向量法解立体几何[沐风教学]

1、空间空间“综合综合”问题问题 1优讲课堂 复习引入复习引入 2优讲课堂 如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中， OABC,AOC=90，SO面面 OABC，且，且OS=OC=BC=1，OA=2。 求：求： (1)异面直线异面直线SA和和OB所成的角的余所成的角的余 弦值弦值 (2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值 (3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值 O A B C S x y z 【课后作业课后作业】 3优讲课堂 z x y F1 1 F2 2 F3 3 A C B O 500kg 例例1、如图、如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为一块均匀的正三角形

2、面的钢板的质量为 ， 在它的顶点处分别受力在它的顶点处分别受力 、 、 ，每个力与同它相邻的，每个力与同它相邻的 三角形的两边之间的夹角都是三角形的两边之间的夹角都是 ，且，且 . 这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小 为多大时，才能提起这块钢板？为多大时，才能提起这块钢板？ 500kg 1 F 2 F 3 F 60 123 200FFFkg 4优讲课堂 5优讲课堂 F1 1 F3 3 F2 2 F1 1 F2 2 F3 3 A C B O 500kg F1 1 F3 3 F2 2 6优讲课堂 7优讲课堂 例例4 如图，在四棱锥如

3、图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方是正方 形，侧棱形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC,E是是PC的中点，的中点， 作作EFPB交交PB于点于点F. (1)求证：求证：PA/平面平面EDB (2)求证：求证：PB平面平面EFD (3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。 A B C D P P E E F F 8优讲课堂 A B C D P P E E F F X Y Z G 解：如图所示建立空间直角坐标系，点解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，为坐标原点， 设设DC=1 (1)证明：连结证明：连结AC,AC交交BD于点于点G,连结连结EG (1,0

4、,0),(0,0,1), 1 1 (0, ) 2 2 AP E 依依题题意意得得 )0 2 1 , 2 1 (，的坐标为故点 是此正方形的中心，所以点 是正方形，因为底面 G G ABCD 9优讲课堂 A B C D P P E E F F X Y Z G ) 2 1 , 0 , 2 1 (),1, 0 , 1 (EGPA且 EGPAEGPA/2，即所以 EDBPAEDBEG平面且平面而, EDBPA 平面所以，/ (2)求证：求证：PB平面平面EFD 10优讲课堂 A B C D P P E E F F X Y Z ) 1, 1 , 1 (),0 , 1 , 1 (2PBB）证明：依题意得（

5、 0 2 1 2 1 0), 2 1 , 2 1 , 0(DEPBDE故又 DEPB 所以 , , EDEEF PBEF 且 由已知 EFDPB平面所以 (3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。 11优讲课堂 A B C D P P E E F F X Y Z 的平面角。是二面角故 ）可知由（）解：已知（ DPBCEFD DFPBEFPB ,2,3 ) 1,(),(zyxPFzyxF则的坐标为设点PBkPF 因为 ( , ,1)(1,1, 1) ( , ,) x y zk k kk 所所以以 kzkykx1,即 0DFPB因为 0131 )1 ,() 1, 1 , 1 ( kkkk

6、kkk所以 3 1 k所以 12优讲课堂 ) 3 2 3 1 3 1 (，的坐标为点F ) 2 1 , 2 1 , 0(的坐标为又点E ) 6 1 , 6 1 , 3 1 (FE所以 2 1 3 1 6 1 3 6 6 6 ) 3 2 , 3 1 , 3 1 () 6 1 , 6 1 , 3 1 ( cos FDFE FDFE EFD因为 .60,60 的大小为即二面角所以DPBCEFD13优讲课堂 1如图 3-5，已知两条异面直线所成的角为， 在直线 a、b 上分别取 E、F，已知 AE=m，AF=n， EF=l，求公垂线 A A的长 d. EFEAA AAF 解： 2 2 ()EFEAA

7、AAF 222 2()EAA AAFEA A AEA AFA A AF 当当E,F在公垂线同一侧时取负号在公垂线同一侧时取负号 当当d等于等于0是即为是即为“余弦定理余弦定理” ,AAEA AAAF =（或（或），），AFEA, 2 222 2lEAA AAFEA AF 222 2cosmdnmn 222 2cosdlmnmn 14优讲课堂 n a b C D A B CD为为a,b的公垂线的公垂线 则则 | | n ABn CD A，B分别在直线分别在直线a,b上上 已知已知a,b是异面直线，是异面直线，n为为 的的 法向量法向量 异面直线间的距离异面直线间的距离 即即 间的距离可转化为向量

8、间的距离可转化为向量 在在n上的射影长，上的射影长， 21,l lCD 15优讲课堂 1111 0 1 .4, 2,90 , ABCABCAAABC ACBCBCAEABCEAB 例已知：直三棱柱的侧棱底面中 为的中点。求与的距离。 z x y A B C C1 ).4 , 2 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 0(, 1 BAECxyzC则解：如图建立坐标系 ),4 , 2 , 2(),0 , 1 , 1 ( 1 BAEC 则的公垂线的方向向量为设).,(, 1 zyxnBAEC 0 0 1 BAn ECn 即即 0422 0 zyx yx 取x=

9、1,则y=-1,z=1,所以 ) 1 , 1, 1 ( n ).0,0, 1 (,ACAC 在两直线上各取点 . 3 32 | | 1 n ACn dBAEC 的距离与 E A1 B1 16优讲课堂 x y z A B C D E 2、如图，四面体、如图，四面体DABC中，中，AB，BC，BD两两垂直，两两垂直， 且且AB=BC=2，点，点E是是AC中点；异面直线中点；异面直线AD与与BE所成所成 角为角为 ，且，且 ，求四面体，求四面体DABC的体积。的体积。 10 cos 10 17优讲课堂 3、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是1， 且平面

10、且平面ABCD与平面与平面ABEF互相垂直。活动弹子互相垂直。活动弹子M，N 分别在正方形对角线分别在正方形对角线AC和和BF上移动，且上移动，且CM和和BN的的 长度保持相等，记长度保持相等，记CM=BN= （1）求）求MN的长；的长； （2）a 为何值时？为何值时？MN的长最小？的长最小？ （3）当）当MN的长最小时，的长最小时， 求面求面MNA与面与面MNB所成所成 二面角的余弦值。二面角的余弦值。 (02).aa A B C D E F M N 18优讲课堂 19优讲课堂 20优讲课堂 a 4、如图、如图6，在棱长为，在棱长为 的正方体的正方体 中，中， 分别是棱分别是棱AB,BC上的动点，且上的动点，且 。 （1）求证：）求证： ； （2）当三棱锥）当三棱锥 的体积取最大值时，求二的体积取最大值时，求二 面角面角 的正切值。的正切值。 CBAOOABC BFAE ECFA BEFB BEFB FE、 O C B A O A B C E F 图图6 21优讲课堂 O C B A O A B C E F 图图6 22优讲课堂 5、