必修五数列精选练习(含答案)

1、一.选择题（共6小题）1.已知x+1是5和7的等差中项，则x的值为（）a. 5 b. 6c. 8d. 92.已知数列an中，ai=3, an+i=2an+1,则 a3=()a. 3 b. 7 c. 15 d. 183数列.中,若a, e则这个数列的第10项am（4.数列上.-1+21+2+3的前n项和为a.5.已知等差数列an中，sn是它的前n项和，若&60, sl70,则当sn最大时n的值为（）a. 8 b. 9 c. 10 d. 166.设等比数列&的前n项和为sn,若*=4,则*()13|15a. 3 b. c. d. 444.解答题（共10小题）7,已知数列an的前n项和s=3+2n,

2、求an8 .已知数列an是一个等差数列（1） a1=1 , a4=7,求通项公式an及前n项和sn；（2）设 sr=14,求 a3+a5.9 .已知等差数列an的前n项的和记为sn.如果a4=- 12, a8=-4.(1)求数列an的通项公式；(2)求&的最小值及其相应的n的值.10 .已知数列an与 bn,若ai=3且对任意正整数n满足an+i - an=2,数列bn 的前n项和sn=n2+n.(1)求数列an, bn的通项公式;(2)求数列一的前n项和tn.11 .已知等差数列an的公差不为零，a1=11,且a2, a5, a6成等比数列.(i )求an的通项公式；(h )设 sn=| a

3、1|+| a2|+| a3|+ - +| an| ,求 sn.12 .已知等差数列an中，a3=8, a6=17.(1)求 a1，d；(2)设bn=an+2n一1,求数列bn的前n项和sn.13 .已知等比数列an的前n项和为$=a?2n+b,且ai=3.(1)求a、b的值及数列an的通项公式；(2)设bn=-,求数歹1bn的前n项和tn .14 .设数列an的前n项和$=13叫彳(nm(1)求ai, a2的值;(2)求数列an的通项公式;(3)设 tn? (ncn*),证明:t1+t2+ , +tn 2)(i )证明：4)是等差数列； an(n )求数歹1an的通项；入的取值范围.(m)若人

4、出人对任意n2的整数包成立，求实数16 .设各项均为正数的等比数列an中，ai+a3=10, a3+a5=40.设bn=log2an.(1)求数列bn的通项公式；(2)若 ci=1,cn+1 =cn+an,求证：cn0,s170且si70且si7v0 a8+a9 0,a90,数歹1的前8项和最大故选a【点评】本题考查等差数列的性质和前 n项和，本题解题的关键是看出所给的数 列的项的正负，本题是一个基础题.6. （2016春?南充校级期末）设等比数列an的前n项和为若泸=4,（ ）a. 3 b.普 c.学 d. 4【分析】由等比数列an的性质可得：s3, s6-s3, s-s6成等比数列，可得:

5、 36t飞）2=s? （s9-s6）,又1亘=4,代入计算即可得出.【解答】解：由等比数列an的性质可得：s3, s6-s3, s9-s6成等比数列, 解得 s9=11s6.4即，故选：b.【点评】本题考查了等比数列的求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.解答题(共10小题)7. (2016秋?延安期末)已知数列an的前n项和sn=3+2n,求an.【分析】利用公式av-、 可求出数列an的通项an.n通【解答】解：ai=si=3+2=5,an=s-& i= (3+2n) (3+2n1) =2n 1,当 n=1 时，2ni=1wa1,5, n=la =i 1_ .、n2【点

6、评】本题考查数列的性质和应用、 数列的概念及简单表示法，解题时要注意 前n项和与通项公式之间关系式的灵活运用.8. (2016春?郸县期末)已知数列an是一个等差数列(1) a1=1, a4=7,求通项公式an及前n项和sn；(2)设 s7=14,求 a3+a5.【分析】(1)设出等差数列的公差，由已知求得公差，代入等差数列的通项公式 得答案;(2)由已知结合等差数列的前n项和求得a1+a7,再由等差数列的性质得答案.【解答】解：(1)设&的公差为d,则=2,y-1_甲)r n(l+2n-l)2%2n-1, 5rl =n7(ai + a7)(2) v s 广y-=14,.二 ai+a7=4,由

7、等差数列的性质，得33+a5=ai+a7=4.【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础题.9. （2015秋？衡阳县期末）已知等差数列an的前n项的和记为如果a4=- 12, a8= 4.（1）求数列an的通项公式；（2）求sn的最小值及其相应的n的值.【分析】（1）可设等差数列an的公差为d,由a4=-12, a8=-4,可解得其首项 与公差，从而可求得数列an的通项公式；（2）由（1）可得数列an的通项公 式an=2n -20,可得：数列an的前9项均为负值，第10项为0,从第11项开 始全为正数，即可求得答案.【解答】解：（1）设公差为d,由题意可得，/+td=-

8、4故可得 an=a1+ （n-1） d=2n-20（2）由（1）可知数列an的通项公式an=2n-20,令 an=2n 200,解得 n10,故数列an的前9项均为负值，第10项为0,从第11项开始全为正数，故当n=9或n=10时，&取得最小值，故 s9=s10=10a1+:产-180+90=- 90【点评】本题考查等差数列的通项公式，及求和公式，利用等差数列的通项公式分析sn的最值是解决问题的捷径，属基础题.10. （2014秋？信阳期末）已知数列an与bn,若a1=3且对任意正整数n满足 an+1 an=2,数歹!j bn的前 n 项和 sn=n2+n.（1）求数列an, bn的通项公式；

9、（2）求数列屋的前n项和tn.【分析】(1)首项利用递推关系式和前n项和公式求出数列的通项公式.(2)利用(1)的结论求出性数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的 和.【解答】解：(1)数列anai=3且对任意正整数n满足an+i-an=2则：数列为等差数列.an=3+2 (n-1) =2n+1数列bn的前n项和sn=n2+n.贝u: bn=si & 1=n2+n (n1) 2 (n 1) =2n当n=1时，b1=2符合通项公式.则：bn=2n(2) 根据(1)的结论：cn= 二=(ll)4ncn+l) 4 n n+1 7tn=c1+c2+, +cn=- . -z jl on htl=【

10、点评】本题考查的知识要点：数列通项公式的求法，利用裂项相消法求数列的 和，属于基础题型.11. (2015秋？珠海期末)已知等差数列an的公差不为零，a=11,且a2, a5, a6成等比数列.(i )求an的通项公式；(h )设 &=| a+| a2|+| a3|+ +| an| ,求 s .【分析】(i)设an的公差为d,由题意可得d的方程，解方程可得通项公式；(ii)由(i)知当n06时an0,当n7时an0,当n7时an0,故当 n 7 时，&=|ai|+|a2|+|a3|+ +| %|+|a7|+ +|an|=ai+a2+a3+%(az+as+an)=2 (ai+a2+a3+-+a6

11、) - ( ai+a2+-+an) =72- (12n-n2) =n2-12n+72.综合可得sn =12n- ri2，n2-l 2nf72, n7【点评】本题考查等差数列的求和公式和通项公式， 涉及分类讨论的思想,属中档题.i2. （20i6春？扬州期末）已知等差数列an中，a3=8, as=i7.（i）求 ai, d；（2）设bn=an+2n 求数列bn的前n项和sn.if【分析】（i）设公差为d,则得到-解得即可，a国二a什5m（2）由（i）求出an的通项公式，得到bn的通项公式，根据等差数列和等比数 列的求和公式计算即可.【解答】解：（i）由，a-i- at-l-2d=8可解得：ai=

12、2, d=3. a百二 a 产d二。7(2)由(i)可得 an=3n- i,所以b30t+2rh所以,皿腔1+普:室+2j【点评】本题考查了等差数列和等比数列的求和公式，属于基础题.i3. （20i4春？永昌县校级期末）已知等比数列an的前n项和为$=a?2n+b,且ai=3.（i）求a、b的值及数列an的通项公式;(2)设,求数歹i bn的前n项和tn.【分析】(1)由等比数列an的前n项和为sn=a?2n+b,且a1=3,知a=2a+b=3,a2=4a+b -(2a+b)=2a,a3=(8a+b) (4a+b)=4a,由止匕能求出a、b 的值及数列 an的通项公式.(2) bn= %n 3

13、2马2(1+”.j)由此能求出数列bn的前n项和tn.【解答】解:(1) .等比数列an的前n项和为sn=a?2n+b,且ai=3.a1=2a+b=3, %=4a+b- (2a+b) =2a, a3= (8a+b) - (4a+b) =4a,-=2. . a=3, b= - 3.an=3?2n一1 6分(2) bn= %tn= (1+-+47+-+ )32 22 人4+ 112n-1八(2 -y211-1(1 一旦) 2n+- +2(12n212n).1如21rti【点评】本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.14. (2015春？肇庆期末)设数列an的前

14、n项和sn=1%*m2叫(ncn)4(1)求a1, a2的值;(2)求数列an的通项公式;(3)设 tn2n3n(ncn*),证明：ti+t2+- +tn2【分析】（1）根据数列的和的定义得出方程组445至5亍4al + a2=ta2,求解即可.（2）将%二自凯一2m代入5n年 kj5.4（2肝匕）（*一1），化简裂项得出%二,2n2” i= _三sn-|t2n+l_1x2m/2 2-1 2 ，展开tl+t2+ttn利用放缩法求解证明即可.【解答】解：（1）由s =1匕3，行解得 ai=2, a2=12.（2）当n2时,an- n ，仇-1一3 虱力 3?+3告会114）所以数列% + 2巧是

15、以ai+2=4为首项，4为公比的等比数列，故 二叩一2匕 又ai=2满足上式，所以数列an的通项公式/二产-2rl （ncn*）.（3）将4二4八_/代入2向/,得54（2匚1）（2-1）,2a?n311所以%=弓二咤（t,取 我*1-1）（27） 22-12 t一十1叶（了1t-i-1 22-1)十:22-1 23-1j+(-2n-l 2ith)-1n+1一)2)(i )证明：4是等差数列； an(n)求数列、的通项；(m)若人也人对任意n 2的整数包成立，求实数 人的取值范围.口 言【分析】(i )将已知条件整理得：-1j3g2)，由此求得卜l是以1 % an-1an为首项，3为公差的等差

16、数列.(h)由(i)可得： 11+3(n-l)=3n-2,由此求得数列an的通项.%(m)由条件可得一叫)3n-2),利用数列的单调性可得cn为单调递增 3s-1j数列，所以c2最小，c，兽,由此求得入的取值范围.【解答】解：(i)将3anan-1+an-an-1=0 (n2)整理得：上an arrl3(n2)所以d-是以1为首项，3为公差的等差数列.an(h)由(i)可得： 11+3(n-l)=3n-2|,所以%*3n-2+出+口久恒成立，整理得：工 产 (3n+l) (3n-2)i 3n(3n+d 3口-2) cn= 3(n-l)则可得_ j 3n+4) c3n+1)。什1) (3n-2)

17、 _(凯+1) 3n-4)yu 左3(n-l)= 一3n(n-l)-因为n2,所以(3n+l)(3n-4)3n(n-l)0,即 cn为单调递增数列，所以c2最小,28c2k所以人的取值范围为j”.粤. j【点评】本题主要考查等差关系的确定， 数列的递推式的应用，数列与不等式的综合，属于难题.16. (2015春？高安市校级期末)设各项均为正数的等比数列an中，ai+a3=10,a3+a5=40.设 bn=log2an.(1)求数列bn的通项公式；(2)若 c1 = 1 , cn+1 =cn+,求证：cn3.(3)是否存在正整数k,使得一-+-+上对任意正整数1m诃n均成立?若存在，求出k的最大值，若不存在，说明理由.【分析】(1)设出等比数列的公比q,运用等比数列的通项公式，解得首项和公 比，再由对数的运算性质可得通项公式；(2)运用累加法求得cn,再由错位相减法求和，即可得证；(3)假设存在正整数k,令丹=1 +1 + 1 = 1 + 1 +判断单bjlbn+n n+1 n+2 2n调性，进而得到最小值，解不等式可得 k的范围.【解答】解：(1)设各项均为正数的等比数列an的公比为q,则 a1+a1q2=10, a1q2+a1q4=40,解得 a1=2, q=2,即有an=2n,bn=log22n=n；(2)