变上限积分NL公式

1、第二节第二节 微积分学基本公式微积分学基本公式 与基本定理与基本定理 作业作业 3.2(A) 3(4) (6) , 4(4)(5)(6)(7),6,7,10,12, (B)2,3 变上限积分NL公式 一、问题的提出一、问题的提出 在变速直线运动中在变速直线运动中, 已知位移函数已知位移函数)(ts与速度函数与速度函数 )(tv 之间有关系之间有关系: )()(tvts 物体在时间间隔物体在时间间隔 , 21 TT 内经过的路程为内经过的路程为 )()(d)( 12 2 1 TsTsttv T T .)()(的原函数称为这里tvts ).()()(aFbFdxxf b a ? 猜测：猜测： )(

2、)(tftF这里有 变上限积分NL公式 x a dxxf)( 考察定积分考察定积分 x a dttf)( 记记.)()( x a dttfx 变上限积分（函数，且可导）变上限积分（函数，且可导） 二、变上限积分及其导数二、变上限积分及其导数 a b t y o )(x x y=f(t) 变上限积分NL公式a bx y o 定理定理1 (微积分第一基本定理微积分第一基本定理) xx 证证)()(xxx dttfdttf x a xx a )()( )(x x xx x dttf)( xf )( ,xxx )(limlim 00 f x xx ), 0(xx ).(xf 变上限积分NL公式 如如果

3、果)(tf连连续续，)(xa、)(xb可可导导， 则则dttfxF xb xa )( )( )()(的的导导数数 )(x F 为为 推论推论 )()()()(xaxafxbxbf 证证 dttfxF xa xb )()( 0 )( )( 0 dttf xb )( 0 )(,)( )( 0 dttf xa )()()()()(xaxafxbxbfxF )( )( )()( xb xa dttf dx d xF 变上限积分NL公式 例例1 1 求极限求极限.lim 2 1 cos 0 2 x dte x t x 解解 1 cos 2 x t dte dx d , cos 1 2 x t dte d

4、x d )(cos 2 cos xe x ,sin 2 cos x ex 2 1 cos 0 2 lim x dte x t x x ex x x 2 sin lim 2 cos 0 . 2 1 e 0 0 分析：这是分析：这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则. 变上限积分NL公式 ttftxf x d)()( 0 例例2. ,0)(,),0)( xfxf且且内内连连续续在在设设 证明证明 )(xF ttft x d)( 0 ttf x d)( 0 在在),0( 内为严格单调递增函数内为严格单调递增函数 . 证证: )(xF 2 0 d)(ttf x ttfxfx x d)(

5、)( 0 2 0 d)(ttf x ttfxf x d)()( 0 )(tx 0 .)0)(内为严格单调增函数，（在xF 只要证只要证 0)( x F 2 0 d)(ttf x xfx)()( )(xf )0(x 变上限积分NL公式 定理定理2 2（原函数存在定理）（原函数存在定理） 定理的重要意义：定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系间的联系. 定义定义2.1 (原函数原函数)如果在区间如果在区间 I 上有上有)()(xfxF 一一个个原原函函数数中

6、中的的在在为为则则称称 )()(IxfxF 变上限积分NL公式 如果如果F（x)是是 f ( x ) 在在 I 中的一个原函数中的一个原函数 定理定理3 (微积分第二基本定理微积分第二基本定理) 则则F（x）+C是是f ( x )在在I中的所有原函数。中的所有原函数。 关于原函数的说明：关于原函数的说明： （1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxF C CxF )(都都是是)(xf的的原原函函数数. （2）若）若 和和 都是都是 的原数，的原数，)(xF)(xG)(xf 则则CxGxF )()(（ 为任意常数）为任意常数）C 变上限积分NL公式 定理定理 4 4（微积分

7、基本公式）（微积分基本公式） 证证 三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 )()(xfxF aFbFdttf b a 故故 )(xfx CxFx aFCax 得得令令 NewtonLeibniz公式公式 ),()()(aFxFdttf x a 变上限积分NL公式 )()()(aFbFdxxf b a b a xF)( 注意注意 当当ba 时，时，)()()(aFbFdxxf b a 仍成立仍成立. 例例3 3 2 0 )1sincos2( dxxx 2 0 cossin2 xxx . 2 3 例例4 4 求求 解解 . 1 1 2 dx x 当当0 x时时， x 1 的的一一个个原原函函数

8、数是是|ln x, dx x 1 2 1 1 2 |ln x. 2ln2ln1ln 变上限积分NL公式 3 2 3 4 )( 2 xxxf 解解： 例例5. 设设,d)(2d)()( 2 0 1 0 2 xxfxxfxxxf 求求).(xf 定积分为常数定积分为常数 , ,d)( 1 0 axxf 设设 bxxf 2 0 d)( abxxxf2)( 2 , 则则 1 0 d)(xxfa 3 3 x 2 2 bx ax2 0 1 2 0 d)(xxfb 3 3 x 2 2 bx ax2 0 2 a b 2 23 1 ab42 3 8 , 3 1 a 3 4 b 故应用积分法求此常数故应用积分法求

9、此常数 . 变上限积分NL公式 任意常数任意常数 积分号积分号 被积函数被积函数 四、不定积分四、不定积分 CxFdxxf )()( 被积表达式被积表达式 积分变量积分变量 函数函数 f ( x )的所有原函数的所有原函数F（x)+C的表达式的表达式， 称为称为 f ( x )的不定积分（集合），记为的不定积分（集合），记为 dxxf)( Cxdxx 32 3 Cxxdxsincos Cxdx x ln 1 例如例如 变上限积分NL公式 dxxf)( ,)()(dxxfdxxfd dxxF)( .)()( CxFxdF 结论结论： 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的.

10、 1、基本性质、基本性质 dxxgdxxfdxxgxf)()()()( dxxfkdxxkf)()( dx d ),(xf ,)(CxF 变上限积分NL公式 2 2、 基本积分表基本积分表 dxx )2(Cx 1 1 1 )1( dx x 2 1 C x 1 dx x 1 Cx 2 dx x 1 )3(Cx ln kCkxkdx()1(是常数是常数); dx x 2 1 1 )4( ;cotarctanCxarcCx dxxx 2 dxx 2 5 C x 1 2 5 1 2 5 . 7 2 2 7 Cx 变上限积分NL公式 dx x 2 1 1 )5(;arccosarcsinCxCx xdx

11、cos)8(;sinCx xdxsin)9(;cosCx x dx 2 cos )10( xdx 2 sec;tanCx dxe x )6(;Ce x dxa x )7(; ln C a a x 变上限积分NL公式 xdxxtansec)12(;secCx xdxxcotcsc)13(;cscCx shxdx)14(;Cchx chxdx)15(;Cshx x dx 2 sin )11( xdx 2 csc;cotCx dx x 2 1 1 Cxx 2 1ln（16） 变上限积分NL公式 例例1 1 求积分求积分 解解 .) 1 2 1 3 ( 2 2 dx xx dx xx ) 1 2 1

12、3 ( 2 2 dx x 2 1 1 3 xarctan3 xarcsin2 C 例例2 2 求积分求积分 解解 . )1( 1 2 2 dx xx xx 原积分原积分 dx xx xx )1( )1( 2 2 dx xx 1 1 1 2 dx x dx x 1 1 1 2 dx x 2 1 1 2 .lnarctanCxx 变上限积分NL公式 例例3 3 求积分求积分 解解 . )1( 21 22 2 dx xx x dx xx x )1( 21 22 2 dx xx xx )1( 1 22 22 dx x dx x 22 1 11 .arctan 1 Cx x 例例4 4 求积分求积分 解

13、解 . 2cos1 1 dx x dx x2cos1 1 dx x1cos21 1 2 dx x 2 cos 1 2 1 .tan 2 1 Cx 变上限积分NL公式 例例5 5 dx x 2 sin)1( 2 dx x 2 cos1 xdxdxcos 2 1 Cx x sin 2 dx x xx 4 22 1 11 )2(dx xx xx 22 22 11 11 dx x dx x 22 1 1 1 1 Cxxx 2 1lnarcsin dx xx x 22 sincos 2cos )3( dx xx xx 22 22 sincos sincos dx x dx x 22 cos 1 sin

14、1 Cxx tancot 变上限积分NL公式 3.微积分基本公式微积分基本公式 1.变上限积分函数变上限积分函数 x a dttfx)()( 2.变上限积分函数的导数变上限积分函数的导数)()(xfx )()()(aFbFdxxf b a 四、小结四、小结 4.不定积分不定积分 CxFdxxf )()( 变上限积分NL公式 例例6 6 dxea xx )1( dxae x )(C ae ae x )ln( )( dx x x ) 1 1 (tan)2( 2 2 Cxxx arctantan dx x x ) 1 1 1(sec 2 2 dxx 3 )1()3(dxxxx )331( 32 Cx

15、xxx 432 4 1 2 3 变上限积分NL公式 解解,sinsec2xx dx dy dxxxy sinsec2 ,costanCxx , 5)0( y, 6 C 所求曲线方程为所求曲线方程为. 6costan xxy 例例7 7 变上限积分NL公式 例例8. 汽车以每小时汽车以每小时 36 km 的速度行驶的速度行驶 , 速停车速停车, 2 s m 5 a 解解: 设开始刹车时刻为设开始刹车时刻为,0 t则此时刻汽车速度则此时刻汽车速度 0 v)(10 s m )( s m 3600 100036 刹车后汽车减速行驶刹车后汽车减速行驶 , 其速度为其速度为 tavtv 0 )(t510

16、当汽车停住时当汽车停住时,0)( tv即即,0510 t得得(s)2 t 故在这段时间内汽车所走的距离为故在这段时间内汽车所走的距离为 2 0 d)(ttvs 2 0 d)510(tt 2 2 5 10tt (m)10 0 2 )(36 h mk 刹车刹车, , 问从开始刹问从开始刹 到某处需要减到某处需要减 设汽车以等加速度设汽车以等加速度 车到停车走了多少距离车到停车走了多少距离? 变上限积分NL公式 思考题思考题 设设)(xf在在,ba上上连连续续，则则dttf x a )(与与 duuf b x )(是是x的的函函数数还还是是 t与与 u的的函函 数数？它它们们的的导导数数存存在在吗吗

17、？如如存存在在等等于于什什么么？ 思考题解答思考题解答 dttf x a )(与与duuf b x )(都是都是 x的函数的函数 )()(xfdttf dx dx a )()(xfduuf dx db x 变上限积分NL公式 一一、 填填空空题题： 1 1、 b a x dxe dx d 2 2 = =_ _ _ _ _ _ _ _ . . 2 2、 x a dxxf dx d )(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . . 3 3、 2 2 3 )1ln( x dttt dx d _ _ _ _ _ _ _ _ . . 4 4、 2 0 )(dxxf_ _ _ _ _，其其中中 21

18、,2 10, )( 2 xx xx xf . . 5 5、设设 ,coscos 1 nxdxmxI dxnxmx sinsin， 练练 习习 题题 变上限积分NL公式 （1 1） 、当） 、当nm 时，时， 1 I= =_ , , 2 I= =_ _ ， （2 2） 、当） 、当nm 时，时， 1 I= =_ ,_ , 2 I= =_ . . 6 6、设、设,sincos nxdxmx （1 1） 、当） 、当 nm 时，时， 3 I= =_ _ , , （2 2） 、当） 、当nm 时，时， 3 I= =_ . . 7 7、 9 4 )1(dxxx_ . . 8 8、 3 3 1 2 1x

19、dx _ . . 9 9、 x dtt x x 0 2 0 cos lim_ . . 变上限积分NL公式 二、二、 求导数：求导数： 1 1、 设函数设函数)(xyy 由方程由方程0cos 00 xy t tdtdte所确所确 定，求定，求dx dy ； 2 2、 设设 1 2 1 2 2 ,ln ,ln t t uduuy uduux )1( t, ,求求 2 2 dx yd ； 3 3、 x x dtt dx d cos sin 2 )cos( ； 4 4、设、设 2 0 3 1 )( x x dx xg，求，求)1( g . . 变上限积分NL公式 三、三、 计算下列各定积分：计算下列各定积分： 1 1、 2 1 2 2 ) 1 (dx x x; 2; 2、 2 1 2 1 2 1x dx ; ; 3 3、 0 1 2 24 1 133 dx x xx ; 4; 4、 2 0 sindxx . . 四、四、 求下列极限：求下列极限： 1、 x t x t x dte dte 0 2 2 0 2 2 )( lim; 2、 2 5 0 2 0 2 1 )cos1( lim x