高数微积分1-2(人大版)

1、2021/3/10讲解：XX1 第一章第一章 函函 数数 1、理解一元函数、反函数、复合函数的定义；、理解一元函数、反函数、复合函数的定义； 2、了解函数的表示和函数的简单性态、了解函数的表示和函数的简单性态有界性有界性 、单调性、奇偶性、周期性；、单调性、奇偶性、周期性； 3、熟悉基本初等函数与初等函数（包含其定义、熟悉基本初等函数与初等函数（包含其定义 区间、简单性态和图形）；区间、简单性态和图形）； 基基 本本 要要 求求 2021/3/10讲解：XX2 一、基本概念一、基本概念 1.1.集合集合: :具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的全体全体. 组成集合的事物称为该集合的

2、组成集合的事物称为该集合的元素元素. , 21n aaaA 所具有的特征所具有的特征xxM 有限集有限集 ,Ma ,Ma .,的的子子集集是是就就说说则则必必若若BABxAx .BA 记作记作 个体个体 总体总体 2021/3/10讲解：XX3 2.2.区间区间: :是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点. .,baRba 且且 bxax 称为开区间称为开区间, ),(ba记作记作 bxax 称为闭区间称为闭区间,ba记记作作 oxa b oxa b 符号符号 表示表示“对每对每(任）一个任）一个”。 2021/3/

3、10讲解：XX4 bxax bxax 称为半开区间称为半开区间, 称为半开区间称为半开区间, ),ba记作记作 ,(ba记记作作 ),xaxa ),(bxxb oxa ox b 有限区间有限区间 无限区间无限区间 区间长度的定义区间长度的定义: : 两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度. 2021/3/10讲解：XX5 3.3.邻域邻域: : . 0, 且且是两个实数是两个实数与与设设a )., a(U 记记作作 ,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a .叫做这邻域的半径叫做这邻域的半径 . axax), a(U x a a a ,邻域邻域的去心的

4、的去心的点点 a . ax0 x), a(U ,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx 2021/3/10讲解：XX6 4.4.常量与变量常量与变量: : 在某过程中始终保持一个数值的量称为在某过程中始终保持一个数值的量称为常量常量, 注意注意 常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的而言的. 通常用字母通常用字母a, b, c等表示常量等表示常量, 而不断改变数值的量称为而不断改变数值的量称为变量变量. 常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法： 用字母用字母x, y, t等表示变量等表示变量. 2021/3/10讲解：XX7 5.5.绝对值绝对值: : 0 0 aa aa

5、a )0( a 运算性质运算性质: ;baab ; b a b a .bababa )0( aax;axa )0( aax .xaxa或 绝对值不等式绝对值不等式: ax .baba .axa 2021/3/10讲解：XX8 因变量因变量自变量自变量 .)(, 000 处处的的函函数数值值为为函函数数在在点点称称时时当当xxfXx .),()(称称为为函函数数的的值值域域 函函数数值值全全体体组组成成的的数数集集 XxxfyyXf 数集数集X叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域)(xfy 变变量量y按按照照一一定定法法则则总总有有一一个个 确确定定的的数数值值和和它它对对应应，则则称称y是

6、是x的的函函数数，记记作作 定定义义 设设x和和y是是两两个个变变量量, ,X 是是一一个个给给定定的的数数集集， 如如果果对对于于每每个个数数 x X, 二、函数概念二、函数概念 2021/3/10讲解：XX9 ( ( ) ) 0 x )( 0 xf 自变量自变量 因变量因变量 对应法则对应法则f 函数的两要素函数的两要素: : 定义域定义域与与对应法则对应法则. x y X )(Xf 约定约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值的一切实数值. 2 1xy 例例如如，.1 , 0 :)(,1 , 1 :XfX 2 1 1 x y )., 1

7、:)(),1 , 1(: XfX 2021/3/10讲解：XX10 (1) 符号函数符号函数 01 00 01 sgn x x x xy 当当 当当 当当 几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例 1 -1 x y o xxx sgn 2021/3/10讲解：XX11 (2) 取整函数取整函数 y=x x表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o 阶梯曲线阶梯曲线 x 2021/3/10讲解：XX12 是无理数时是无理数时当当 是有理数时是有理数时当当 x x xDy 0 1 )( 有理数点有理数点无理

8、数点无理数点 1 x y o (3) 狄利克雷函数狄利克雷函数 2021/3/10讲解：XX13 (4) 取最值函数取最值函数 )(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy y x o )(xf )(xg y x o )(xf )(xg 2021/3/10讲解：XX14 0, 1 0, 12 )(, 2 xx xx xf例例如如 12 xy 1 2 xy 在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的对应法则用不同的 式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数. 2021/3/10讲解：XX15 o y M -M x y=f(x) D 有界有界无

9、界无界 M -M y x o D 0 x ,)(, 0,)(MxfDxMxfD 有有若若的的定定义义域域是是设设 1函数的有界性函数的有界性: .)(否否则则称称无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数Dxf 例例 y=siny=sin2 2x, y=cosxx, y=cosx在（在（-,+)-,+)上均为有界函数上均为有界函数, , y=x, y=x y=x, y=x2 2在在(-,+)(-,+)上无界上无界. . 三、函数的特性三、函数的特性 2021/3/10讲解：XX16 2函数的单调性函数的单调性: ,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数 , 2121 时时当当及

10、及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI ;)()(的的减减少少上上是是单单调调增增加加在在区区间间则则称称函函数数Ixf )()( 21 xfxf 恒恒有有 )(xfy )( 1 xf )( 2 xf x y o I 例：例：y=x, y=ey=x, y=ex x 在（ 在（-,+)-,+)内单调增加。内单调增加。 )(xfy )( 1 xf )( 2 xf x y o I ),)()( 21 xfxf 2021/3/10讲解：XX17 3函数的奇偶性函数的奇偶性: 偶函数偶函数 有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设,DxD , )()(xfxf y x )( xf )(

11、xfy ox-x )(xf .)(为为偶偶函函数数称称xf 2021/3/10讲解：XX18 有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD ),()(xfxf .)(为为奇奇函函数数称称xf 奇函数奇函数 )( xf y x )(xf ox -x )(xfy 2021/3/10讲解：XX19 4函数的周期性函数的周期性: （通常说周期函数的（通常说周期函数的周期周期是指其是指其最小正周期最小正周期）. 2 l 2 l 2 3l 2 3l 在在(无穷无穷)多个正周期中多个正周期中若若存在一个最小数，此最小数称为存在一个最小数，此最小数称为最小正周期最小正周期。 ,)(Dxf的定义域为的定义域

12、为设函数设函数如如果果存存在在一一个个不不为为零零的的 ()( ).f xlf x且 为周为周则称则称)(xf .)( ,DlxDxl 使得对于任一使得对于任一数数 .)(,的周期的周期称为称为期函数期函数xfl 恒 成 立 , 2021/3/10讲解：XX20 四、反函数四、反函数 0 x 0 y 0 x 0 y x y D W )(xfy 函函数数 o x y D W )(yx 反反函函数数 o 习惯上习惯上, 反函数反函数 x= (y)写成写成 y = (x) = f 1(x). 定义定义1 设有函数设有函数y=f(x)(x X)，其值域，其值域Y=f(X).若对于若对于Y 中每一个中每

13、一个y值值, 都可由方程都可由方程f(x)=y确定唯一的确定唯一的x值值: x= (y), 称为称为y=f(x)的的反函数反函数,记作记作x=f-1(y), 读读“f逆逆” 。 2021/3/10讲解：XX21 )(xfy 直直接接函函数数 x y o ),(abQ ),(baP )(xy 反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 2021/3/10讲解：XX22 定理：定理： 设有函数设有函数y=f(x) ，xX, 若该函数在若该函数在 X 内严格单调上内严格单调上 升升(或下降或下降)则必存在反函数则必存在反函数x=f-1(y)，yf(X)

14、且反函数在且反函数在f(X) 内也严格单调上升（或下降）内也严格单调上升（或下降） 2021/3/10讲解：XX23 例例4 4 解解 , 0 1 )( Qx Qx xD设设 .)().21(), 5 7 (的的性性质质并并讨讨论论求求xDDDD , 1) 5 7 ( D , 0 )21( D, 1)( xDD o x y 1 单值函数单值函数, , 有界函数有界函数, , 偶函数偶函数, , 周期函数周期函数( (无最小正周期无最小正周期).). 不是单调函数不是单调函数, , 2021/3/10讲解：XX24 Z. 设设0 x，函函数数值值 2 1) 1 (xx x f ， 求求函函数数)

15、0()( xxfy的的解解析析表表达达式式. 思考思考 2021/3/10讲解：XX25 思考题解答思考题解答 设设 u x 1 则则 2 1 1 1 uu uf , 11 2 u u 故故)0(. 11 )( 2 x x x xf 2021/3/10讲解：XX26 例例1 1 求求 y y =arcsin =arcsin 的定义域和值域。的定义域和值域。 x2 解：解： 120 x函数的定义域为函数的定义域为: : . 2 0:, 21 yx函数的值域为函数的值域为 得定义域为得定义域为 x 0 0)0) 的定义域；的定义域； (2) (2) f f (ln (lnx x) )的定义域。的定

16、义域。 解解: (1): (1) axa axa ax ax 1 1 10 10 则则: : 若若 a a 1/2 1/2 ，定义域为空集，定义域为空集; ; 若若 a a 1/2 1/2 ，定义域为，定义域为 a a, 1-, 1-a a; (2) 0ln (2) 0ln x x1 , 1xe1 , 1xe为定义域。为定义域。 x x应取在应取在ax1-a, ax1-a, 而而a 1-aa 1-a 2021/3/10讲解：XX28 例例4 4 判断下列几对函数是否相等判断下列几对函数是否相等. . (1)f(x)=2lnx, (x)=lnx(1)f(x)=2lnx, (x)=lnx2 2 ;

17、 ; (2)f(x)=x, (x)=|x|;(2)f(x)=x, (x)=|x|; (3)f(x)=sin(3)f(x)=sin2 2x+cosx+cos2 2x, (x)=1.x, (x)=1. 解：解：f(x)f(x)的定义域为的定义域为),0(，(x)(x)的定义域为的定义域为0 x 所以它们不相等。所以它们不相等。 解：解： f(x)f(x)与与(x)(x)的对应规律不同的对应规律不同 ，所以是不同的函数。，所以是不同的函数。 解：解：f(x)f(x)与与(x)(x)的对应规律相同的对应规律相同 ，定义域也相同，定义域也相同， 所以所以 f(x)=(x)f(x)=(x)。 2021/3

18、/10讲解：XX29 例例1 1 判断函数判断函数 的奇偶性的奇偶性. .)1ln()( 2 xxxfy 解：解： )(1ln()( 2 xxxf )()1ln( 2 xfxx f(x) f(x)是奇函数是奇函数. . 例例2 2 设设f(x)f(x)在在R R上定义，证明上定义，证明f(x)f(x)可分解为一个奇函数与可分解为一个奇函数与 一个偶函数的和。一个偶函数的和。 证明：设证明：设 显然显然 g g( (x x) )是偶函数，是偶函数，h h( (x x) )是奇函数是奇函数, ,而而 )()()(),()()(xfxfxhxfxfxg 2 )()( )( xhxg xf 故命题的证故命题的证. . 2021/3/10讲解：XX30 例例1 1 ., 3 xxy 例例2 2 证明若函数证明若函数 y = y = f f (x)(x)是奇函数且存在反函数是奇函数且存在反函数 x = x = f f 1 1(y), (y), 则反函数也是奇函数则反函数也是奇函数。 证明：证明： xxy, 3 的反函数是的反函数是 ).(