CH3幂级数展开

1、1 1 第三章第三章 幂级数展开幂级数展开 l第一节第一节 复数项级数复数项级数 l第二节第二节 幂级数幂级数 l第三节第三节 Taylor Taylor级数表示级数表示 l第四节第四节 解析延拓解析延拓 l第五节第五节 Laurent Laurent级数表示级数表示 l第六节第六节 孤立奇点的分类孤立奇点的分类 2 2 第三章第三章 幂级数展开幂级数展开 l第一节第一节 复数项级数复数项级数 l第二节第二节 幂级数幂级数 l第三节第三节 Taylor Taylor级数表示级数表示 l第四节第四节 解析延拓解析延拓 l第五节第五节 Laurent Laurent级数表示级数表示 l第六节第六节

2、 孤立奇点的分类孤立奇点的分类 重点重点： 复变函数级数形式的表示 复变函数收敛的判据 难点：难点： 复变函数收敛的判断 3 3 l复数项级数 概念形如 的表达 式被称为复数项级数，其中wn是复数。 1 21 n nn wwww 收敛与发散 若 的前n项和 有极限(n),则称 该级数收敛，且称此极限值为该无穷级数的和； 否则称为发散。 1n n w n j jn wS 1 4 4 收敛的充分必要条件 设 ，则级数 收敛的充 分必要条件是 和 都收敛，其中un和 vn皆 为实数。 ), 2 , 1(invuw nnn 1n n w 1n n u 1n n v 绝对收敛与条件收敛 称级数 是绝对收

3、敛的，如果 是收敛的 1n n w 1 | n n w 称级数 是条件收敛的，如果 是发散， 而 是收敛的 1n n w 1 | n n w 1n n w 5 若级数S1和S2都绝对收敛， 则两者相乘即两者的对角线相乘： 0 1 k k wS 0 2 t t wS 021120100100 000 21 wwwwwwwwwwww CwwSS n n t t k k 6 6 举例 考察级数 的敛散性 1 / 1 1 n ni e n 考察级数 的敛散性 1n n z 考察级数 的敛散性 1 2 ) 1( n n n i n 7 7 l复函数项级数 概念 收敛与发散 形如 的表达式被称为复数项级数

4、，其中wn(z)是 复变函数。 1 21 )()()()( n nn zwzwzwzw 点收敛： 域收敛： 收敛称之 1 0) ( n n zw 收敛，zB，称之 1 )( n n zw 8 收敛的充分必要条件 级数 收敛的充分必要条件是 和 都 收敛，其中 ),2, 1(),(i),()(nyxvyxuzw nnn )( 1 zw n n ),( 1 yxu n n ),( 1 yxv n n 柯西收敛判据 1 ( ) np k k n w z 对于 ，如果对于任意小的 0，存在 N(z)，当nN 时，有 , 其中p为任意正数，则该级数在B 上收敛。 若N的选取和z无关，则称该级数在B上一致

5、收敛。 )( 1 zw n n 9 9 性质 连续性 级数 在B内一致收敛，且wn(z) 连续，则该级数在B内连续 )( 1 zw n n 可积性 级数 在C上一致收敛，且wn(z) 在C上连续，则 )( 1 zw n n 11 )()( n C n C n n dzzwdzzw 解析性 级数 在B内一致收敛于f(z)，且 wn(z)在B内解析，则f(z)在B内解析，且 )( 1 zw n n 1 )()( )()( n k n k zwzf 10 10 第三章第三章 幂级数展开幂级数展开 l第一节第一节 复数项级数复数项级数 l第二节第二节 幂级数幂级数 l第三节第三节 Taylor Tay

6、lor级数表示级数表示 l第四节第四节 解析延拓解析延拓 l第五节第五节 Laurent Laurent级数表示级数表示 l第六节第六节 孤立奇点的分类孤立奇点的分类 重点重点： 级数收敛的判断 收敛半径计算 难点：难点： 不同级数的收敛半径的计算 11 11 概念 收敛半径与收敛圆 形如 的级数被称为以z0为中心 的幂级数，其中an是复常数。 1 0) ( n n n zza 若存在正数R，使得当|z-z0|R时，级数 发散，则 称R为级数 的收敛半径收敛半径，其中|z-z0|R被称 为收敛圆收敛圆。 1 0) ( n n n zza 1 0) ( n n n zza 1 0) ( n n

7、n zza 最简单的解析函数项是幂级数 12 12 收敛半径的求法 00 )()( n n n n zfzf绝对收敛收敛 0 0 0 0 )()( n n n n n n zzazza的收敛区域为 幂级数 的绝对收敛区域 0 0) ( n n n zza 根据正项级数比值判别法（达朗贝尔判别法） 0 )( n n zf 收敛的条件是 1 )( )( lim 1 zf zf n n n 13 1 lim n n n a a R n n n a R 1 lim DAlembert公式 Cauchy (根式) 公式 令： R a a n n n 1 lim 则： 0 00 0 00 )( )( n

8、n n n n n zzaRzz zzaRzz 发散时当 绝对收敛时当 称 为收敛圆，R为收敛半径。Rzz 0 14 讨论： l收敛半径判断： l若收敛圆存在，则级数在圆内一致收敛，在圆 外发散。 lR的取值范围： l级数的和在圆内是解析的，可逐项求导或积分， 且不改变收敛半径。 1 lim n n n a a R n n n a R 1 lim DAlembert公式 Cauchy (根式) 公式 R0 15 15 举例 求级数 的敛散半径及收敛圆 1n n z 1lim 1 k k k a a R 1 1 1 n n z z 16 16 求级数 的敛散半径收敛圆 12(1) 1 ( 1)

9、nn n z 1lim 1 k k k a a R 1 2 )1(21 1 1 ) 1( n nn z z 17 17 第三章第三章 幂级数展开幂级数展开 l第一节第一节 复数项级数复数项级数 l第二节第二节 幂级数幂级数 l第三节第三节 Taylor Taylor级数表示级数表示 l第四节第四节 解析延拓解析延拓 l第五节第五节 Laurent Laurent级数表示级数表示 l第六节第六节 孤立奇点的分类孤立奇点的分类 重点重点： 级数收敛的判断 收敛半径据算 难点：难点： 不同级数的收敛半径的计算 18 18 讨论： 幂级数在收敛圆内为解析函数 解析函数表示成幂级数的形式 任意阶导数都存

10、在的实变函数能够被展开成 泰勒级数 解析函数能够被展开成复变项的泰勒级数 1919 lTaylor定理 设函数 f(z)以z0为圆心的圆周CR内解析，则对于圆内 任一点z，函数f(z)可写成 0 0) ()( k k k zzazf 1 0 ( ) 0 1( ) 2i() 1 () ! R k k C k f ad z fz k 其中 z0 z CR CR R R 证明 20 2：收敛半径：R=L L：展开中心到被展函数离z0最近的奇点的距离 【例】 1 1 1 k k o zz z X X 展开的三要素：展开中心，收敛半径，展开系数 1 ：展开中心：题目中给定。 3：展开系数由不同的展开方法

11、求出。 收敛半径R1（0到1的距离） 21 泰勒展开的唯一性定理： 对于给定的一个圆内解析的函数，它的泰勒展开 是唯一的。即若： 00 00 , kk kk kk fzazzfzbzz 则定有： kk ab 有唯一性定理作保障，同一道题目可以使用不同的展开方 法。 (证明过程见课本 P39) 22 1、直接展开法 利用： 0 ! k k fz a k 【例1】在z0=0点邻域，将 f(z)=ez 展为泰勒级数 【例2】在z0=0点邻域，将f(z)=sinz展为泰勒级数 【例3】在z0=1点邻域，将f(z)=lnz展为泰勒级数 泰勒级数的展开方法 展开泰勒级数。例：在z0=0邻域上将 z ezf

12、)( 解： ! 2 1 2 k zz z k z k k lim ! )( 0 )( k zf a k k 0 1 d ! d kz k z e kz ! 1 k z e 1 lim k k k a a R 0 ! k k k z 24 展开泰勒级数。 例：在z0=0邻域上将zzfsin)( f (z)=sinz 在全平面解析 0 sin k k k za zz 0 1 22 2 33 3 44 4 0 sin 00 0 0! 1 cos 01 1 1! 0 sin 00 0 2! 1 cos 01 3! sin 00 0 fzzfa fzzfa fzzfa fzzfa fzzfa 25 2

13、21 0 0 0,1,2 1 ! 21 ! n k n k n a f an ka n 21 0 1 sin z 21 ! n n n zz n 2 0 1 cos z 2! n n n zz n 级数展开式中，等号左右的奇偶性是一致的。 同理可证： 26 例：在z0=1邻域上把zzfln)( 解： zzfln)( 1ln) 1 (fin2 z zf 1 )( 2 ! 1 )( z zf 3 )3( ! 2 )( z zf ( )1 (1)! ( )( 1) kk k k fz z 1) 1 ( f 1) 1 ( f ! 2) 1 ( )3( f ( )1 (1)( 1)(1)! kk fk

14、zln 1 2 11!( 1)(1)! 2(1)(1)(1) 1!2! k k k nizzz k 展开泰勒级数。 27 lnz 1 2 1 2 1 1 11!( 1)(1)! 2(1)(1)(1) 1!2! 1( 1) 2(1)(1)(1) 2 1 21 1 1 k k k k k k k k nizzz k nizzz k nizz k 28 1 1 1 ln21 11 k k k znizz k 21 0 1 sin z 21 ! n n n zz n 2 0 1 cos z 2! n n n zz n 0 1 ! zk k ezz k 0 1 z1 1 k k z z 基基 本 本 展

15、 展 式 式 29 2、间接展开法 理论依据：泰勒展开的唯一性 出发点：基本展式 方法一、变量变换 【例1】在z0=0点，将f(z)=1/(2-z)展为泰勒级数 【例2】在z0=1点，将f(z)=ez展为泰勒级数 【例3】在z0=0点，将f(z)=ln(1+z)展为泰勒级数 【例4】在z0=0点，将f(z)=1/(z-1)(z-2)展为泰勒级数 30 方法一、变量变换 【例1】 1 0 2 f zz z X X 0 解： f(z)在z0=0点及其邻域解析 0 2 k k k fza zz 31 11111 2221 1 2 0 Z0 z2 12 2 z zZ z z Z z Z 令令 0 21

16、 00 1111 2212 11 z2 222 k k k k k kk Z zZ z z 32 【例2】在z0=1点邻域，将f(z)=ez展为泰勒级数 1 11zzz eeee z-1Z 1 Z0 z-1 Z z 0 1 ! Zk k eeeZ k 0 1 1 z-1 ! k z k eez k 解： f(z)在z0=1点及其邻域解析 0 1 1 k k k fzazz 33 【例3】在z0=0点，将f(z)=ln(1+z)展为泰勒级数 解： f(z)在z0=0点及其邻域解析 0 ln 1 1 k k k za zz ln 1z 令令1+zZ 0Z1 z1Z-11 z 1 1 1 1 1 l

17、n21 1 21 1 k k k k k k ZniZ k niz k 1 1 1 ln 12 z1 k k k zniz k X X 0 34 【例4】在z0=0点邻域，将f(z)=1/(z-1)(z-2)展为泰勒级数 11111 122121 f z zzzzzz 1 00 11111 z2 22 12222 k k k kk z z zz 0 1 z1 1 k k z z 其中：其中： X X 0 X X 1 0 11 1 z1 122 k k k f zz zz 35 【例5】 2 0 1 0 z f zez 2 1 z ezf 在z=0点及其邻域内解析 2 2 00 1 11 2 1

18、1 1-22 1 22 z zzz k k kk kk k f zeee zz k!k! z k! 方法二、算术运算法 36 微分法： d d d f zf zz z 适用于被展函数的原函数易展开的情况。 【例】 02 1 z0 1 fz z 0 X X f f( (z z) )的奇点是 z=1 1 f(z)在z=0点及其邻域内解析 2 0 1 1 1 k k k a zz z 方法三、分析运算法 37 1 2 00 1d1d d 1d 1 kk kk zkz zzz z 1 2 0 1 z1 1 k k kz z 38 积分法： d d d f zf zzC z 适用于被展函数的导数易展开的

19、情况。 0 ln 1 0fzzz 0 ln 1 1 k k k za zz 【例】 f f( (z z)的奇点是 z=1 f(z)在z=0点及其邻域内解析 0 X X 39 0 1 0 d ln 1ln 1d d 1 d 1 d 1 1 k k k k zzzC z zC z zzC zC k 0C 0 1 1 1 0 0 1 0 Cz k zln z k k z 1 0 1 ln 1 0 1 k k zzz k 40 40 l解析函数的一个等价命题 函数 f(z)在B内解析的充分必要条件为 f(z)在B内 任一点的邻域内可展成幂级数 41 41 第四节 解析延拓 2 1 1 (| | 1)

20、1 k tttt t 246 2 1 1 (| 1) 1 zzzz z 解析延拓：已给某个区域b上的解析函数f(z),能否找到 另一个函数F(z),它在含有区域b的一个较大的区域B上 是解析函数，而且在区域b上等同于f(z)。 简单地说，解析延拓就是解析函数定义域的扩大！ )(zf )(zF 42 42 原则上讲，解析延拓都可以利用泰勒级数进行。具体 地说，选取区域b的任一内点z0，在z0的领域上把解析 函数f(z)展开为泰勒级数，如果这个泰勒级数的收敛圆 有一部分超出b之外，解析函数f(z)的定义域就扩大了一 步。这样一步又一步，定义域逐步扩大。 解析延拓是唯一的！ 43 43 l问题的提出

21、 已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|R内解析，Taylor定理告诉我 们，f(z)必可展开成幂级数。 问题是：当 f(z)在圆|z-z0|R2外收敛。如 果R2R1，那么双边幂级数就在环状域 R2|z-z0|R1 内收敛， 所以 R2|z-z0|R1给出了双边幂级数的环状收敛域，称为 收敛环。 双边幂级数在收敛环内绝对一致收敛。 46 46 0 0) ( n n n zza 正幂部分 1 0) ( n n n zza 负幂部分 R1 z0 |z-z0|R1 R2 z0 R2|z-z0| R2 R1 z0 收敛环 R2|z-z0|R1 0 1 zz 47 47 l双边幂级数的性质 R2 R1

22、 z0 B 定理 设双边幂级数 的收敛环B为R2|z-z0|R1，则 n n n zza)( 0 n n n zzazf)()( 0 (1) 在B内连续； (2) 在B内解析，且于B内可逐项可导； (3) 在B内可逐项积分。 48 48 lLaurent定理 设函数 f(z) 在环状域 R2|z-z0|R1 的内部单值解析，则对于 环内任一点z， f(z)可展开成 n n n zzazf)()( 0 C k k d z f a 1 0) ( )( i2 1 其中z CR1 CR2 R2 R1 z0 C 49 49 (3) Laurent级数中的z0点是洛朗级数负幂项的奇点，它可能是 f(z)的

23、奇点，也可能不是f(z)的奇点 说明 (2) Laurent级数展开的唯一性 )( ! 1 0 )( zf n a n n (1)与泰勒展开系数不同 (4) 与泰勒级数定理不一样，我们一般不利用洛朗级数定理 计算洛朗级数展开 怎么样求解洛朗 级数展开呢？ 50 50 例1 在z0=0的邻域上把(sin z)/z 展开 解：函数 f(z) = (sin z)/z 在z0=0点没有定义， z0=0 为奇点。为 避开奇点，从复数平面挖去原点.已知 357 sin (|) 1!3!5!7! zzzz zz 在挖去原点的复平面上用z遍除sin z即得 246 sin 1 (|) 3!5!7! zzzz

24、z z 0 sin (0) ( ) sin lim1 (0) z z z z f z z z z 定义f(z) 解析延拓 51 51 函数 f(z)=1/(1-z2) 分别在1|z| 和 0|z-1|2内的 Laurent级数展开 1 1-1 1|z| 例2 2 222246 0 2 1111111 1 1 1 k k z zzzzzz z z1中心为z=0，因此是要将 f(z)展开成z的幂级数 1z的定义域是 2 1 1 )( z zf （1）1|z| 52 2 1-1 0|z-1|2 2 11 21 2 111zzz 22 0 1111 11 1212 (0 |1| 2) kk k k z

25、 zz z 210 z 中心为z=1，因此是要将 f(z)展开成(z1)的幂级数 ? 0 1111 2141 (1) 2 11 1 42 k k k zz z 负幂项 （2）0|z-1|2 53 53 在z=0的邻域上把 f(z)=e1/z 展开 例3 将z全换成1/z即得 0 1 32 0 1 ! 1 11 ! 3 11 ! 2 11 ! 1 1 1 1 ! 1 k k z k k z z k e zzzzzk e 即 zzzzz k e k kz 32 0 ! 3 1 ! 2 1 ! 1 1 1 ! 1 已知 54 54 zzzzz k e k kz 32 0 ! 3 1 ! 2 1 !

26、1 1 1 ! 1 357 sin (|) 1!3!5!7! zzzz zz zzzzz 642 ! 6 1 ! 4 1 ! 2 1 1cos 11 1 1 32 zzzz z 55 l概念若函数 f(z) 在某点z0不可导，而在z0的任意邻域内除z0 外连续可导，则称z0为f(z)的孤立奇点；若在z0的无论 多小的邻域内总可以找到z0以外的不可导点，则称z0 为f(z)的非孤立奇点。 举例 孤立奇点的例子 2 /1 1 1 , , 1 z e z z 非孤立奇点的例子 )/1sin( 1 z 1 , 2 1 , ,0, , 2 1 , 1 56 56 l孤立奇点的Laurent级数展开 在区

27、域 0|z-z0|R 内的单值解析函数 f(z) 可展开成 n n n zzazf)()( 0 其中正幂部分 0 0) ( n n n zza是该级数的解析部分 1 0) ( n n n zza是该级数的主要部分负幂部分 这里a-1具有特殊的作用，被称为f(z)在点z=z0处的留数 57 57 l孤立奇点的分类 主要部分不存在即没有负幂项 主要部分有m项即有m项负幂项 主要部分有无穷多项即有无穷多项负幂项 n n n zzazf)()( 0 可去奇点： m阶极点： 本性奇点： 58 58 l孤立奇点的等价命题 内有界在可去奇点 |z-|0)(lim 0 0 zlzf zz )(lim )0()()(lim 0)z ()(),( )( 1 )( 0