全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振动二三事

1、全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 平衡位置平衡位置 所在位置所在位置 x0 在平衡位置时：在平衡位置时： 0 mgkx mg kx0 x mg k(x0+x) 在距平衡位置在距平衡位置x处处时：时： 0 Fmgk xx kx 则该振动系统做简谐运动则该振动系统做简谐运动,且周期为且周期为 2T m k 竖直面内振动的弹簧振子竖直面内振动的弹簧振子 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 mg T F回 回 sinFmg 回回 当当角很小时角很小时 sin O B BOBOx x 则有则有 sinFmgmg 回回 BO mg l l x mg

2、l mg l xk 2 m T k 2 l T g 单摆单摆 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 如图所示，劲度系数为如图所示，劲度系数为k的弹簧一端固定，另一端的弹簧一端固定，另一端 与质量为与质量为m的物体的物体a相连，当弹簧处于自然长度时，将相连，当弹簧处于自然长度时，将a无初无初 速地放置在匀速运动（速度很大）的足够长的水平传送带上，速地放置在匀速运动（速度很大）的足够长的水平传送带上， 弹簧轴线保持水平，设弹簧轴线保持水平，设A与传送带间动摩擦因数为与传送带间动摩擦因数为，试说明，试说明 A将做什么运动？将做什么运动？ 在平衡位置时：在平衡位置时： mgkA a 平衡位置平衡位

3、置 mg kA A x 在距平衡位置在距平衡位置x处处时：时： mg k Ax Fk Axmg kx a 该振动系统做简谐运动该振动系统做简谐运动,且周期为且周期为 2T m k v a 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 如图所示，密度为如图所示，密度为的液体注入一弯折细管中，弯折管之两段与的液体注入一弯折细管中，弯折管之两段与 水平面的交角为水平面的交角为、，液柱总长为，液柱总长为l若对液体平衡状态加一扰动，则管中液柱即若对液体平衡状态加一扰动，则管中液柱即 开始往复振动，求证：其属简谐运动并求振动周期毛细管作用及摩擦忽略不开始往复振动，求证：其属简谐运动并求振动周期毛细管作用及摩擦

4、忽略不 计计 x 0 该液片在平衡位置时：该液片在平衡位置时： 0 FFgh s 左左右右 h0 取管之底端一截面积为取管之底端一截面积为s的液片的液片 若液柱向右侧振动若液柱向右侧振动,液片在液片在 平衡位置右侧平衡位置右侧x时：时： x x 00 sinsinFgs hxgs hx 2 sinsin ls T gs sinsings xk 2 sinsin l g 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 x L R AB d F 3 3 23 r M m GMm R FGr rR F回 回 3 GMmx Fr rR 回回 3 GMm x R 可知小球在隧道中做简谐运动可知小球在隧道中做简

5、谐运动! m vA mg x R 2 Lg R 2 Lg R 小球过平衡位置时速度最大小球过平衡位置时速度最大,为为: 2 R T g t R g r 如图所示，设想在地球表面的如图所示，设想在地球表面的A、B两地之间开凿一直通隧道，两地之间开凿一直通隧道， 在在A处放置一小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切处放置一小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切 摩擦阻力试求小球的最大速度，以及小球从摩擦阻力试求小球的最大速度，以及小球从A到到B所需时间已知地球半径为所需时间已知地球半径为R， 地球表面的重力加速度为地球表面的重力加速度为g，A和和B之间的

6、直线距离为之间的直线距离为L，地球内部质量密度设为均，地球内部质量密度设为均 匀，不考虑地球自转匀，不考虑地球自转 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 FBFA 22 Kk Rr AB O Rrx 质点在平衡位置质点在平衡位置O时：时： Kk ll KkKk Rr 則則 质点在距平衡位置质点在距平衡位置x的某位置的某位置时：时： 2 22 1 A KKx F RR Rx 2 22 1 B kkx F rr rx 22 1212 Kxkx F RrRr 2233 2 KkKk x RrRr 33 2 Kk x Rr 4 3 2 Kk x Kkl 4 3 2 2 m T Kk Kkl 2 2

7、 l mlKk Kk 力心力心A、B相距相距l，一质量为，一质量为m的的质点受与距离平方反比的有心斥质点受与距离平方反比的有心斥 力作用而平衡于两点连线上的力作用而平衡于两点连线上的O点，若将质点稍稍偏离平衡位置，试确定其运动情点，若将质点稍稍偏离平衡位置，试确定其运动情 况况 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 在振动的某一位置，甲摆线偏离竖直方在振动的某一位置，甲摆线偏离竖直方 向一小角度向一小角度时时，乙摆线仍为竖直乙摆线仍为竖直 乙甲乙甲 Mg F回 回 sin Mg FMgx l 回回 由简谐振动周期公式：由简谐振动周期公式： 2 m T k M+m 2 Ml Mg T m 如

8、图所示，甲、乙二摆球质量分别为如图所示，甲、乙二摆球质量分别为M、m，以不，以不 计质量的硬杆将二摆球连接在一起，甲球摆长为计质量的硬杆将二摆球连接在一起，甲球摆长为l，乙球摆线很长，乙球摆线很长， 两球在同一水平面上静止现使之做小振幅的摆动，它的周期是两球在同一水平面上静止现使之做小振幅的摆动，它的周期是 小试身手题小试身手题1616 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 框架处于静止框架处于静止 ,受力如图受力如图: Mg sin60mgxf l A B C mg f 对对C点必有点必有: 2 3 mg fx l x 对松鼠有对松鼠有: f 2 3 m f g x l 可知松鼠做谐振且

9、有可知松鼠做谐振且有: 3 22.6 2 T l g s s 三根长度均为三根长度均为l2.00 m，质量均匀的直杆，构成一正三角形，质量均匀的直杆，构成一正三角形 框架框架ABC，点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动，杆点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动，杆AB是一导是一导 轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图所示现观察到松鼠正在导轨上运动轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图所示现观察到松鼠正在导轨上运动 而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动并作描述而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动并作描述 小试身手题小试身手题2 2 全套更高更妙

10、物理竞赛竞赛机械振 动二三事 当重物位置在距铰接点当重物位置在距铰接点l时时 ,系统处于系统处于 平衡时平衡时,若弹簧形变量为若弹簧形变量为x0受力如图受力如图: 0 mg lkxL 有有 l kx0 mg 振动中重物有一对平衡位置位移振动中重物有一对平衡位置位移x时时, 重物受力如图重物受力如图: x 0 L kxx l mg FN 轻杆受力如图轻杆受力如图: N F 对轻杆有对轻杆有 0N L FlkxxL l 对重物有对重物有 N FmgF 0 LL mgkxx ll 2 2 L kx l 2T lm Lk 长度为长度为的轻铁杆，一端固定在理想的铰链上，另的轻铁杆，一端固定在理想的铰链上

11、，另 一端搁在劲度系数为一端搁在劲度系数为k的弹簧上，如图试确定铁杆小振动周期与质的弹簧上，如图试确定铁杆小振动周期与质 量为量为m的重物在杆上的位置之关系的重物在杆上的位置之关系 小试身手题小试身手题3 3 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 木板处于平衡位置时木板处于平衡位置时,受力如图受力如图 , 22 mg F g fF m f 左左右右 有有 mg l F右 右 F左 左 f f 若木板有一位移若木板有一位移-重心向右轮移过重心向右轮移过x时时 O x F右 右 F左 左 f f Fff 有有 22 ll xx mgmg ll mg 2 mg x l 2 2 T l g 如图，

12、质量为如图，质量为m 的均匀长木板水平地置于两个匀速的均匀长木板水平地置于两个匀速 反向转动的轮上设轮与木板间摩擦因数为反向转动的轮上设轮与木板间摩擦因数为，两轮间距离，两轮间距离l，平衡，平衡 时长木板重心在时长木板重心在l/2处若将木板稍稍拉过一小段后放手，则木板将处若将木板稍稍拉过一小段后放手，则木板将 在轮上做往复振动，这种振动是简谐运动吗？若是，求其周期在轮上做往复振动，这种振动是简谐运动吗？若是，求其周期 小试身手题小试身手题4 4 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 x 若左轮不光滑且顺时针转动若左轮不光滑且顺时针转动, l O f kx0 x0 板在平衡位置时有板在平衡位

13、置时有 0 0 2 l x kxmg l mg F左 左 设再向右有一小位移设再向右有一小位移x时时 0 0 2 l xx Fk xxmg l mg kx l kg ml 此时此时 如图，质量为如图，质量为m的均匀木板对称地放在两个滚柱上，的均匀木板对称地放在两个滚柱上， 两滚柱轴线间的距离为两滚柱轴线间的距离为l，其中一个滚柱和板之间摩擦因数为，其中一个滚柱和板之间摩擦因数为，而，而 在另一个滚柱上，板可无摩擦地滑动用一劲度系数为在另一个滚柱上，板可无摩擦地滑动用一劲度系数为k的弹簧将板的弹簧将板 连接在竖直墙壁上，当板处于平衡位置时，使不光滑的滚柱快速旋连接在竖直墙壁上，当板处于平衡位置时

14、，使不光滑的滚柱快速旋 转起来问摩擦因数转起来问摩擦因数为多大，木板相对平衡位置有了位移后可做简为多大，木板相对平衡位置有了位移后可做简 谐运动？振动的圆频率是多少？谐运动？振动的圆频率是多少？ 小试身手题小试身手题5 5 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 若左轮不光滑且逆时针转动若左轮不光滑且逆时针转动, l Ox f kx0 x0 板在平衡位置时有板在平衡位置时有 0 0 2 l x kxmg l mg F左 左 设再向左有一小位移设再向左有一小位移x时时 0 0 2 l xx Fk xxmg l mg kx l kg ml 此时此时 mg k l 若若 右轮不光滑且逆时针转动同右

15、轮不光滑且逆时针转动同 右轮不光滑且顺时针转动同右轮不光滑且顺时针转动同 mg k l 若若 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 质点质点P以角速度以角速度沿半径为沿半径为R的圆轨道做匀速圆周的圆轨道做匀速圆周 运动，试证明：质点运动，试证明：质点P 在某直径上的投影的运动为简谐在某直径上的投影的运动为简谐 运动运动 x R Fn 22 x x FmRmx R P所受向心力所受向心力Fn 2 n FmR P P P的投影运动所受回复力的投影运动所受回复力Fx Fx 2 cos x FmR 令为令为k x Fkx 0 t 00 ccososxRtAt O x y 全套更高更妙物理竞赛竞赛机

16、械振 动二三事 2 Fmxkx 回回 2 T k m 而而 简谐运动的周期公式为简谐运动的周期公式为 参考圆运动的周期参考圆运动的周期 2 m T k 简谐运动的速度公式为简谐运动的速度公式为 sinvAt 简谐运动的位移公式为简谐运动的位移公式为 cosxAt A O x y x A P P v t P v P A t 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 根据题给条件，物体振动方程为根据题给条件，物体振动方程为 0.24cos 2 xt m m c cm mm m 1 0.24cos0. 2 152 2x N N 2 2 11 2 12 2 0.010 2 3 2 10010000 F

17、mx 1224cos 2 t 由由 s s 1 4 3 t m/sm/sm/sm/s 244 sin 2 102 3 003 3 5 v 得得 质量为质量为10 g的物体做简谐运动，振幅为的物体做简谐运动，振幅为24 cm，周期为，周期为 4 s；当；当t时坐标为时坐标为+24 cm.试求当试求当t0.5 s时物体的位置当时物体的位置当t 0.5 s时作用在物体上力的大小和方向物体从初位置到时作用在物体上力的大小和方向物体从初位置到x-12 cm处所需的最短时间当处所需的最短时间当x12 cm时物体的速度时物体的速度 小试身手题小试身手题1515 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 作如

18、图所示谐振参考圆，由图得作如图所示谐振参考圆，由图得 A v 8 6 10 O x r ra ad d/ /s ssin3vA s s 2 3 T c cm m 2 2112 x vAx A 路程末端小物体回复力由最大静摩擦力提供：路程末端小物体回复力由最大静摩擦力提供： 2 mgmA 0.09 一物体在水平面上做简谐运动，振幅为一物体在水平面上做简谐运动，振幅为10 cm，当，当 物体离开平衡位置物体离开平衡位置6 cm 时，速度为时，速度为24 cm/s 问周期是多少？当速度为问周期是多少？当速度为12 cm/s时，位移是多少？时，位移是多少？ 如果在振动的物体上加一小物体，当运动到路程的

19、末端时，小物如果在振动的物体上加一小物体，当运动到路程的末端时，小物 体相对于物块刚要开始滑动，求它们之间的摩擦因数？体相对于物块刚要开始滑动，求它们之间的摩擦因数？ 小试身手题小试身手题1616 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 确定摆球振动的平衡位置；确定摆球振动的平衡位置； 确定摆在此位置时摆线上的力确定摆在此位置时摆线上的力FT； 等效的重力加速度等效的重力加速度 2 l T g l g T F g m l 由理想单摆周期公式由理想单摆周期公式 ，通常可由三条途径确定，通常可由三条途径确定T： 确定等效悬点及摆长确定等效悬点及摆长 联结两悬点的直线为转轴；联结两悬点的直线为转轴

20、； 摆球所受重力作用线反向延长与转轴交点为首选等效悬点；摆球所受重力作用线反向延长与转轴交点为首选等效悬点； 取首选等效悬点与摆球间的距离为等效摆长取首选等效悬点与摆球间的距离为等效摆长 确定等效的重力加速度确定等效的重力加速度 确定等效的圆频率确定等效的圆频率 确定摆球振动中的机械能守恒关系确定摆球振动中的机械能守恒关系 比对异形摆的能量关系式与标准单摆的能量关系式比对异形摆的能量关系式与标准单摆的能量关系式 在同一参考圆下提取等效的角速度在同一参考圆下提取等效的角速度 g 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 若单摆在加速度竖直向上的电梯中若单摆在加速度竖直向上的电梯中 做小幅振动，在

21、振动的做小幅振动，在振动的“平衡位置平衡位置” a mg FT TT FmgmaFm ga 由由 gga 故故 则则 2 l T ga 若单摆在加速度水平向左的车厢中若单摆在加速度水平向左的车厢中 做小幅振动，做小幅振动， a 在振动的在振动的“平衡位置平衡位置”mg FT ma 2 222 T T FmgmaFm ga 由由 22 gga 故故 则则 22 2 l T ga 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 mg qE FT E 带正电摆球在水平向右的电场中做带正电摆球在水平向右的电场中做 小幅振动小幅振动 在振动的在振动的“平衡位置平衡位置” 2 22 2 T qE FmgqEmg

22、 m 2 2 qE gg m 故故 则则 22 2 m l T m gqE 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 mg FT ma a 2 2 2cos 90 T T mgFmg Fma 由由 22 2singagag 故故 则则 22 2 2sin l T agag 如图所示，摆线长为如图所示，摆线长为l的单摆悬于架上，架固定于小的单摆悬于架上，架固定于小 车使小车沿倾角为的斜面以加速度车使小车沿倾角为的斜面以加速度a做匀加速运动，求此时单摆振做匀加速运动，求此时单摆振 动的周期动的周期 22 2sin T Fm gaag 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 某栋高层大楼的电梯服务

23、员是位一丝不苟的人，他某栋高层大楼的电梯服务员是位一丝不苟的人，他 为按时结束一天的工作，把一台准确的摆钟挂在电梯的壁上电梯为按时结束一天的工作，把一台准确的摆钟挂在电梯的壁上电梯 向上加速和向下加速的时间相同，加速度大小也相同试问电梯服向上加速和向下加速的时间相同，加速度大小也相同试问电梯服 务员是按时结束工作，还是超时或提早了呢？务员是按时结束工作，还是超时或提早了呢？ 小试身手题小试身手题6 6 gga gga 0 0 tt TT 由由 向上加速的电梯中，摆的等效向上加速的电梯中，摆的等效 而加速下降电梯中，摆的等效而加速下降电梯中，摆的等效 00 0 t Tg tt Tg 0 ga t

24、t g 上上 0 ga tt g 下下 0 112 aa t gg 2 2 2 41122 1 aaa gg g 0 因加速，上升过程钟面时间因加速，上升过程钟面时间t比客观时间比客观时间t0长，长， 下降过程钟面时间下降过程钟面时间t比客观时间比客观时间t0少，少， 每上下一次，钟面读每上下一次，钟面读 数与客观时间相差数与客观时间相差 说明每上下一次，钟面指示时间比实际时间少，说明每上下一次，钟面指示时间比实际时间少， 以此钟指示时间为据此人以此钟指示时间为据此人 工作了工作了 返回返回 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 0 t N T t 0 正正 误误 不准钟当其钟面读数时不准

25、钟当其钟面读数时 间为间为t时，客观时间为时，客观时间为t0 tt0，钟走快；，钟走快； tt0，钟走慢，钟走慢 摆式钟的特点摆式钟的特点 1. 1.振动次数相同，则钟面读数变化相同振动次数相同，则钟面读数变化相同 2. 2.标准钟钟面读数与客观时间一致标准钟钟面读数与客观时间一致 不准钟钟面读数与客观时间不一致不准钟钟面读数与客观时间不一致 3. 3.T大钟慢，大钟慢，T小钟快小钟快 设标准钟摆的周期为设标准钟摆的周期为T0，不准钟摆的周期为，不准钟摆的周期为T如图，如图， 当两钟从同一初始读数开始走时，分别出现读数当两钟从同一初始读数开始走时，分别出现读数t时时 标准钟是在与钟面读数一致的

26、时间标准钟是在与钟面读数一致的时间t内走成这样的：内走成这样的： 0 t N T 根据特点根据特点1，有，有 0 0 tt TT 不准钟是在客观时间不准钟是在客观时间t0(t0t)内走成这样的：内走成这样的： t 0 0 0 gt t g 0 0 tl t l 返回返回 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 l l mg 2 l tanll tan 2 l g T 如图，小铁球用长度为如图，小铁球用长度为l的细线的细线AC、BC悬挂，两悬挂，两 线与线与A、B连线的夹角均为连线的夹角均为，AC恰好水平球由于受到扰动，恰好水平球由于受到扰动， 垂直于纸面向外略微偏离平衡位置，然后小球来回振动

27、，求垂直于纸面向外略微偏离平衡位置，然后小球来回振动，求 小球振动的周期小球振动的周期 A C B 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 如图所示，如图所示， 光滑的细杆组成夹角为光滑的细杆组成夹角为的人字架一根长度为的人字架一根长度为l 的轻线套在架子上，线的两端共系一个重球的轻线套在架子上，线的两端共系一个重球C，架竖直放置，试求重球在人字架平，架竖直放置，试求重球在人字架平 面内做小振动的周期面内做小振动的周期 B A C O T T O 振动是在线拉力与重力之合力作用下发生的振动是在线拉力与重力之合力作用下发生的,若证得振动若证得振动 中线拉力之合力始终通过中线拉力之合力始终通过O

28、点点,即可与单摆等效即可与单摆等效! O A B 12 2 2 22 OO B D C 22 DO C 22 2sin l l 2 2 sin l g T 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 l1 C A B a b l2 mg O x 由几何关系得由几何关系得C到到AB的距离的距离 1 2 22 l l x ab 等效摆长为等效摆长为 1 2 cos l lx l a 秋千周期为秋千周期为 1 2 2 l T l ag 如图所示，秋千的一根绳子的固定点如图所示，秋千的一根绳子的固定点A比另一根绳比另一根绳 固定点固定点B高高b，秋千两根支架相距为，秋千两根支架相距为a，两根绳子长度分别

29、是，两根绳子长度分别是l1和和l2， 并且并且 试求人坐在这样的秋千上小摇荡的周期（人的试求人坐在这样的秋千上小摇荡的周期（人的 大小与上述长度相比可忽略不计）大小与上述长度相比可忽略不计） 2222 12 llab 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 一端带有重物的轻硬杆，另一端用铰链固定在墙一端带有重物的轻硬杆，另一端用铰链固定在墙 上上A点，杆可以向各个方向转动，如图所示一根长度为点，杆可以向各个方向转动，如图所示一根长度为l的不可的不可 伸长的线沿竖直方向系在杆的中点，以保持杆处于水平位置使伸长的线沿竖直方向系在杆的中点，以保持杆处于水平位置使 重物具有垂直图面方向的动量，试求系

30、统小振动的周期重物具有垂直图面方向的动量，试求系统小振动的周期 T A B l ll mg l 2ll 2 2 l T g 小试身手题小试身手题7 7 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 如图是一种记录地震的仪器如图是一种记录地震的仪器倾斜摆的示意图倾斜摆的示意图. 摆球摆球m固定在边长为固定在边长为l、质量可忽略的等边三角形框架、质量可忽略的等边三角形框架ABC上，可绕上，可绕 AB杆摆动，杆摆动，AB杆和竖直墙夹角为杆和竖直墙夹角为.求摆球做微小摆动的周期求摆球做微小摆动的周期. A B C m l l mg l sinsin60 ll 3 2 2 sin l T g 60 小试身手

31、题小试身手题8 8 返回返回 3 2sin ll 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 未放凹形滑块的单摆，是以圆频率未放凹形滑块的单摆，是以圆频率 g l 设带凹形滑块的异形摆圆频率为设带凹形滑块的异形摆圆频率为 ,有 有 m M mg m lmM 2 Ml mg T m 则则 谐振谐振,满足满足 21 1cos 2 mglmA 比较两式得比较两式得 21 1cos 2 mglMmA 如图，摆球质量为如图，摆球质量为m，凹形滑块质量为，凹形滑块质量为M，摆长为，摆长为 lm与与M、M与水平面之间光滑，令摆线偏转很小角度后，从静止释与水平面之间光滑，令摆线偏转很小角度后，从静止释 放，求系

32、统的振动周期放，求系统的振动周期T 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 未加另一质量重物的单摆未加另一质量重物的单摆 ,Al 设带另一质量的复摆圆频率为设带另一质量的复摆圆频率为 ,有有 22 lx l lx 则则 谐振谐振,满足满足 21 1cos 2 mglmA 比较两式得比较两式得 2 211 1cos 22 x mg lxmAmA l 22 1 Tlx Tlx l 一个单摆，由一根刚性轻杆和杆端的重物组成，做小一个单摆，由一根刚性轻杆和杆端的重物组成，做小 振幅的自由振动如果在杆上某点再固定一个和杆端重物质量相同振幅的自由振动如果在杆上某点再固定一个和杆端重物质量相同 的重物，使

33、原单摆变成一个异形复摆，其振动周期最多改变百分之的重物，使原单摆变成一个异形复摆，其振动周期最多改变百分之 几？几？ 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 22 2 2 lxlxl lx lllx 2 , lxl llx 当 21xl 时时,有最小值有最小值 故故 max 1221 T T 0.08989 % % 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 M m v0 在天花板下用两根长度同为在天花板下用两根长度同为l的轻绳吊一质量为的轻绳吊一质量为M 的光滑匀质木板，板中央有一质量为的光滑匀质木板，板中央有一质量为m的小滑块，如图开始时系的小滑块，如图开始时系 统静止，然后使板有一个水平

34、的横向小速度统静止，然后使板有一个水平的横向小速度v0，试求振动周期，试求振动周期 l l M m v0 摆长为摆长为l、振幅为、振幅为l的理想单摆满足的理想单摆满足 2 0 1 1cos 2 Mm glMmA 对振动实体机械能守恒，有对振动实体机械能守恒，有 21 1cos 2 Mm glMA 比较两式得比较两式得 0 Mm M 2 Ml m g T M 则则 小试身手题小试身手题9 9 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 数学摆是由长度为数学摆是由长度为l的轻杆，一个固定在杆的自由的轻杆，一个固定在杆的自由 端上的小铅球所组成现在，在杆上套一粒同铅球质量相等的珍珠，端上的小铅球所组成

35、现在，在杆上套一粒同铅球质量相等的珍珠， 它可以沿着杆中点的水平线自由地滑动，如图所示试求这种摆小它可以沿着杆中点的水平线自由地滑动，如图所示试求这种摆小 振动的周期，摩擦不计振动的周期，摩擦不计 小试身手题小试身手题1010 摆长为摆长为l、振幅为、振幅为l 的理想单摆满足的理想单摆满足 2 0 1 1cos 2 mglmA 此题中复摆振动实体机械能守恒，有此题中复摆振动实体机械能守恒，有 2 211 1cos 222 A mglmAm 2 15 22 mA 比较两式得比较两式得 0 4 5 5 T l g 则则 l l/2 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 如图所示，质量为如图所示

36、，质量为M、长为、长为L的均匀细刚杆一端的均匀细刚杆一端 悬挂，可在竖直平面内绕悬点悬挂，可在竖直平面内绕悬点O无摩擦地摆动质量为无摩擦地摆动质量为m=M/3的小的小 虫相对杆以速度虫相对杆以速度v缓慢地沿杆向下爬行开始时，杆静止并与竖直缓慢地沿杆向下爬行开始时，杆静止并与竖直 线成一个小角度线成一个小角度0，小虫位于杆上端悬点处释放杆，杆开始摆动，小虫位于杆上端悬点处释放杆，杆开始摆动， 小虫开始爬行，试求小虫沿杆爬行小虫开始爬行，试求小虫沿杆爬行l距离时，杆振动的圆频率；距离时，杆振动的圆频率； 小虫爬行到杆下端时，系统的能量减为初时的小虫爬行到杆下端时，系统的能量减为初时的 ，求杆的摆动

37、，求杆的摆动 幅度幅度t 小试身手题小试身手题1111 5 6 确定绕杆一端以角速度转动的均匀细杆的动能，如图确定绕杆一端以角速度转动的均匀细杆的动能，如图 m n L i n 2 2 1 11 lim 26 n k n i mL EimL nn 2 2 3 1 11 lim 2 n n i mLi n 2 222 3 11 lim12 2 n mLn n 2 3 121 11 lim 26 n n nn mL n 21 6 mL 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 当小虫爬到距悬点当小虫爬到距悬点l处时，虫与杆构成的振动系统能量关系为处时，虫与杆构成的振动系统能量关系为 2211 1c

38、os1cos 226 L mglMgmlML 对对A=L 的理想单摆满足的理想单摆满足 2 0 1 1cos 2 gLL 比较两式得比较两式得 22 23 2 lL g lL 小虫在悬点时小虫在悬点时 00 2 0 1c s 2 1 4 o L EMgLgM 小虫在杆最下端时小虫在杆最下端时 1cos1cos 2 ttt L EMgmgL 2 5 12 t MgL 4 0 3 10 i 则则 2 00 2 36 , 5 5 i i E E 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 O O 摆长为摆长为l、振幅为、振幅为l的理想单摆满足的理想单摆满足 2 0 1 1cos 2 mglmA 此题中

39、复摆振动实体机械能守恒，有此题中复摆振动实体机械能守恒，有 1cosmglE 板板 其中角速度为其中角速度为、半径为、半径为r圆板的动能为圆板的动能为 2 2 1 1 lim2 2 n k n i mrrr Eii n nn r 2 2 22 4 1 1 lim 4 n nn mr n 21 4 m r 21 4 m A 比较两式得比较两式得 0 2 2 2 T l g 则则 如图所示，一质量为如图所示，一质量为m、半径为、半径为r的圆板用三根长的圆板用三根长 均为均为l的细线悬于天花板上，连接点恰好三等分圆板的圆周，若圆的细线悬于天花板上，连接点恰好三等分圆板的圆周，若圆 板绕其过中心板绕其

40、过中心O的铅直轴做微小转动，试求其周期的铅直轴做微小转动，试求其周期 小试身手题小试身手题1212 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 如图所示，细轴环用铰链固定于如图所示，细轴环用铰链固定于A点，开始这样点，开始这样 放置轴环，使它的质心位于放置轴环，使它的质心位于A点正上方，此后轴环自由下落，经时点正上方，此后轴环自由下落，经时 间间0.5 s，轴环的质心处于最低位置有一摆是小重球，轴环的质心处于最低位置有一摆是小重球B固定在固定在 轻硬杆上，杆的长度等于轴环的半径，如果开始小球处于最高位轻硬杆上，杆的长度等于轴环的半径，如果开始小球处于最高位 置并自由落下试问此摆经过多少时间置并自

41、由落下试问此摆经过多少时间t返回到下面的平衡位置返回到下面的平衡位置 小试身手题小试身手题1313 比较两者的角速度关系：比较两者的角速度关系： 对轴环：对轴环： 21 21cos2 2 mg rmr 对重球：对重球： 2 0 1 1cos 2 mgrmr 则则 0 2 2 故转过半周所需时间故转过半周所需时间 0 0 2 t t s s 2 4 t 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 如图所示，半径为如图所示，半径为R的细圆环，其质量与固定在的细圆环，其质量与固定在 其上的两个相同小重物相比可忽略不计在环上与两小重物等距其上的两个相同小重物相比可忽略不计在环上与两小重物等距 处钻个孔，

42、将孔穿过墙壁上的钉子而把环悬挂起来，使环可以在处钻个孔，将孔穿过墙壁上的钉子而把环悬挂起来，使环可以在 竖直平面内无能量损失地做微小简谐振动（象摆一样）两小重竖直平面内无能量损失地做微小简谐振动（象摆一样）两小重 物的位置关系可以用它们之间的角距离物的位置关系可以用它们之间的角距离2表征试求该摆的振动表征试求该摆的振动 周期周期T及其随变化的图线及其随变化的图线 小试身手题小试身手题1414 系统从平衡位置偏离最大系统从平衡位置偏离最大 幅度为角幅度为角： 取小重物其摆长为：取小重物其摆长为： l 2sin 2 lR 振幅为：振幅为： 2sin 2 AR 摆长为摆长为l、振幅为、振幅为A的理想

43、单摆满足的理想单摆满足 2 0 1 2sin1cos2sin 222 mgRmR 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 0 2sin 2 g R 此题中复摆振动实体机械能守恒，有此题中复摆振动实体机械能守恒，有 21 22 2 mg hmA h 1cos1cosR 2 1 1cos1cos2sin 22 gRR 0 sin 2 2 2T R g 则则 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 如图所示，质量为如图所示，质量为M的小平板固定在劲度系数为的小平板固定在劲度系数为k 的轻弹簧上，弹簧的另一端固定在地上，有一质量为的轻弹簧上，弹簧的另一端固定在地上，有一质量为m的小球沿入射的小球沿

44、入射 角角方向以速度方向以速度v0射向小平板，并发生完全弹性碰撞忽略一切摩擦，射向小平板，并发生完全弹性碰撞忽略一切摩擦， 求碰撞后小平板的振动方程求碰撞后小平板的振动方程 0cosxAt 振动标准方程：振动标准方程： 对本题振动实体：对本题振动实体： 0 2 M k v0 v m O x k v x v y v v V v0 速度关系如示速度关系如示: 由图示关系由图示关系: 0 0 sin cos x y vv vvV 由弹性碰撞能量关系由弹性碰撞能量关系: 2222 0 111 222 xy mvm vvMV 0 2cosm Vv Mm 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 0 2c

45、osm Vv Mm 由振动中能量关系由振动中能量关系: 2 2 0 112cos 22 m kAMv Mm 0 2cosm mk A vM M 0 cosxAt对对 k M 0 2cos cos 2 mvMk t MmkM x 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 车与缓冲器一起自由振动过程是谐振过程车与缓冲器一起自由振动过程是谐振过程,其中其中 平衡位置时的压缩量为平衡位置时的压缩量为: 0 sinMg x k 初相位时的速度为初相位时的速度为:m m/ /s s120vgh 振幅由振动能量关系求得振幅由振动能量关系求得: 2222 0 1111 2222 kAkxMvMV m m2A

46、m m/ /s s10.05V 弹簧最大压缩量为弹簧最大压缩量为: m m 0 2.2xxA 振动时间借助参考圆振动时间借助参考圆: O x y M x0 A 0 10 0 cos x A 缓冲时间为缓冲时间为: 10 cos 2 x M A t k s s0.7 如图所示，小车质量如图所示，小车质量M4 kg，由静止开始沿倾角，由静止开始沿倾角 的斜面自的斜面自h=5 m高处滑下，与一弹簧缓冲器相碰而自由振动，然后又高处滑下，与一弹簧缓冲器相碰而自由振动，然后又 冲上斜面若缓冲器弹簧的劲度系数冲上斜面若缓冲器弹簧的劲度系数k=100 N/m求缓冲器弹簧的最求缓冲器弹簧的最 大压缩量及小车被缓

47、冲的时间大压缩量及小车被缓冲的时间 h 30 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 如图所示，在盛密度为的液体的大容器中如图所示，在盛密度为的液体的大容器中 放入一只底面积为放入一只底面积为S的小圆柱形容器，在这个容器的底部的小圆柱形容器，在这个容器的底部 又插入一根细导流管两只容器壁均静止不动，在小的又插入一根细导流管两只容器壁均静止不动，在小的 容器中注入密度为（容器中注入密度为（21）的染了颜色的液体，使其高）的染了颜色的液体，使其高 度至度至H ，以使与外面容器的液面相平然后打开细管上，以使与外面容器的液面相平然后打开细管上 端，可以看到重液通过细管流入大容器并沉入底部，但端，可以

48、看到重液通过细管流入大容器并沉入底部，但 经过一段时间轻液开始进入小容器中，以后这个过程重经过一段时间轻液开始进入小容器中，以后这个过程重 复地进行着如果假设液体不会混合且表面张力不计，复地进行着如果假设液体不会混合且表面张力不计， 试求第一次从小容器里流出的重液的质量试求第一次从小容器里流出的重液的质量m1是多少？在是多少？在 以后每次循环中，流进小容器的轻液的质量以后每次循环中，流进小容器的轻液的质量mn和从小容和从小容 器里流出的重液的质量器里流出的重液的质量mk各是多少？各是多少？ 小试身手题小试身手题1919 H 2 1 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 设小容器底部开口与细

49、管相接部设小容器底部开口与细管相接部 截面积为截面积为s，从此处流过的小液片，从此处流过的小液片 恰受力平衡时，重液液面下降恰受力平衡时，重液液面下降x0， 若称此为平衡面，则有若称此为平衡面，则有 x0 x 2 H 201 HxgsHgs 1 在此前（后）液面高（低）于平衡面在此前（后）液面高（低）于平衡面x时，对应地正流经时，对应地正流经 细管上口的小液片所受合力为细管上口的小液片所受合力为 1202 FHgsHxx gsgsx 即即:小液片以谐振形式从开口流出，当重液面下降小液片以谐振形式从开口流出，当重液面下降2x0时，时， 重液片向下速度减为零，此后将换成轻液片上升故第重液片向下速度

50、减为零，此后将换成轻液片上升故第1 次从小容器中流出的重液质量为次从小容器中流出的重液质量为 12021 22mx SHS 21021 22mx SHS 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 此后将换成轻液片上升此后将换成轻液片上升,静止于重液静止于重液 上层，当细管口轻液片受力平衡时，上层，当细管口轻液片受力平衡时， 小容器内下部是高小容器内下部是高(H-2x0)的重液，的重液， 上部轻液高度设为上部轻液高度设为 0 x H 20101 2Hxgsx gsHgs 1 21 0 1 xH 即即:轻液片亦以谐振形式从开口流入，当轻液面上升轻液片亦以谐振形式从开口流入，当轻液面上升2x0时，时

51、， 轻液片向上速度减为零，此后将换成重液片下降故第轻液片向上速度减为零，此后将换成重液片下降故第2 次流入小容器的轻液质量为次流入小容器的轻液质量为 0 x 2 1 201011 2FHxgsxx gsHgsgsx x 21021 22mx SHS 每次循环中进出小容器的重液与轻液质量每次循环中进出小容器的重液与轻液质量 相同相同, ,直至小容器中重液全部替换成轻液直至小容器中重液全部替换成轻液! ! 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 如图所示，平台如图所示，平台A的质量为的质量为m，由劲度系，由劲度系 数为数为k的轻弹簧来支持弹簧上端与的轻弹簧来支持弹簧上端与A相连，下端与地面相连，

52、下端与地面 相连，物块相连，物块B的质量也是的质量也是m，自由地放在平台中心，现用，自由地放在平台中心，现用 竖直向下的力竖直向下的力F=mg把弹簧压下（仍在弹性限度内），并把弹簧压下（仍在弹性限度内），并 在系统静止时撤去外力，求此后在系统静止时撤去外力，求此后A、B的运动情况及两者的运动情况及两者 各自到达的最大高度各自到达的最大高度 小试身手题小试身手题1818 A k O y B A、B处于平衡位置时弹簧压缩处于平衡位置时弹簧压缩 0 2mg x k 2 24 mg A k 系统振幅为系统振幅为 圆频率为圆频率为 2 k m 全套更高更妙物理竞赛竞赛机械振 动二三事 A、B一起振动的运动方程一起振动的运动方程 2 24cos 2 mgk yt km A、B一起振动至弹簧自然伸长时速度为一起振动至弹簧自然伸长时速度为 sinvAA 22 0 Ax A O y