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函 数的图象是以数的图象是以 为对称中心的中心对称图形，则这为对称中心的中心对称图形，则这 个函数是奇函数个函数是奇函数 (2)如果一个函数是偶函数，则这个

3、函数的图象是以如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以 为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于 对称，则这个函数是偶函数对称，则这个函数是偶函数 坐标原点坐标原点 坐标原点坐标原点 y轴轴 y轴轴 (1)由定义可知，若由定义可知，若x是定义域中的一个数值，则是定义域中的一个数值，则x也一也一 定在定义域中定在定义域中.因此，奇偶函数的定义域一定是关于原点对称因此，奇偶函数的定义域一定是关于原点对称 的的.若不对称，则这个函数必不具有奇偶性，是非奇非偶函数若不对称，则这个函数必不具有奇偶性，是非奇非偶函数. (2)函数的奇偶性是相对

4、于函数的整个定义域来说的，这函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这 一点与函数的单调性不同一点与函数的单调性不同.从这个意义上来讲，函数的单调性从这个意义上来讲，函数的单调性 是函数的是函数的“局部局部”性质，而奇偶性是函数的性质，而奇偶性是函数的“整体整体”性质性质 思路点拨思路点拨先判断定义域是否关于原点对称，然先判断定义域是否关于原点对称，然 后按奇偶性的定义来判断后按奇偶性的定义来判断 一点通一点通判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法 (1)定义法：若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非定义法：若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非 奇非

5、偶函数；若函数的定义域关于原点对称，则应进一步判断奇非偶函数；若函数的定义域关于原点对称，则应进一步判断f (x)是否等于是否等于f(x)，或判断，或判断f(x)f(x)是否等于是否等于0，从而确定，从而确定 奇偶性奇偶性 (2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数； 若函数图象关于若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数轴对称，则函数为偶函数 解析：解析：A、D两项中，函数均为偶函数；两项中，函数均为偶函数；B项中，函数为项中，函数为 非奇非偶正数；非奇非偶正数；C项中，函数为奇函数项中，函数为奇函数 答案：答案：C 2若函数若函数f(

6、x)(x1)(xa)为偶函数，则为偶函数，则a() A2 B1 C1 D2 解析：解析：f(x)(x1)(xa)是偶函数，是偶函数， f(x)(x1)(xa)f(x)恒成立恒成立 x2(a1)xax2(a1)xa恒成立恒成立. a10，即，即a1. 答案：答案：C 例例2如图，给出了偶函数如图，给出了偶函数yf(x)的局的局 部图象，试比较部图象，试比较f(1)与与f(3)的大小的大小 思路点拨思路点拨法一：法一：利用偶函数图象的对称性比较利用偶函数图象的对称性比较 法二：法二：利用利用f(3)f(3)，f(1)f(1)比较比较 精解详析精解详析法一：法一：函数函数f(x)是偶函数，是偶函数，

7、 其图象关于其图象关于y轴对称，如图轴对称，如图 由图象可知由图象可知f(1)f(3) 法二：法二：由图象可知由图象可知f(1)f(3) 又函数又函数yf(x)是偶函数，是偶函数， f(1)f(1)，f(3)f(3) f(1)0时，时，f(x) 2x1，求函数，求函数f(x)的解析式的解析式 思路点拨思路点拨将将x0上求解同时上求解同时 要注意要注意f(x)是定义域为是定义域为R的奇函数的奇函数 一点通一点通解答该类问题的思路：解答该类问题的思路： (1)“求谁设谁求谁设谁”，即求哪个区间的解析式，即求哪个区间的解析式，x就设在哪就设在哪 个区间内个区间内 (2)要利用已知区间的解析式进行计算

8、要利用已知区间的解析式进行计算 (3)利用利用f(x)的奇偶性解出的奇偶性解出f(x) 注意：若函数注意：若函数f(x)的定义域内含的定义域内含0且为奇函数，则必有且为奇函数，则必有 f(0)0，但若为偶函数，则未必有，但若为偶函数，则未必有f(0)0. 6若定义在若定义在R上的偶函数上的偶函数f(x)和奇函数和奇函数g(x)满足满足f(x)g(x) x23x1，则，则f(x)() Ax2 B2x2 C2x22 Dx21 解析：解析：f(x)g(x)x23x1，(1) f(x)g(x)x23x1. f(x)为偶函数，为偶函数，f(x)f(x)； g(x)为奇函数，为奇函数，g(x)g(x) f

9、(x)g(x)x23x1.(2) 联立联立可得可得f(x)x21. 答案：答案：D 7已知已知f(x)是是R上的偶函数，当上的偶函数，当x(0，)时，时，f(x)x2 x1，求，求x(，0)时，时，f(x)的解析式的解析式 解：解：设设x0. f(x)(x)2(x)1. f(x)x2x1. 函数函数f(x)是偶函数，是偶函数，f(x)f(x) f(x)x2x1. 当当x(，0)时，时，f(x)x2x1. 例例4(12分分)设定义在设定义在2,2上的奇函数上的奇函数f(x)在区间在区间 0,2上单调递减，若上单调递减，若f(m)f(m1)0，求实数，求实数m的取值的取值 范围范围 精解详析精解详

10、析由由f(m)f(m1)0，得，得 f(m)f(m1)，即，即f(1m)f(m)(4分分) 又又f(x)在在0,2上为减函数且上为减函数且f(x)在在2,2上为奇函数，上为奇函数， f(x)在在2,2上为减函数上为减函数(8分分) 一点通一点通此类问题的解答思路是：先由函数的奇此类问题的解答思路是：先由函数的奇 偶性将不等式两边都变成只含有偶性将不等式两边都变成只含有“f”的式子，然后根据的式子，然后根据 函数的单调性列出不等式函数的单调性列出不等式(组组)求解求解.列不等式列不等式(组组)时，注时，注 意函数的定义域也是一个限制条件意函数的定义域也是一个限制条件 8已知函数已知函数f(x)在

11、在5,5上是偶函数，上是偶函数，f(x)在在0,5上是单调上是单调 函数，且函数，且f(4)f(2)，则下列不等式一定成立的是，则下列不等式一定成立的是() Af(1)f(3) Bf(2)f(3) Cf(3)f(1) 解析：解析：由由f(x)是偶函数，得是偶函数，得f(4)f(2)f(4)f(1)f(2)f(3)f(5) 而而f(1)f(1)，f(3)f(3)， 故故f(1)f(3)，f(3)f(5)，只有，只有D正确正确 答案：答案：D 答案：答案：A (1)奇偶性与单调性的相关性质奇偶性与单调性的相关性质 若函数若函数f(x)为奇函数，则当为奇函数，则当f(x)在区间在区间a，b上是单调上是单调 函数时，函数时，f(x)在其对称区间在其对称区间b，a上也是单调函数，且上也是单调函数，且 单调性相同单调性相同 若函数若函数f(x)为偶函数，则当为偶函数，则当f(x)在区间在区间a，b上是单调