内切球和外接球例题

1、高考数学中的内切球和外接球问题一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为. 27 .例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24,则该球的体积为. 43 .2、求长方体的外接球的有关问题例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条长分别为 l2,3 ,则此球的表面积为 14 .例4、（2006年全国卷i）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为（）.c.a. 16 b. 20 c. 24 d. 323.求多面体的外接球的有关问题例5

2、. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的9顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 ,底面周长为3 ,则这个球的体积为一解 设正六棱柱的底面边长为x,高为h,则有6x 3,1_ x _ ,9 r , 3 22_16 x h,r84h 3.，正六棱柱的底面圆的半径2,球心到底面的“3 4d 丁c r22 /v 球距离 2 . .外接球的半径r vr d 1.3 .二、构造法（补形法）1、构造正方体例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为j3 ,则其外接球的表面积是 . 9解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，把这个三棱锥可以补成一个棱

3、长为 上的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球2- 22- 229 2r .3339 r的半径为r ,则有.4 .故其外接球2的表面积s 4 r 9 .小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长222就是该三棱锥的外接球的直径 .设其外接球的半径为 r,则有2r 4a b c .出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【例题】：在四面体 融0。中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为1尼，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角

4、线长所以：四面体外接球的直径为 融的长即：4炉4衣、+九宕=16所以& = 2球的表面积为3 = 4/=5例6. 一个四面体的所有棱长都为 j2,四个顶点在同一球面上， 则此球的表 面积为（）a. 3 b. 4 c. 3 3 d. 6解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，四面体a bde满足条件，即ab=ad=ae=bd=debe 22 ,由此可求得正方体的棱长为1,体对角线为j3,从而外接球的直径也为 j3,所以此球的表面积便可求得，故选a.例7.在等

5、腰梯形abcd中，ab=2dc=2 , dab=60 0, e为ab的中点，将ade与bec分布沿ed、ec向上折起，使a、b重合于点p ,则三棱解析：因为ae=eb=dc=1dab= cbe= dea=60所以锥p-dce的外接球的体积为（）4、36、-6-6a. 27b.2c.8d.24ad ae=eb=bc=dc=de=ce=1 ,即三棱锥p-dce为正四面体，至此，这与例6就完全相同了，故选 c.例8 .已知球o的面上四点a b、c、d, da 平面abc , ab bc , da=ab=bc= 73 ,则球o的体积等于 .解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用

6、长方体模型很快便可找到的直径，由于da 平面abc , ab bc ,联想长方体中的相应线段关系， 构造长方体，又因为da=ab=bc=则此长方体为正方体，所以cd长即为外接球的直径，利用直角三角形解出cd=3 .故球o的体9 积等于2 .2、构造长方体例9.已知点a、b c、d在同一个球面上，ab平面bcd , bc dc, 若ab 6,ac=2a,ad=8 ,则球的体积是.解析：首先可联想到例 8,构造下面的长方体，于是 ad为球的直径，。为 球心s ob=oc=4为半径，要求b、c两点间的球面距离，只要求出 boc即可，4在rt abc中，求出bc=4,所以boc=60,故日c两点间的球

7、面距离是3 .三.多面体几何性质法例1 0.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这ac个球的表面积是asc是以ac为斜边的rt1是外接圆的半径，也是外接球的半径a.16 b. 20 c. 24 d. 32解设正四棱柱的底面边长为_, 2x ,外接球的半径为r ,则有4x 16,解得2r22 22 42 2 /6,r ,6这个球的表面积是4 r224 .选c.小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球 的直径”这一性质来求解的4v球 故 3 .五.确定球心位置法例11.在矩形abcd中，ab 4,bc 3,沿ac将矩形abcd折成一个直二面角b ac d ,则四

8、面体abcd的外接球的体积为125125125125a. 12 b. 9 c. 6 d. 3四.寻求轴截面圆半径法解 设矩形对角线的交点为0 ,则由矩形对角线互相平分，可知oa ob oc 0d . .点0到四面体的四个顶点a、b、c、d的距离相例11.正四棱锥s abcd的底面边长和各侧棱长都为j5 ,点4_3v球 一r31256.选 c.【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球s、a b c d都在同一球面上，则此球的体积为.解 设正四棱锥的底面中心为 01,外接球的球心为 0 ,如图所示.由球的截面的性质，可得001平面abcd .又so1平面abcd，球心0必在s01所在的直线上._5r 0a -等，即点。为四面体的外接球的球心，外接球的半径2 .故71c - 1口，求球o的体积。. asc的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的l22_ _ 2半径.在 asc 中，由 sa sc v2, ac 2 ,得 sa sc ac .解：四1声c且以=7|产二5。反73 + 后” = 10所