串并联谐振电路

1、9.8 9.8 串联电路的谐振串联电路的谐振 谐振谐振( (resonanceresonance) )是正弦电路在特定条件下所产生的一是正弦电路在特定条件下所产生的一 种特殊物理现象，谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛种特殊物理现象，谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛 应用，对电路中谐振现象的研究有重要的实际意义。应用，对电路中谐振现象的研究有重要的实际意义。 含有含有R、L、C的一端口电路，在特定条件下出现的一端口电路，在特定条件下出现 端口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。端口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。 1. 1. 谐振的定义谐振的定义 R,L,C 电路电路

2、 U I RZ I U 发生发生 谐振谐振 XR XXR C LRZ CL j )( j) 1 ( j IR j L + _ Cj 1 U 2. 2. 串联谐振的条件串联谐振的条件 谐振角频率谐振角频率 (resonant angular frequency) LC 1 0 谐振频率谐振频率 (resonant frequency) LC f 2 1 0 时时，电电路路发发生生谐谐振振。当当 1 0 0 0 C LX 谐振条件谐振条件 仅与电路参数有关仅与电路参数有关 串联电路实现谐振的方式：串联电路实现谐振的方式： （1） L C 不变，改变不变，改变 。 （2 2） 电源频率不变，改变电源

3、频率不变，改变 L 或或 C ( ( 常改变常改变C ) )。 0由电路本身的参数决定，一个由电路本身的参数决定，一个 R L C 串联电路只串联电路只 能有一个对应的能有一个对应的 0 0 , , 当外加频率等于谐振频率时，电当外加频率等于谐振频率时，电 路发生谐振。路发生谐振。 3. 3. RLC串联电路谐振时的特点串联电路谐振时的特点 . ).1( 同同相相与与 IU 入端阻抗入端阻抗Z Z为纯电阻，即为纯电阻，即Z=R。电路中阻抗值电路中阻抗值| |Z Z| |最小最小。 电流电流I I达到最大值达到最大值 I0=U/R (U一定一定)。 X( ) |Z( )| XL( ) XC( )

4、 R 0 Z ( ) O IR j L + _Cj 1 U + + + _ _ _ R U L U C U 相相当当于于短短路路。LCUU CL , 0 (2) LC上上的电压大小相等，相位相反，串联总电压为零，的电压大小相等，相位相反，串联总电压为零， 也称电压谐振，即也称电压谐振，即 UU R 上上，电电源源电电压压全全部部加加在在电电阻阻 L U C U R U I UjQ R U LjILjUL UjQ R U Lj C I jUC QUUU CL RC L RR L Q 1 0 特性阻抗特性阻抗 品质因数品质因数 当当 0L=1/( 0C )R 时，时， UL= UC U 例例某收音

5、机某收音机 L=0.3mH，R=10 ，为收到中央电台，为收到中央电台560kHz 信号，求（信号，求（1）调谐电容）调谐电容C值；（值；（2）如输入电压为）如输入电压为1.5 V 求谐振电流和此时的电容电压。求谐振电流和此时的电容电压。 A R U I 15. 0 10 5 . 1 )2( 0 pF Lf C269 ) 2( 1 )1( 2 + _ L C R u 解解 VVXIU CC 5 . 1 5 .158 0 U R L QUUo 0 C r (3) (3) 谐振时的功率谐振时的功率 P=UIcos UIRI02=U2/R， 电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。电源向电路输

6、送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。 0sin CL QQUIQ 2 00 2 0 0 2 00 1 , LII C QLIQ CL 电源不向电路输送无功。电电源不向电路输送无功。电 感中的无功与电容中的无功感中的无功与电容中的无功 大小相等，互相补偿，彼此大小相等，互相补偿，彼此 进行能量交换。进行能量交换。 + _ P Q L C R (4) (4) 谐振时的能量关系谐振时的能量关系 tLICuw CC cos 2 1 2 1 0 22 m 2 tI C L t C I uC 0m o 0 0 m cos)90 sin( tLILiwL sin 2 1 2 1 0 22 m 2 tUu 0m

7、 sin 设设 tIt R U i 0m0 m sin sin 则则 电场能量电场能量 磁场能量磁场能量 （1）电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等）电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等 WLm=WCm。L、C的电场能量和磁场能量作周期振荡的电场能量和磁场能量作周期振荡 性的能量交换，而不与电源进行能量交换。性的能量交换，而不与电源进行能量交换。 表明表明 （2 2）总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值。）总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值。 22 m 2 m 2 1 2 1 LICULIwww CCL 总总 电感、电容储能的总值与品质因数的关系：电感、电容储能的总值与品

8、质因数的关系： 耗的能量谐振时一周期内电路消 总储能谐振时电路中电磁场的 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 TRI LI RI LI R L Q Q是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，品质因数越大，品质因数越大， 总的能量就越大，维持一定量的振荡所消耗的能量愈小，总的能量就越大，维持一定量的振荡所消耗的能量愈小， 振荡程度就越剧烈。则振荡电路的振荡程度就越剧烈。则振荡电路的“品质品质”愈好。一般讲愈好。一般讲 在要求发生谐振的回路中总希望尽可能提高在要求发生谐振的回路中总希望尽可能提高Q值。值。 4. 4. RLC串联谐振电路的谐振曲线和选择性

9、串联谐振电路的谐振曲线和选择性 （1 1） 阻抗的频率特性阻抗的频率特性 R X R XX R C L CL111 tgtg 1 tg) ( )(| )(|) 1 ( jZ C LRZ 222222 )() 1 (| )(|XRXXR C LRZ CL 谐振曲线谐振曲线 物理量与频率关系的图形称谐振曲线，物理量与频率关系的图形称谐振曲线， 研究谐振曲线可以加深对谐振现象的认识。研究谐振曲线可以加深对谐振现象的认识。 幅频幅频 特性特性 相频相频 特性特性 2. 2. 电流谐振曲线电流谐振曲线 幅值关系：幅值关系： I( )与与 |Y( )|相似。相似。 UY C LR U I| )(| ) 1

10、 ( )( 22 ( ) 0 O /2 /2 阻抗相频特性阻抗相频特性 X( ) |Z( )| XL( ) XC( ) R 0 Z ( ) O 阻抗幅频特性阻抗幅频特性 0 O |Y( )| I( ) I( ) U/R 从电流谐振曲线看到，谐振时电流达到最大，当从电流谐振曲线看到，谐振时电流达到最大，当 偏偏 离离 0 0时，电流从最大值时，电流从最大值U/R降下来。即，串联谐振电路对降下来。即，串联谐振电路对 不同频率的信号有不同的响应，对谐振信号最突出不同频率的信号有不同的响应，对谐振信号最突出( (表现为表现为 电流最大电流最大) )，而对远离谐振频率的信号加以抑制，而对远离谐振频率的信

11、号加以抑制( (电流小电流小) )。 这种对不同输入信号的选择能力称为这种对不同输入信号的选择能力称为“选择性选择性”。 l 选择性选择性 (selectivity) 电流谐振曲线电流谐振曲线 为了不同谐振回路之间进行比较，把电流谐振曲线的为了不同谐振回路之间进行比较，把电流谐振曲线的 横、纵坐标分别除以横、纵坐标分别除以 0和和I( 0)，即，即 000 )( )( )( )( , I I I I I l 通用谐振曲线通用谐振曲线 2220 ) 1 (1 1 ) 1 ( / | / )( )( RCR L C LR R RU ZU I I 20 0 20 00 0 )(1 1 ) 1 (1

12、1 Q Q RC R L 220 ) 1 (1 1)( Q I I Q越大，谐振曲线越尖。当稍微偏离谐振点时，曲线就越大，谐振曲线越尖。当稍微偏离谐振点时，曲线就 急剧下降，电路对非谐振频率下的电流具有较强的抑制能力，急剧下降，电路对非谐振频率下的电流具有较强的抑制能力， 所以选择性好。所以选择性好。因此，因此， Q是反映谐振电路性质的一个重要指是反映谐振电路性质的一个重要指 标。标。 Q=10 Q=1 Q=0.5 1 2 1 0 )( I I 0.707 0 通用谐振曲线通用谐振曲线 . , ,707. 02/1/ 21 0 II 和和对对应应横横坐坐标标分分别别为为交交于于两两点点 与与每

13、每一一谐谐振振曲曲线线处处作作一一水水平平线线在在 . , , 12 0 2 2 0 1 1 12 称为通频带称为通频带BW (Band Width) 可以证明：可以证明： . 1 12 0 12 Q I/I0=0.707以分贝以分贝(dB)表示：表示： 20log10I/I0=20lg0.707= 3 dB. 所以，所以， 1， 2称为称为3分贝频率。分贝频率。 Q=1 0 2 1 I 0.707I0 0 根据声学研究，如信号功率不低于原有最大值一半，根据声学研究，如信号功率不低于原有最大值一半， 人的听觉辨别不出，这是定义通频带的实践依据。人的听觉辨别不出，这是定义通频带的实践依据。 例例

14、 + _ L C R u 10 一信号源与一信号源与R、L、C电路串联，电路串联， 要求要求 f0=104Hz，f=100Hz， R=15 ，请设计一个线性电路。，请设计一个线性电路。 解解100 100 10 4 00 f f Q mH RQ L8 .39 102 15100 4 0 pF L 6360 1 C 2 0 例例 一接收器的电路参数为：一接收器的电路参数为： L=250 H, R=20, , C=150pF(调好调好), U1=U2= U3 =10 V, 0=5.5 106 rad/s, f0=820 kHz. + _ + _ + L C R u1 u2 u3 _ f (kHz)

15、 北京台北京台中央台中央台北京经济台北京经济台 L 8206401026 X 129016601034 0 660577 129010001611 I0=0.5I1=0.0152I2=0.0173I=U/|Z| ( A) C 1 I0=0.5I1=0.0152I2=0.0173I=U/|Z| ( A) %04. 3 0 1 I I 小得多小得多 收到北京台收到北京台820kHz的节目。的节目。 8206401200 I(f ) f (kHz) 0 %46. 3 0 2 I I （3） UL( )与与UC( )的频率特性的频率特性 2222 22 )1( ) 1 ( )( Q QU C LRC

16、U C I UC 2 2 2 2 22 ) 1 1( 1 ) 1 ( | )( Q QU C LR LU Z U LLIU L U UC( Cm) QU Cm Lm 0 UL( ) UC( ) U( ) 1 UL( ) ： 当当 =0，UL( )=0；0 0，电流开始减小，但速度不快，电流开始减小，但速度不快， XL 继续增大，继续增大，UL 仍有增大的趋势，但在某个仍有增大的趋势，但在某个 下下UL( )达达 到最大值，然后减小。到最大值，然后减小。 ，XL， UL( )=U。 类似可讨论类似可讨论UC( )。 根据数学分析，当根据数学分析，当 = Cm时，时，UC( )获最大值；获最大值；

17、当当 = Lm时，时， UL( )获最大值。且获最大值。且UC( Cm)=UL( Lm)。 )2/1 ( Q条条件件是是 Q越高，越高， Lm和和 Cm 越靠近越靠近 0 Lm Cm = 0 0 2 0m 2 1 1 Q c 0 2 2 0m 12 2 Q Q L QU Q QU UU LLcC 2 mm 4 1 1 )()( 例例 一接收器的电路参数为：一接收器的电路参数为：U=10V =5 103 rad/s, 调调C使电路中的电流使电路中的电流 最大，最大，Imax=200mA，测得电容电压测得电容电压 为为600V，求求R、L、C及及Q + _ L C R u V 解解 50 1020

18、0 10 3 0 I U R 60 10 600 U U QQUU C C mH RQ L60 105 6050 3 0 F L 67. 6 1 C 2 0 1. G、C、L 并联电路并联电路 对偶：对偶：R L C 串联串联G C L 并联并联 LC 1 0 ) 1 ( j C LRZ ) 1 ( j L CGY 9.9 9.9 并联电路的谐振并联电路的谐振 + _ S I G C L U LC 1 0 谐振角频率谐振角频率 R L C 串联串联G C L 并联并联 |Z| 0 0O O R 0 O I( ) U/R 0 O U( ) IS/G L U C U UUR I C I L I S

19、G II U |Y| 0 0O O G R L C 串联串联G C L 并联并联 电压谐振电压谐振 电流谐振电流谐振 UL( 0)=UC ( 0)=QU IL( 0) =IC( 0) =QIS L C GGLG C Q 11 0 0 C L RRCR L Q 11 0 0 推导过程如下：由定义得推导过程如下：由定义得 L R G C 0 0 2 2 2 1 2 GUT CU Q Cm G C f 0 2 2. 2. 电感线圈与电容器的并联谐振电感线圈与电容器的并联谐振 实际的电感线圈总是存在电阻，因此当电感线圈与电实际的电感线圈总是存在电阻，因此当电感线圈与电 容器并联时，电路如图：容器并联时

20、，电路如图： BGj LR CY j 1 j ) )( ( j )( 2222 LR L C LR R 谐振时谐振时 B=0，即，即0 )( 2 0 2 0 0 LR L C 2 0 )( 1 L R LC C L R （1）谐振条件）谐振条件 此电路发生谐振是有条件的，此电路发生谐振是有条件的，在电路参数一定时，满足在电路参数一定时，满足 可可以以发发生生谐谐振振时时即即 , , 0)( 1 2 C L R L R LC 一般线圈电阻一般线圈电阻R L，则等效导纳为：则等效导纳为： LC 1 0 ) 1 ( j )( ) )( ( j )( 22222 L C L R LR L C LR R Y 等效电路等效电路 谐振角频率谐振角频率 Ge C L R L G R e e 2 0 )(1 (b) 电流一定时，总电压达最大值：电流一定时，总电压达最大值： RC L IZIU 000 (c) 支路电流是总电流的支路电流是总电流的Q倍，设倍，设R 1 1时，并联部时，并联部 分呈容性，在某一角频率分呈容性，在某一角频率 2 2下可与下可与L3发生串联谐振。发生串联谐振。 对对(b)电路电路L1、C2并联，在低频时呈感性。在某一角频并联，在低频时呈感性。在某一角频 率率 1下可与下可与C3发生串联谐振。发生串联谐振。 1时，随着频率增加，并时，随着频率增加，并 联部分可由感性变