大学物理学第1章运动学

1、绪 论 物理学研究的内容：物质运动最基本最普遍的形式，包括机械运物理学研究的内容：物质运动最基本最普遍的形式，包括机械运 动、分子热运动、电磁运动、原子和原子核内的运动等。动、分子热运动、电磁运动、原子和原子核内的运动等。 1.1.一切自然科学的基础或支柱。一切自然科学的基础或支柱。 自然科学五次大综合都是以物理学取得重大突破为基础。自然科学五次大综合都是以物理学取得重大突破为基础。 第二次为能量守恒和转化定律的建立，其关键是热力学第一第二次为能量守恒和转化定律的建立，其关键是热力学第一 定律的发现；定律的发现； 第一次为牛顿力学的建立，宣告近代自然科学的诞生；第一次为牛顿力学的建立，宣告近代

2、自然科学的诞生； 第三次为麦克斯韦电磁场理论的建立；第三次为麦克斯韦电磁场理论的建立； 物理学的重要地位物理学的重要地位 绪论 2 2、是技术进步的理论基础和指南、是技术进步的理论基础和指南 第四次为相对论的建立；第四次为相对论的建立； 牛顿力学和热力学的建立与第一次工业革命；牛顿力学和热力学的建立与第一次工业革命； 电磁学理论的建立与第二次工业革命；电磁学理论的建立与第二次工业革命； 现代高科技与相对论和量子力学现代高科技与相对论和量子力学 （如激光技术与量子力学；计算机技术与量子力学；（如激光技术与量子力学；计算机技术与量子力学； 原子能技术与相对论等原子能技术与相对论等 ） 第五次为量子

3、力学的建立。第五次为量子力学的建立。 物理最前沿问题物理最前沿问题: :大统一理论大统一理论 空间尺度空间尺度 （相差（相差 1042） 1026 m（150亿光年）（哈勃半径）亿光年）（哈勃半径） 10-16 m（核子）（核子） 时间尺度时间尺度 （相差（相差1044 ） 1018 s（150亿年）（宇宙年龄）亿年）（宇宙年龄） 10-25 s（Z0粒子寿命）粒子寿命） 1m 10-16 10-14 10-10 10-5 1010 103 106 1026 1021 W+ 核子核子 微观微观 介观介观 宏观宏观 宇观宇观 山山 太阳系太阳系 地球地球 哈勃半径哈勃半径 星系星系 原子原子 原

4、子核原子核 DNA 人人 空间和时间空间和时间 1 1、认真预习；、认真预习； 绪论 2 2、做课堂笔记（将检查）；、做课堂笔记（将检查）； 3 3、课后认真复习；、课后认真复习； 4 4、认真按时完成作业（不得抄袭），注意作图，认真及时、认真按时完成作业（不得抄袭），注意作图，认真及时 订正（学校规定：凡缺交作业超过三分之一者，不得参加期末订正（学校规定：凡缺交作业超过三分之一者，不得参加期末 考试（成绩作零分计）与补考，只能参加毕业时的重修重考，考试（成绩作零分计）与补考，只能参加毕业时的重修重考， 本课程将严格执行此规定）；本课程将严格执行此规定）； 5 5、应注意概念的理解。、应注意概

5、念的理解。 平时成绩平时成绩( (含作业、课堂测验、课堂提问、课堂笔记含作业、课堂测验、课堂提问、课堂笔记 等方面情况），占百分之三十，期末考试占百分之七十等方面情况），占百分之三十，期末考试占百分之七十. . 对学习物理课的几点要求对学习物理课的几点要求 成绩评定方法成绩评定方法 第一章 运 动 学 主要内容主要内容 （1 1）质点运动状态的描述：）质点运动状态的描述： 位矢、位移、速度、加速度；位矢、位移、速度、加速度； （2 2）刚体定轴转动的描述；）刚体定轴转动的描述； （3 3）相对运动）相对运动 位矢位矢 位移位移 速度和加速度的矢量表示速度和加速度的矢量表示1.1 1.1.1 参

6、照系参照系 坐标系坐标系 质点质点 一一 运动的绝对性和相对性运动的绝对性和相对性 运动是绝对的：运动是绝对的： 任何物体任何时刻都在不停地运动着任何物体任何时刻都在不停地运动着 运动又是相对的：运动又是相对的： 运动的描述是相对其他物体而言的运动的描述是相对其他物体而言的 为了描述一个物体的运动，必须选择另一个物体作为参为了描述一个物体的运动，必须选择另一个物体作为参 照，被选作参照的物体称为照，被选作参照的物体称为参照系参照系。 二二 参照系参照系 参照系参照系: :描述物体运动时，被选作参照的物体，称为参描述物体运动时，被选作参照的物体，称为参 照系。照系。 坐标系坐标系: :要定量描述

7、物体的位置与运动情况，就要运用要定量描述物体的位置与运动情况，就要运用 数学手段，采用固定在参照系上的坐标系。数学手段，采用固定在参照系上的坐标系。 常用的坐标系有直角坐标系常用的坐标系有直角坐标系( (x x,y,z),y,z)，球坐标系，球坐标系( (r r, , , , ) )，柱坐标系，柱坐标系( (r r, , ,z ),z )。 x x y y z z o o z z r r 参考方向参考方向 z z o o r r x x y y 不同参照系中的卫星运动不同参照系中的卫星运动 以地球为参照系以太阳为参照系 物体物体：具有大小、形状、质量和内部结构的物质形态。：具有大小、形状、质量

8、和内部结构的物质形态。 质点质点：具有一定质量、无大小和形状的理想模型。：具有一定质量、无大小和形状的理想模型。 可以将物体简化为质点的两种情况可以将物体简化为质点的两种情况 物体本身线度和它活动范围相比小得很多物体本身线度和它活动范围相比小得很多( (此时物体的变此时物体的变 形及转动显得并不重要形及转动显得并不重要) )。 物体作平动物体作平动( (此时物体上各点的速度及加速度都相同，物此时物体上各点的速度及加速度都相同，物 体上任一点可以代表所有点的运动体上任一点可以代表所有点的运动) )。 三三 质点质点 地球上各点的公转速度相差很小，地球上各点的公转速度相差很小， 忽略地球自身尺寸的

9、影响，作为质点处理。忽略地球自身尺寸的影响，作为质点处理。 3 8 104 . 6 105 . 1 E ES R R 1104 . 2 4 研究地球公转研究地球公转研究地球自转研究地球自转 地球上不同点的速度相差很大，因此，地地球上不同点的速度相差很大，因此，地 球自身的大小和形状不能忽略，不能作质球自身的大小和形状不能忽略，不能作质 点处理。点处理。 选择合适的参考系，选择合适的参考系， 以方便确定物体的运动性质；以方便确定物体的运动性质； 物理学研究的基本方法物理学研究的基本方法 建立恰当的坐标系，建立恰当的坐标系， 以定量描述物体的运动；以定量描述物体的运动； 提出准确的物理模型，提出准

10、确的物理模型， 以突出问题中最基本的运动规律。以突出问题中最基本的运动规律。 (t)rr 质点运动方程的矢量表示质点运动方程的矢量表示 求解质点运动方程是运动学的基本任务求解质点运动方程是运动学的基本任务 在坐标系中，用来确定质点所在位置的矢量，叫做在坐标系中，用来确定质点所在位置的矢量，叫做位置位置 矢量矢量,简称简称位矢位矢 。位置矢量是从坐标原点指向质点所在位。位置矢量是从坐标原点指向质点所在位 置的有向线段。置的有向线段。 r 位移位移反映质点位置变化的物理量，反映质点位置变化的物理量， 从初始位置指向末位置的有向线段。从初始位置指向末位置的有向线段。 B r B B S S A A

11、A r r o AB rrABr s s 为路程为路程( (轨道长度轨道长度) )，是标量，是标量 1.1.2 位矢位矢 位移位移 注注 意意 r r2 2 r r1 1 o o r r 位移位移 是矢量，有大小和方向是矢量，有大小和方向r 12 rrr 12 rrr 的区别的区别r,r, r 的的大大小小是是 rr-r 12 r r ,rr 为标量，为标量， rr 什么情况下取等号什么情况下取等号? ? rs s s 为路程为路程( (轨道长度轨道长度) )，是标量，是标量 dsrd 元位移的大小元位移的大小元路程元路程 0 t rdr dss B B A A o o SS B r A r

12、r 什么情况下取等号什么情况下取等号? ? 注注 意意 s s 与与 的区别的区别r 平均速度平均速度 速度速度 描述质点位置和方向随时间变化的快慢的物理量。描述质点位置和方向随时间变化的快慢的物理量。 方向为方向为 的方向的方向 r r rB B r rA A B B A A o o SS r r t 平均速率平均速率 s t 瞬时速度（速度）瞬时速度（速度） 当当 t t0 0时，时，B B点向点向A A点无限靠近。点无限靠近。 t t 0 lim r 0 lim t 0 0 r A rr t B rr tt A B A B dt rd 0 lim t r ttr t t 1.1.3 速度

13、速度 速度是位矢对时间的一阶导数速度是位矢对时间的一阶导数 方向方向0 t 时，时， 的极限方向的极限方向r 沿着沿着A A点的切线并指向质点运动方向。点的切线并指向质点运动方向。 dr dt drdS dS dt 瞬时速率（速率）瞬时速率（速率） drdS dtdt 速度的大小等于速率速度的大小等于速率讨论讨论 问题问题1-11-1 0 0 r A r B r A B A B 注注 意意 加速度是描述质点速度的大小和方向随时间变化快慢的物理量。加速度是描述质点速度的大小和方向随时间变化快慢的物理量。 B B A A o o )(ttr ( ) t ()tt )(tr ( ) t ()tt t

14、tt 注意区分注意区分 、 v v o )(tv )(tt v 2121 , 1.1.4 加速度加速度 平均加速度平均加速度 平均加速度是矢量，方向与速度增量的方向相同。平均加速度是矢量，方向与速度增量的方向相同。 瞬时加速度（加速度）瞬时加速度（加速度） 2 2 0 lim)( dt rd dt vd t v ta t 加速度是速度对时间的一阶导数加速度是速度对时间的一阶导数 或位矢对时间的二阶导数或位矢对时间的二阶导数 加速度的方向就是时间加速度的方向就是时间 t t趋近于零时，速度增量的极限方趋近于零时，速度增量的极限方 向。加速度与速度的方向一般不同。向。加速度与速度的方向一般不同。

15、a t ( ) t ()tt 加速度与速度的夹角为加速度与速度的夹角为0 或或180 ，质点做直线运动。，质点做直线运动。 加速度与速度的夹角始终等于加速度与速度的夹角始终等于90 ，质点做匀速率运动。，质点做匀速率运动。 a v v a v a 加速度与速度的夹角大于加速度与速度的夹角大于90 ，速率减小。，速率减小。 g v 加速度与速度的夹角小于加速度与速度的夹角小于90 ，速率增大。，速率增大。 v g 讨论讨论 矢量性：矢量性： 四个量都是矢量，有大小和方向四个量都是矢量，有大小和方向 加减运算遵循平行四边形法则加减运算遵循平行四边形法则 r a r v 某一时刻的瞬时量某一时刻的瞬

16、时量 不同时刻不同不同时刻不同 过程量过程量 瞬时性：瞬时性： 加速度加速度 a 位矢位矢r 位移位移 r 速度速度v 注注 意意 o x y z i k j r 222 zyxr r kjir zyx P(x,y,z) rx/cos ry/cos rz/cos 1coscoscos 222 直角坐标系中的表示直角坐标系中的表示1.2 1.2.1 位矢位矢 位移位移 (t)zz y(t),y x(t),x kzjyixr (t)(t)(t)(t) 质点的运动方程质点的运动方程 分量形式分量形式 矢量形式矢量形式 0),(zyxf 将运动方程中的时间消去，将运动方程中的时间消去， 得到质点运动的

17、轨道方程。得到质点运动的轨道方程。 一般情况轨迹方程是空间一般情况轨迹方程是空间 曲线。曲线。 0),(zyxf o o x x y y z z P(P(x x,y,z),y,z) i k j i )x-x(r-rr 1212 k)z-z(j)y-y( 1212 位移位移 例例1 11 1 一质点的运动方程为一质点的运动方程为 求质点的轨道方程求质点的轨道方程. . .sincosj tbi tatr 解：运动方程的分量形式为解：运动方程的分量形式为 ( )siny tbt ( )cosx tat 在这两式中消去在这两式中消去t t得轨道方程得轨道方程 1 x 2 2 2 2 b y a 是一

18、个椭圆是一个椭圆 drdxdydz ijk dtdtdtdt 速度大小速度大小 222 xyz xyz ijk （速率）（速率） 222 222 y xz dv dvdvd xd yd z aijkijk dtdtdtdtdtdt xyz a ia ja k 222 zyx aaaa 1.2.2 速度速度 1.2.3 速度速度 加速度大小加速度大小 (5) (5)质点速度和加速度的表达式质点速度和加速度的表达式 例例1 12 2 一质点的运动方程为一质点的运动方程为 24 2 2tty tx (SI)(SI) (SI)(SI) 求求(1)(1)以以t t为变量，写出位矢的表达式；为变量，写出位

19、矢的表达式； (2)(2)求质点的轨迹方程；求质点的轨迹方程； (3)(3)质点在第二秒内的位移、平均速度；质点在第二秒内的位移、平均速度； (4)(4)质点在无穷小时间内的位移质点在无穷小时间内的位移 、路程、路程 ；rd dS (6)t=2(6)t=2秒时的速度，秒时的速度， 并并求其求其大小和方向大小和方向。 24 2 2tty tx x x y y o o 从从消去时间消去时间t t得轨迹方程得轨迹方程 0)(x 11)-(x2x-xy 22 为抛物线为抛物线 (2) (2) 轨道方程轨道方程 1 , 1 )0 , 2( 0 , 0 (SI) j )2t(-ti-tr 242 解：解：

20、 (1)(1) (SI) j )2t(-ti-tr 242 ji -r 1 j8-i-4r 2 m j9-i3-r-r r 12 ）（ 1- sm j9-i3- t r v ）（ 注：注：m10393j9-i3-r 22 r)m2-5(4r-rr 12 （3 3）在第二秒内的位移、平均速度；）在第二秒内的位移、平均速度； 3 2 4 - drdx idy jt itt j dt 22 42 24-45dSdxdytttdtrd 22 11 42 24-45 tt tt Sdstttdtr 注： （4 4）在无穷小时间内的位移）在无穷小时间内的位移 、路程；、路程； 242 -(-2 ) ()r

21、t ittjSI (SI) j )2t(-ti-tr 242 (SI) jt)4(-ti-2t dt rd v 3 (SI) j1)4(-3ti-2 dt vd a 2 j24i4(2)v 374244-2v 22 arctan6 为与为与x x轴正向的夹角，轴正向的夹角， 这里为第三象限的角这里为第三象限的角 （5 5）速度和加速度的表达式）速度和加速度的表达式 （6 6）t t=2=2秒时的速度，秒时的速度， 并并求其求其大小和方向大小和方向。 例例1 13 3一质点具有加速度一质点具有加速度 ，在，在 时，其时，其 速度为零，位矢速度为零，位矢 。求（。求（1 1）速度和位矢表达式；（）

22、速度和位矢表达式；（2 2） 轨迹方程。轨迹方程。 2 26 (/)aitj m s 0t 0 rim 解解 (1) d ,dd d aa t t 0 0 dd t a t 0 0 26d t itjt d ,dd d r rt t 2 0 0 23d t rrtitt 23 1tit jm 23 1,xtyt 轨迹方程轨迹方程 3 2 11yxx (2) 2 23/tit jm s 0 r 0 dd t r rt 1.2.4 直线运动直线运动 )t (xx 速度：速度： x x t t 0 0 运动方程曲线坐标时间曲线（运动方程曲线坐标时间曲线（x-tx-t图）图） 平均速度：平均速度： t

23、 x v x x t t0 0t t0 0t t t t x x x x x x0 0 0 lim t xdx tdt 一一 直线运动的运动方程直线运动的运动方程 二二 直线运动的速度和加速度直线运动的速度和加速度 平均加速度平均加速度： v t0t0t t v v v0 加速度加速度： 2 2 0 lim dt xd dt dv t v a t t v a 注：在注：在直线运动中，位移、速度、加速度都不加矢量符号，直线运动中，位移、速度、加速度都不加矢量符号， 以正负表示方向以正负表示方向 质点的运动学方程为质点的运动学方程为x=6+3t-5t3(SI),判断正误判断正误:思考题思考题 质点

24、作匀加速直线运动，加速度为正。质点作匀加速直线运动，加速度为正。 质点作匀加速直线运动，加速度为负。质点作匀加速直线运动，加速度为负。 质点作变加速直线运动，加速度为正。质点作变加速直线运动，加速度为正。 质点作变加速直线运动，加速度为负。质点作变加速直线运动，加速度为负。 质点始终做减速运动质点始终做减速运动. 1 1、已知运动方程，求速度、加速度、已知运动方程，求速度、加速度求导数求导数 注注 如欲建立运动方程，则应建立坐标系，根据运动情况和如欲建立运动方程，则应建立坐标系，根据运动情况和 几何约束关系进行。几何约束关系进行。 )t (xx 2 2 , dxdd x a dtdtdt 2

25、2、已知加速度，初始条件、已知加速度，初始条件, ,求质点的运动方程求质点的运动方程( (包括求速度包括求速度) ) 初始条件初始条件 00 xx，0t 时时 (1)(1) aa t 若若 则因则因 d a dt 所以所以 0 0 t da t dt 0 0 t a t dt 0 0 t xxt dt 三三 直线运动中的两类问题直线运动中的两类问题 (2)(2) aa 若若 则因则因 d a dt 所以所以 0 0 ( ) t d dt a 0( ) d t a 解出解出 t由由 0 0 t xxt dt 求之求之 (3)(3) aa x 若若则因则因 dddxd a dtdxdtdx 所以所

26、以 00 x x da x dx dx dt , ,再由再由求求可得可得 与直线运动相同与直线运动相同, ,在三维在三维( (二维二维) )运动中也有两类基本问题计算运动中也有两类基本问题计算, , 处理三维处理三维( (二维二维) )运动运动, ,对每一个分量的处理方法与此处介绍的相同。对每一个分量的处理方法与此处介绍的相同。 解解 4 , d at dt 4dtdt 4 00 4dtdt 2 2t 一质点以加速度一质点以加速度 运动运动, ,设初始条件为设初始条件为 例例14 2 4/atm s 0t 00 0,10 .xm求速度和运动方程求速度和运动方程. .时时, , 2 2 , dx

27、 t dt 2 2dxt dt 4 100 2 x dxtdt 3 2 10 3 xt m 2 例例15质点沿质点沿x x运动，加速度与速度成正比，比例系数为运动，加速度与速度成正比，比例系数为k,k, 方向与方向与 运动方向相反，初始位置为运动方向相反，初始位置为x xo o, ,初速度为初速度为v v0 0, ,试求质点的速度和运动试求质点的速度和运动 方程。方程。 kv dt dv 解：解： -kva -kdt v dv 0tt 0 时，时， 0 vv 0, xx t 0 v v ,dt -k v dv 0 初始条件初始条件 求速度求速度 -kt, v v ln 0 - 0 kt vv

28、e - 0 , kt dx v e dt 0 - 0 0 , xt kt x dxv e dt - 0 0 1- kt v xxe k - 0 kt dxv e dt 0 -x x 求运动方程求运动方程 - 0 1- kt v e k 解解 2 a=-, dk dtx 而而 2 =-, dddxdk dtdx dtdxx 2 =-, k ddx x 0 2 0 =-, x x k ddx x 2 0 111 =, 2 k xx 0 11 = 2k xx 例例16 已知某质点以加速度已知某质点以加速度 作直线运动，若初始时刻作直线运动，若初始时刻 质点静止于质点静止于x xo o处处, ,求它在

29、求它在 处的速度。处的速度。x 2 a=- k x o 沿着切线指向物体运动方向沿着切线指向物体运动方向 n e 法向单位矢量法向单位矢量法向轴法向轴 n e 沿该点轨迹的法线方向并指向轨道的凹侧沿该点轨迹的法线方向并指向轨道的凹侧 ( (在圆周运动的情况下指向圆心在圆周运动的情况下指向圆心) ) t e t e 切向单位矢量切向单位矢量切向轴切向轴 注意：自然坐标系与直角坐标系的区别。注意：自然坐标系与直角坐标系的区别。 . . 曲线运动的描述曲线运动的描述1.3 1.3.1 自然坐标系自然坐标系 由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因此，自由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因此，自

30、然坐标系中可将速度表示为然坐标系中可将速度表示为 tt t s ve d d ev 由加速度的定义有由加速度的定义有 t v d d a t t v e d d t v t d de 2 2 d d d s v t dt 关键是求关键是求 的大小和方向的大小和方向? ? d d t t e 1.3.2 速度和加速度的自然坐标表示速度和加速度的自然坐标表示 方向。方向。的方向即为的方向即为 n ee d t 0,d t0d 方向方向 t e o d d d ds s n e t e P P 如图，质点在如图，质点在dt dt 时间时间 内经历弧长内经历弧长dsds，对应的圆，对应的圆 心角为心角

31、为d d ，切线的方向改，切线的方向改 变变d d 角度。角度。 t e P P t e t e d d d 作出作出dtdt始末时刻的切始末时刻的切 向单位矢，按平行四边向单位矢，按平行四边 形法则画出形法则画出 t de t de 方向：方向： 1, tt ee 因为 所对应的弧长。所对应的弧长。为为 ddS , R dS d d t e t e o d d d ds s n e t e P P t e P P t e t e d d d 大小：大小： nt eded n t tt e e d d d d n R v e t de 构成的三角形为腰长为构成的三角形为腰长为1 1的的 等腰三

32、角形，等腰三角形， t , , d tt e ee 所以 t e o n e t e P P a n a t a d d t v t e 2 n v R e t v at d d R v an 2 称法向加速度，其大小反映质点速度方向变化的快慢。称法向加速度，其大小反映质点速度方向变化的快慢。 2 2 2 22 nt d aaaa Rdt t a n a a o o tan n t a a 大小大小 方向方向 ttnn a ea e a tn aa d d tt v ae t 2 nn v ae R 称切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢；称切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢； t

33、a n a 推广推广 上述加速度表达式对任何平面曲线运动都适用。上述加速度表达式对任何平面曲线运动都适用。 a t t v e d d 2 n v e 22 nt aaa 2 2 2 d d vv t a 的大小为的大小为 问题问题1-4,5,6,81-4,5,6,8 思考题思考题 讨论下列情况时，质点各作什么运动？讨论下列情况时，质点各作什么运动？ (A)0,0 tn aa (B)0,0 tn aa (D)0,0 tn aa (C)0,0 tn aa P n e t e 式中式中 为为曲率半径曲率半径 A.匀速直线运动 或 静止 B.匀速曲线运 动 C.变速直线运动 D.变速曲线运动 1.3

34、.3 圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述 o o x x y y 设质点在设质点在o ox xy y平面内绕平面内绕o o点、沿半径为点、沿半径为R R的轨道作圆周运动，如的轨道作圆周运动，如 图。以图。以oxox轴为参考方向，则质点的轴为参考方向，则质点的 角位置角位置 前述用位矢、速度、加速度描写圆周运动前述用位矢、速度、加速度描写圆周运动 的方法，称线量描述法；由于做圆周运动的方法，称线量描述法；由于做圆周运动 的质点与圆心的距离不变，因此可用一个的质点与圆心的距离不变，因此可用一个 角度来确定其位置，称为角量描述法。角度来确定其位置，称为角量描述法。 角位移角位移 （规定反时针为正）

35、（规定反时针为正） 一一 圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述 角速度角速度 t tt 00 limlim td d 角加速度角加速度 2 2 00 dd limlim dd tt ttt 平均角速度平均角速度t 平均角加速度平均角加速度 t 角角 速速 度度 的的 单位：单位： 弧度弧度/ /秒秒( (radrad s s-1 -1) ) ； 角加速度的单位：角加速度的单位： 弧度弧度/ /平方秒平方秒( (rad rad s s-2 -2) ) 。 0 2 00 22 00 /2 2 () t tt )(2 2/ 0 2 0 2 2 00 0 xxavv attvxx atvv 注注 与质

36、点的一般运动相同，对于质点的圆周运动也有两类与质点的一般运动相同，对于质点的圆周运动也有两类 基本问题。基本问题。 t 0 运动方程运动方程 匀速圆周运动匀速圆周运动 （ = 0 = 0）：）： 匀变速圆周运动匀变速圆周运动 （ = = 常量常量）：）： 匀变速直线运动匀变速直线运动 讨论讨论 图示图示 一质点作圆周运动一质点作圆周运动， 两边同除以两边同除以 t t，得到速度与角速度之间，得到速度与角速度之间 的关系：的关系： Rv 00 limlim tt rAB R R O O x x + + 0 0 0 0+ + t t+ + t t B B t t A A 0 lim t ABR 在

37、在 t t 时间内，质点的角位移为时间内，质点的角位移为 ，则，则位位 移移 与弧将满足下面的关系与弧将满足下面的关系r 二二 线量与角量的关系线量与角量的关系 将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速度之间将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速度之间 的关系：的关系： 将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，得到法向将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，得到法向 加速度与角速度之间的关系：加速度与角速度之间的关系： 2 2 R R v an 在圆周运动的角量描述中在圆周运动的角量描述中，v, av, a 都有正负 都有正负, ,其都相其都相 对于选定的角位移的正方向而言对

38、于选定的角位移的正方向而言. . Ra t 例例17 计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。 解：地球自转周期解：地球自转周期T=24T=24 6060 60 s60 s，角速度大小为，角速度大小为： T 2 606024 2 15 1027. 7 s 如图，地面上纬度为如图，地面上纬度为 的的P P点，点， 在与赤道平行的平面内作圆周运动在与赤道平行的平面内作圆周运动, , cosRr R 赤道赤道 r p 其轨道的半径为其轨道的半径为 rvcosR cos1073. 61027. 7 65 )/(cos1065. 4 2 sm ran 2 cos

39、2 R cos1073. 6)1027. 7( 625 P P点速度的大小为点速度的大小为 P P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为点只有运动平面上的向心加速度，其大小为 )/(cos1037. 3 22 sm P P点加速度的方向在运动平面上由点加速度的方向在运动平面上由P P指向地轴。指向地轴。 R 赤道赤道 r p s s 解：质点的速率解：质点的速率 P （1 1） t t 时刻质点的总加速度的大小；时刻质点的总加速度的大小； （2 2） t t 为何值时，总加速度的大小为为何值时，总加速度的大小为b b ； （3 3）当总加速度大小为）当总加速度大小为b b 时，质点沿圆周运行了

40、多少圈。时，质点沿圆周运行了多少圈。 例例17 一质点沿半径为一质点沿半径为R R的圆周按规律的圆周按规律 运动，运动，v v0 0、b b都是正的常量。求：都是正的常量。求： 2/ 2 0 bttvs R o n e t e 0 ds vbt dt 0 0 ()vbtt b 0 0 ()btvt b n a a 22 n aaa （2）令）令a = b ，即，即 b R bRbtv a 22 0 )()( R o s （1 1）t t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小: : t v d d R v 2 2 2 d d t s b R btv 2 0

41、 )( R bRbtv 22 0 )()( n e t e （3）当当a a = b = b 时，时，t = t = v v0 0/b /b ，此时，此时v=0,v=0,在之前，在之前，v0,v0,质质 点一直做逆时针运动。点一直做逆时针运动。 /2 2 0 bttvs 圈数：圈数： R s n 2 R o s bvt/ 0 bv /2 2 0 Rb v 4 2 0 得得 n e t e 由此可求得质点历经的弧长为由此可求得质点历经的弧长为 smsmRv/1099. 2/1099. 11050. 1 4711 例例18 地球绕太阳运行的轨道半径地球绕太阳运行的轨道半径R R为为1.501.50

42、101011 11m, m,试求试求 地球相对于太阳的速度和加速度。地球相对于太阳的速度和加速度。 解解 地球绕太阳的公转近似地球绕太阳的公转近似 是匀速圆周运动，角速度是匀速圆周运动，角速度 T 2 365243600 2 17 1099. 1 s 地球在轨道上的速率地球在轨道上的速率 地球做轨道运动的向心加速度的大小地球做轨道运动的向心加速度的大小 23 2 /1095.5sm R v a n 运动描述具有相对性运动描述具有相对性 车上的人观察车上的人观察地面上的人观察地面上的人观察 运动是相对的运动是相对的, ,静止参考系、运动参考系也是相对的静止参考系、运动参考系也是相对的 v v0

43、0 相对运动相对运动1.5 不同参照系中的卫星运动 以地球为参照系以太阳为参照系 考虑两个参考系中的坐标系考虑两个参考系中的坐标系 K (K (O x y zO x y z基 本 参 考 系基 本 参 考 系 ) )和和 K K( (O Ox xy yz z_ _运动参考系 运动参考系) )，它，它 们相对作匀速直线运动。们相对作匀速直线运动。 在在t=0t=0时刻坐标原点重合，对于某质时刻坐标原点重合，对于某质 点，在任意时刻两个坐标系中的质点，在任意时刻两个坐标系中的质 点对应的位移矢量关系为点对应的位移矢量关系为 rrDru t u 速度关系速度关系 质点相对于质点相对于K K系的速度等

44、于质点相系的速度等于质点相 对于对于K K系的速度与系的速度与K K系相对于系相对于K K系系 速度的矢量和速度的矢量和. . Q 注意：低速运动的物体满足上述速度变换式，对于高速运注意：低速运动的物体满足上述速度变换式，对于高速运 动的物体，上面的变换式失效。动的物体，上面的变换式失效。 AK 绝对速度绝对速度 AK 相对速度相对速度 AKAKK K , AK 质点相对基本参照系的绝对速度质点相对基本参照系的绝对速度 K K 等于运动参照系相对基本参照系的牵连速度等于运动参照系相对基本参照系的牵连速度 与质点相对于运动参照系的相对速度与质点相对于运动参照系的相对速度 AK 之矢量和之矢量和。

45、 牵连速度牵连速度 K K u 解相对运动的有关速度问题：解相对运动的有关速度问题： 1 1、取、取A A研究对象；研究对象； K( K(基本参考系基本参考系) )和和K K( (运动参考系运动参考系) ) 2 2、找出已知的、找出已知的 , AKAKK K 画矢量图画矢量图 3 3、投影计算、投影计算。 例例19一货车在行驶过程中，遇到一货车在行驶过程中，遇到5m/s5m/s竖直下落的大雨，车竖直下落的大雨，车 上紧靠挡板平放有长为上紧靠挡板平放有长为l=1m=1m的木板。如果木板上表面距挡板最的木板。如果木板上表面距挡板最 高端的距离高端的距离h=1m=1m，问货车以多大的速度行驶，才能使

46、木板不致，问货车以多大的速度行驶，才能使木板不致 淋雨？淋雨？ l h 解：车在前进的过程中，雨相对解：车在前进的过程中，雨相对 于车向后下方运动，使雨不落在于车向后下方运动，使雨不落在 木板上，挡板最上端处的雨应飘木板上，挡板最上端处的雨应飘 落在木板的最左端的左方。落在木板的最左端的左方。 取取A A雨，雨，K K地面，地面，K K车，车， l h 地地对对雨雨 v 车车对对雨雨 v 对对地地车车 v 对地对地车车 v 雨地 v (m/s)5 车车 对对 地地雨雨 对对 车车雨雨 对对 地地 vvv 45 h l tan1 h l 例例110某人骑摩托车向东前进，其速率为某人骑摩托车向东前

47、进，其速率为10m10m s s-1 -1时觉 时觉 得有南风，当得有南风，当其速率为其速率为15m15m s s-1 -1时，又觉得有东南风，试 时，又觉得有东南风，试 求风速度。求风速度。 解：取解：取A A风，风， K K地面，地面， K K骑车人，作图骑车人，作图 v 15ms-1 10ms-1 45 y(北) x(东) O 根据速度变换公式得到：根据速度变换公式得到： 11 AKAKK K vVVV 22 AKAKK K vVVV v 45 1 AK V 1 K K V 2 AK V 2 K K V 由图中的几何关系，知：由图中的几何关系，知： 1 10(/ ) xK K vvm s

48、 21 ()tan45 yK KK K vvv v 15ms-1 10ms-1 45 y(北) x(东) O )/(51015sm 风速的大小风速的大小： 22 510 v 风速的方向：风速的方向： 为东偏北为东偏北2626 3434 5 arctan 10 )/(2.11sm 4326 v 45 1 AK V 1 K K V 2 AK V 2 K K V 抛手榴弹的过程抛手榴弹的过程 C C O O X X Y Y 一一 质点系质点系 由相互作用着的由相互作用着的 两个或两个以上的质点组成两个或两个以上的质点组成 的系统的系统. . 质心运动反映了质点系的整体的平动特征。质心运动反映了质点系

49、的整体的平动特征。 二二 质心质心 实例实例: :一颗手榴弹可以看一颗手榴弹可以看 作一个质点系作一个质点系, ,投掷手榴投掷手榴 弹时弹时, ,将看到它一面翻转将看到它一面翻转, , 一面前进一面前进, ,各点运动的情况相当复杂各点运动的情况相当复杂. .但是存在一特殊点但是存在一特殊点C,C,其和一其和一 个质点被抛出后一样个质点被抛出后一样, ,其轨迹是一个抛物线其轨迹是一个抛物线.C.C点即为质心点即为质心. . 质心的运动规律就像物体的质量全部集中在该点质心的运动规律就像物体的质量全部集中在该点, ,全部外力全部外力 也像是作用在该点也像是作用在该点. . 质点系质点系 质心质心 刚

50、体运动的描述刚体运动的描述1.6 1.6.1 质点系质点系 质心质心 对于对于N N个质点个质点 组成的质点系：组成的质点系： Ni mmmm, 21 Ni rrrr , 21 Mxmx iic / Mymy iic / Mzmz iic / i mM Mrmr iic / 质心位置矢量质心位置矢量 C r 直直 角角 坐坐 标标 系系 Mmrr c /d 对于质量连续分布的物体对于质量连续分布的物体 分量形式分量形式 Mmxxc/d Mmyyc/d Mmzzc/d dmM 注意：注意： 质量均匀的规则物体的质心在几何中心。质量均匀的规则物体的质心在几何中心。 质心与重心不一样，物体尺寸不十分

51、大时，质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时， 质心与重心质心与重心 位置重合。位置重合。 例：质量均匀的细杆，坐标原点选在一端。例：质量均匀的细杆，坐标原点选在一端。 C o x dx L/2 x M, L M xdm xc 坐标原点选在杆中央。坐标原点选在杆中央。 C o x dx x M, L 0 1 2 2 L L c xdx LM xdm x Lxdx L dx L M x M LL 2 111 00 例例111 求腰长为求腰长为a a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。 这个结果和熟知的三角形重心位置一致。这个结果和熟知的三角形重心位置一致。 a xdx dxx dm xdm x a a c 3 2 2 2 2/ 0 2/ 0 2 三角形质心坐标三角形质心坐标x xc c是是 dxxdm 2 d dx x x x O O x x y y a a 解解 因为等腰直角三角形对于直角的平