导数的基本概念及性质应用

1、导数的基本概念及性质应用考点：1、掌握导数的基本概念及运算公式，并能灵活应用公式求解2、能运用导数求解单调区间及极值、最值3、理解并掌握极值及单调性的实质，并能灵活应用其性质解题。能力：数形结合方法：讲练结合新授课：一、知识点总结：导数的基本概念与运算公式1、导数的概念函数y=f(x)的导数f(x),就是当 x 。时，函数的增量 y与自变量的增量 x的比筌的极限，即 f (x)= lim 兽=lim f(x xx xax 0ax 0说明：分子和分母中间的变量必须保持一致2、导函数函数y = f (x)在区间(a, b )内每一点的导数都存在，就说在区f(x)间(a, b )内可导，其导数也是(

2、a ,b )内的函数，叫做f(x)的导函数，记作f (*)或丫*,函数f(x)的导函数f (x)在xxo时的函数值f (x),就是f (x)在xo处的导数3、导数的几何意义设函数y = f (x)在点x0处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点m (x0, y0)处的切线斜率。4、求导数的方法(1)基本求导公式m、m 1 ,c 0(x ) mx (m q)(sin x) cosx (cos x) sin x(ex)ex(ax)ax ln a(ln x)(log x) wa(2)导数的四则运算(u v) u v (uv) uv uv kv 0)(3 )复合函数的导数设u g(x)在点

3、x处可导，y =在点f (x)处可导，则复合函数 fg(x)在点x处可导，fx ( (x) f (u) (x)导数性质：1、函数的单调性设函数y= f(x)在某个区间内可导，若f (x)0,则f(x)为增函数；若f (x) f(x0),则称f (x0)为函数的一个极大(小)值点。称x0为极大(小)值点。求可导函数极值的步骤。求导数f (x)求方程f (x) =0的根检验f (x)在方程f (x) =0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近 为负，那么函数y= f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧 为正，那么函数y= f(x)在这个根处取得极小值。说明：极值点的导

4、数为0,导数为0的点不一定是极值点(隐含条件，说明某点是极值点，相当于z出了一个f (x) = 0的方程3 .函数的最大值与最小值设y= f(x)是定义在区间a ,b 上的函数，y= f (x)在(a ,b )内有导数，求函数y= f (x) 在a ,b 上的最大值与最小值，可分两步进行。求y= f(x)在(a ,b )内的极值。将y= f(x)在各极值点白极值与 f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。若函数y= f(x)在a ,b 上单调增加，则f (a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值； 若函数y= f (x)在a ,b 上单调减少，则f (a)为函数的

5、最大值，f(b)为函数的最小值。说明：极大值小于等于最大值，极小值大于等于最小值二、例题讲解题型一导数的概念【例1】设f(x)在点x0处可导,a为常数，则f (x a x) f (x a x) lim x 0v于()a.f/(x。) b.2af/(x。)c.af/(x 0)d.0f (x x) f (x )【变式】 设f(x)在x0处可导lim xx 0题型二导数的几何意义、物理意义2x【例2】(1)求曲线y -在点(1,1)处的切线方程；x 1t 12(2)运动曲线万程为 s 2t2,求t=3时的速度。t2分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数 y=f(x)在x0处的导数就是曲线

6、y=f(x)在点p(x, y)处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数s(t)对时间的导数。题型三利用导数求单调区间【例3】求下列函数单调区间3(1) y f(x) x2x2 2x 5(2) y(3) yx (k 0)2.(4) y 2x ln题型四：利用导数求函数的最(极)值【例4】求函数f(x) x3 3x 1在闭区间-3 , 0上的极值、最大值、最小值题型五：原函数图像与导函数图像y(a)(b)(c)(d)2、函数f (x)的定义域为开区间(a,b),导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f (x)在开区间(a, b)内有极小值点()a. 1个b. 2个c. 3个d. 4个题型六

7、：利用极值的本质及单调性求解析式【例6】已知函数f (x) ax3 bx2 3x在x 1处取得极值。(i)讨论f(1)和f ( 1)是函数f(x)的极大值还是极小值;(ii)过点a(0,16)作曲线y f(x)的切线，求此切线方程。【例71已知函数f x经过点(1,0), (2,(1)xo 的值；(2) a、3. 2ax bx cx在点xo处取得极大值5,其导函数0)如图所示.求:b、c的值.【例8】已知函数f (x) =x3+ax2+bx+c,当x=1时，取得极大值 7;当x=3时，取得极小值.求这个极小值及 a、b、c的值【例9】已知f(x) ax42bx c的图象经过点(0,1),且在x

8、 1处的切线方程是y x 2 (1)求 yf(x)的解析式；(2)求y f(x)的单调递增区间题型七：含参数的讨论【例10(1)如果函数f(x)=x3+ax的图象上各点处的切线斜率都为正数，则实数 a的取值范围是a.(0，+)b.0,+)c.(3,+ )d.3,+ )(2)如果函数f(x)=x3+ax的图象上有平行于 x轴的切线，则实数a的取值范围是【例11】已知函数f x ax3 x2 bx 2 a, b,c rs a 0在区间,0上都是增函数，在(0, 4)上是减函数.(1)求b的值;(2)求 a的取值范围题型八：综合应用r【例12】平面向量ar1),b1 (2j3),若存在不同时为0的实

9、数2r r 2x a (t 3)b, ykcrtb,且 xf (t)的单调区间例题答案:【例1】解:limx 0f(x a x) f(x a x)lxm0f(x a x) f(x) f(x) f(x a x)a lima x 0f(x0 a x) f(x0)f(x0 a x)f(x0)lim -2af/(x。)故选（c）【变式】：-1【例2】（1）y_2-2(x1) 2x/2. 2(x 1)2x2 2x2(x2 1)2，y|0,即曲线在点（1,1）处的切线斜率k=0因此曲线y2x在（1, 1）处的切线万程为x2 1y=1(2)st 1 t2(2t2)t2 2t(t 1)t44t4tslt 32

10、27121126。27【例 3】(1) y 3x2 x 2(3x 2)( x 1) x (3)(1,)时y 0x.71）（i,1）3k) (k,y 0 x ( k,0) (0,k) y 0k), (k,)( k ,0) , (0, k)/、1(4) y 4x 4x2 1定义域为（0,【例4】1x (0,-) y 02略，注意强调学生的步骤完整性【例5】1、c2、 a【例6】分析:(1)分析x=1处的极值情况，关键是分析x= 1左右f(x)的符号(2)要分清点a (0, 16)是否在曲线上.解:(1)f (x)=3ax2+2bx-3,依题意，f (1) = f(1) =0,即3a3a2b2b3

11、0,3 0.解得a=1b=0.1. f (x) =x3 3x,f (x) =3x2 3=3 (x+1) (x1).令 f (x) =0,得x= 1, x=1.若 xc ( 8, 1) u (1, +8),则 f (x) 0,故f (x)在(8, 1)上是增函数，f (x)在(1, +8)上是增函数.若xc ( 1, 1),则f (x) v 0,故f (x)在(一1, 1)上是减函数.所以f(1) =2是极大值，f(1)= 2是极小值.y0=x03 3x.(2)曲线y=x33x,点a (0, 16)不在曲线上，设切点 m (x, y),则- f (x0)=3x023,，切线方程为 y y0=3

12、(x。21) (xx0).代入 a (0, 16)得 16 x03+3x0=3 (xo21) ( 0x0).解得 x0= - 2,m (2, 2),切线方程为 9xy+16=0.【例7】解:(1)评述：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键函数(2)由于 f x3ax2 2bx c,f 10 3a 2b c 0f 2 012a 4b c 0b9f 1 5 a b c 5c 12【例8】解：f （x） =3x2+2ax+b.据题意,1, 3是方程3x2+2ax+b=0的两个根，由韦达定理得2a一 a= 一 3, b= 一 91. f (x) =x3 3x2 9x+c- f

13、( 1) =7,c=2极小值 f(3) =33-3x32-9x3+2=-25，极小值为25, a= - 3, b=-9, c=2【例9】解：（1） f （x） ax42bx c的图象经过点（0,1）,则c 1,一，、3.f (x) 4ax 2bx, kf 4a 2b 1,切点为(1, 1),则 f (x) ax4bx2 c的图象经过点（1, 1）23a,一一 5信a b c1,得a,b2f(x)l c 33,103.10 f (x) 10x 9x 0, x 0,或x 1010单调递增区间为（哈。）,（乎【例 10(1) a(2) (- , 0【例11解：由条件知x 0是函数yf x的极值点.2

14、f x 3ax 2x b,令 f 0 0,得 b 0.已求b 0, f x 3ax2 2x.令f x 0,得x 0 .由条件知x 0 3a为极大值点，则x 2应为极小值点.又知曲线在区间（0, 4）上是减函数.3a4,6a 110,得 a 0,-3a6r【例12】解：由a厂 r 1布/日r三八r / 1),b(2,/得附 o,ar2, b三、rra(t3)bg ka tb)0, ka2 tago2 r rk(t3)ago2 r 2t(t 3)b04k t3 3t3 2f4t所以增区间为课堂演练:1.若曲线y=f (x)在点02.函数f(x)2x2a.32万3.函数a.1 30,k 4(t3 g

15、0,得 t4(,1),(1,133t),f小 3t)1,或t 1; 3t243 g0,得 14);减区间为1,1)。(x0, f (x0)处的切线方程为b. f (x。)0b. a 0,从而x12,x2 2,一2即 a12 a 6 解不等式组得2waw 2.a2 12 6 a.，a的取值范围是2,2.四、课堂小结:导数是高中数学中重要的内容， 是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值。知识点需要熟悉，但是更重要的是掌握其本质，并能灵活应用于各种题