对磁场中双杆模型问题的解析

1、电磁感应中的双杆运动问题江苏省特级教师戴儒京有关“电磁感应”问题，是物理的综合题，是高考的重点、热点和难点，往 往为物理卷的压轴题。电磁感应中的“轨道”问题，较多见诸杂志，而电磁感应 中的“双杆运动”问题的专门研究文章，在物理教学研究类杂志还很咸见，兹举 例说明如下。例1.2006年高考重庆卷第 21题21.两根相距为l的足够长的金属直角导轨如题21图所示放置，它们各有一边在同一水平内，另一边垂直于水平面。质 量均为m的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路， 杆与导轨之间的动摩擦因数均为,导轨电阻不计，回路总电阻为2r。整个装置处于磁感应强度大小为b,方向竖直向上的匀强磁场中。当 ab

2、杆在平行于水平导轨的拉力f作用下以速度v1沿导轨匀速运动时，cd杆也正好以速度 v2向下 匀速运动。重力加速度为 go以下说法正确的是工b2l2v1a.ab杆所受拉力 f的大小为mc+2rb.cd杆所受摩擦力为零c.回路中的电流强度为 bl(v1 v2)2r一， 2rmgd.w与v1大小的关系为 w = 2 2b l2m【解析】因4个选项提出的问题皆不同，要逐一选项判断f mg ,a.因为ab杆做匀速运动，所以受力平衡，有f f f安，其中eblv1bil ,i ,e blv1,所以 i 1 ,所以 f=wm?2r2r_ 2 2b lv12r,a正确;b.因为cd杆在竖直方向做匀速运动，受力平

3、衡，所以cd杆受摩擦力大小为 f mg,或者，因为 cd杆所受安培力作为对轨道的压力，所以cd杆受摩擦力大小为b2 l2v1f 1,总之，b错误;2rc.因为只有ab杆产生动生电动势(cd杆运动不切割磁感线)，所以回路中的电流强度为blv1i l, c错误;2rd.根据b中f mg和fb2l2v1,口 2rmg, 倚 = z z , 所以 d正确o2rb2l2v1本题答案为adab杆切割磁感线【点评】ab杆和cd杆两杆在同一个金属直角导轨上都做匀速运动，因为而cd杆不切割磁感线，所以感应电动势是其中一个杆产生的电动势，即 e blv1,而不是 e bl (v1 v2), 电流是iblv12r而

4、不是bl(v1 v2)o2r例2. 2。6年高考广东卷第 2。题16. (16分)如图11所示，在磁感应强度大小为 下两层均与水平面平行的 “ u ”型光滑金属导轨,b、方向垂直向上的匀强磁场中，有一上、 在导轨面上各放一根完全相同的质量为m的匀质金属杆 a和a2 ,开始时两根金 属杆位于同一竖起面内且杆与轨道垂 直。设两导轨面相距为 h,导轨宽为l, 导轨足够长且电阻不计，金属杆单位长度的电阻为r。现有一质量为 m的不带 2电小球以水平向右的速度v0撞击杆a1的中点，撞击后小球反弹落到下层面上 的c点。c点与杆 庆2初始位置相距为 so 求： trrsrn -a；【；： rsriiii i

5、birfl i ,二：7ir bii hibi*1 (1)回路内感应电流的最大值；(2)整个运动过程中感应电流最多产生了多少热量；【解析】设撞击后小球反弹的速度为(3)当杆a2与杆ai的速度比为1:3时，a2受到的安培力大小。vi ,金属杆ai的速度为voi ,根据动量守恒定律,mm vo ( vi) mvoi22根据平抛运动的分解，有s v1th igt22由以上2式解得v1 sg2h一 l1代入得voi-(vo2semg )2h回路内感应电动势的最大值为blvoi ,电阻为r 2lr ,所以回路内感应电流的最大值为imb(vo s 2h4r(2)因为在安培力的作用下,金属杆ai做减速运动，

6、金属杆 a2做加速运动，当两杆速度1c1c大小相等时，回路内感应电流为o,根据能量守恒定律，一mv。 q 2mv2221其中v是两杆速度大小相等时的速度，根据动量守恒定律，mvoi 2mv,所以v voi ,，一，r 1代入式得q=m16(3)设金属杆a1、又1,所以v1v21(v0 si);2ha2速度大小分别为v1、v2,根据动量守恒定律，mv01 mv1 mv2 ,3 1v01， v2 v01 4 4金属杆aa2速度方向都向右，根据右手定则判断a、a2产生的感应电动势在回路中方向相反，所以感应电动势为 e bl(v1 v2),电流为i e-,安培力为f bil,所以a2受到的安培力大小为

7、向相反。答案：16.(1)f=(v0。当然ai受到的安培力大小也如此，只不过方“1，- c(2)q= m(vo s16g )2 .2h )(3)f=盟(vo8rs 2h )2lr【点评】金属杆 aa2两杆在同一个金属 u形导轨上都做变速运动，运动方向相同(都向右)，同一时刻两杆都切割磁感线产生感应电动势，两个感应电动势在空间中的方向相同(都向外)，但两个感应电动势在回路中的方向相反，所以总电动势是这两个电动势之差，即bl (v1 v2)e bl(v1 v2),电流是i 红，方向为金属杆 a中感应电流的方向，因为a1 r,rb2l2 (v1 v2)比a2产生的感应电动势大，安培力是f -,方向都

8、和速度方向相反(都向r左)。例3. 2004年高考全国i卷第24题24.(18分)图中a1b1c1d1和a2b2c2d2为在同一竖直平面内的金属导轨，处在磁感强度 b的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在平面(纸面)向里。导轨的a1b1段与32b2段是竖直的，距离为l1； c1d1段与c2d2段也是竖直的，距离为 12。x1y1与x2y2为两根用不可伸长的绝缘轻 线相连的金属细杆，质量分别为m1、m2,它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨构成的回路的总电阻为 r。f为作用于金属杆 x1y1上竖直向上的恒力。 已知两杆运动 到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小

9、和回路电阻上的热 功率。v ,根据右手定则，xiyi与x2y2切割磁感ei bliv 和 e2b12v,线产生的感应电动势都向左，在回路中的方向相反，大小分别为 因为i2 li,所以总电动势为 e b(l2 li)v,方向与x2y2产生的感应电动势相同，感应电流为i e b(l2 li)v,方向为顺时针，如下图。设xiyi与x2y2受到的安培力分别为 fi、 r r_ 2b (l2 l1)vl1f2，根据左手定则判断安培力的方向为fi向上、f2向下，大小为f产bil 1 一1r2 zlb (1211 )vl 2f2=bi1212,受力图如下图。由5di根据力的平衡，有:f fimgtrt =

10、m2 gf2联立以上各式，解得：v f-2( ,1十许)2 gb2 (i2 li) 2r,所以作用于两杆的重力的功率的大小为f (mi + m2)gb2 (i2li) 2r ( mi+ m2) go(2)回路电阻上的热功率pe2r_ 22b (i2 li)v将以上v式代入得f ( mi+ m2) g 、 b(|2-id 2r较安.p f-( m1+m2)g d z ,、答木.p=b2(l2-li) 2 r(2)g2rf ( mi + m2) gp=b (i2-i1)【点评】 两杆切割磁感线产生的感应电动势在回路中的方向相反，所以总电动势为e b(l2 li)v,方向与感应电动势大的相同,e b

11、(l2 i1)v感应电流为i ,方向为总r r电动势的方向。两杆受到的安培力分别为fi、f2，根据左手定则判断安培力的方向,大小为f1= bii1_ 2b (l2i1)vi1rf2= bii2_ 2b (l2 i1)vl2r例4. 2004年高考广东卷第 15题15. (15分)如图，在水平面上有两xxx条平行导电导轨 mn、pq,导 轨间距离为i ,匀强磁场垂直 于导轨所在的平面(纸面)向 里，磁感应强度的大小为 b,两根金属杆1、2摆在导轨上，与导轨垂直,它们的质量和电阻分别为mp m2 和 rp r2,两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为,已知：杆1被外力拖动，以恒定的速度v。沿导

12、轨运动；达到年i定状态时，杆2也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻可忽略,求此时杆2克服摩擦力做功的功率。【解析】 根据右手定则，杆 1产生的感应电流方向向上，则杆 2中电流方向向下，杆 2 受的安培力向右，速度向右，设为 v,由于两杆运动时产生的感应电动势在回路中的方向相反，所以，总感应电动势为e bl(v0 v) bii感应电流i 杆2作匀速运动，它受到的安培力等于它受到的摩擦力,联立以上3式解得：v v0m2g(r1 r2) d导体杆2克服摩擦力做功的功率pm2gv解得 pm2gv0(rir2)b2l2(v15)r1r2r1r2【点评】本例中杆2中由于杆1产生的感应电流流过而受安培力，才产

13、生运动从而产生感应电动势，因为杆2产生的感应电动势与杆 1产生的感应电动势在回路中的方向相反，所以总感应电动势为e bl（v0 v），感应电流为i ，安培力为f = bilr1 r222b2(v0v)l2r1r2两杆受的安培力大小相等、方向相反，对杆1,是阻力，对杆2,是动力。如维持匀速运动,杆2的速度v必小于杆1的速度v0。例5. （2010年南京市三模第 15题）如图所示，两根足够长的平行导轨由倾斜和水平两部分连接组成，导轨间距l 1m,倾斜边界m245,水平部分处于磁感应强度bmn与导轨垂直，金属棒 ab质量0.2kg，电阻r23 ，导轨电阻不计。棒ab放在斜导轨上，与水平导轨高度差h1

14、t的匀强磁场中，磁场方向竖直向上，磁场左m10.2kg，电阻 r11两棒与导轨间动摩擦因数1m ,棒cd放在水平导轨上,金属棒cd质量0.2 。开始时,距mn距离为s0 ,(1)(2)(3)2两棒均与导轨垂直，现将 ab棒由静止释放。取 g 10m/s ,求:棒ab运动到mn处的速度大小；棒cd运动的最大加速度；解：（1）根据动能定理，对 ab棒有：m1 ghm1gcos4500 一丫0 , sin4502若导轨水平部分光滑，要使两棒不相碰，棒 cd距mn的最小距离。解得：v0 4m/s（2）棒ab运动到mn处，棒cd运动的加速度最大,emblv。，i一e一，fbil,所以 fr1 r221

15、2b l v。2212 12 4rir21n代入数据，解得am 3m/s2。（3）若要不相碰，两杆最终速度相等，设为 v,因两棒都是在大小相等的安培力作用下，所以两棒的加速度大小任何时刻都相等，所以ab棒速度的减小量等于 cd棒速度的增加量，1 1即 v。 v v ,所以v -v0 ,速度的变化为一v0。2 2设某时刻，ab棒速度为v1,cd棒速度为v2,则该时刻回路的感应电动势为e bl（v1 v2）,bl电流为i bl（v1 v2）,安培力_ 2 2b l /、11/a (mv2) (mm(rr2)0.2(1 3)5为v a t -(v1v2) t,当速度变化为4这就是在这段时间内 ab棒壁cd棒多运动的g_ b l为 f (v1 v2), 加速度为r1 r2、5v2) (m v2),对短时间t ,速度的变化41,t 5 vo 时，(v1 v2) t s0 ,因为j ,414乡，所以s0-v0-4m 1.6m。5 210归纳总结:1 .电磁感应中“轨道”中的“双杆运动”问题，或者由于两杆的长度不同（如例3）,或者由于两杆的速度不同（如例2、例4）,两杆产生的感应电