线性代数电子

1、学习线性代数的具体要求、重点和难点学习线性代数的具体要求、重点和难点 1 1、行列式、行列式 ( (1)1)掌握掌握n n阶行列式的概念；阶行列式的概念； (2)(2)会运用行列式性质降阶和三角化并能综合运用，熟练会运用行列式性质降阶和三角化并能综合运用，熟练 地计算数字行列式，并初步掌握计算字母行列式；地计算数字行列式，并初步掌握计算字母行列式； (3)(3)掌握克莱姆法则，并会用它们来解线性方程组。掌握克莱姆法则，并会用它们来解线性方程组。 重点是行列式的性质与计算。难点是重点是行列式的性质与计算。难点是n n阶字阶字 母行列式的计算。母行列式的计算。 2、矩、矩 阵阵 (1)熟练掌握矩阵

2、的代数运算及性质；熟练掌握矩阵的代数运算及性质； (2)掌握可逆矩阵的概念及其判别条件；掌握可逆矩阵的概念及其判别条件； (3)掌握矩阵乘积行列式与秩的定理；掌握矩阵乘积行列式与秩的定理； (4)掌握初等矩阵的概掌握初等矩阵的概念及念及其与初等变换的关系，初等其与初等变换的关系，初等 矩阵与可逆矩阵的关系及其用初等变换求逆矩阵的理矩阵与可逆矩阵的关系及其用初等变换求逆矩阵的理 论与方法。论与方法。 重点是矩阵的乘积运算及求逆矩阵。重点是矩阵的乘积运算及求逆矩阵。 学习线性代数的具体要求、重点和难点学习线性代数的具体要求、重点和难点 3、n维向量维向量及其线性相关性及其线性相关性 学习线性代数的

3、具体要求、重点和难点学习线性代数的具体要求、重点和难点 （1）理解）理解n维向量的概念及运算规则，清楚了解向量组的线维向量的概念及运算规则，清楚了解向量组的线 性相关性的定义，会判断向量组的线性相关性，准确理解向性相关性的定义，会判断向量组的线性相关性，准确理解向 量组的极大线性无关向量组和向量组的秩的概念，会求向量量组的极大线性无关向量组和向量组的秩的概念，会求向量 组的最大线性无关向量组和向量组的秩；组的最大线性无关向量组和向量组的秩； （2）掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件，非齐次线）掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件，非齐次线 性方程组有解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系

4、性方程组有解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系 的概念，正确理解并掌握线性代数方程组解的性质及解的结的概念，正确理解并掌握线性代数方程组解的性质及解的结 构，能够利用初等变换方法求出线性代数方程组的通解。构，能够利用初等变换方法求出线性代数方程组的通解。 学习线性代数的具体要求、重点和难点学习线性代数的具体要求、重点和难点 （3）理解向量空间的定义，理解向量空间的基、维数的）理解向量空间的定义，理解向量空间的基、维数的 概念，掌握内积的概念。概念，掌握内积的概念。 重点是利用初等变换方法求出线性代数方程重点是利用初等变换方法求出线性代数方程 组的通解。难点是判断向量组的线性相关性和如组的

5、通解。难点是判断向量组的线性相关性和如 何求向量组的极大线性无关向量组和向量组的秩。何求向量组的极大线性无关向量组和向量组的秩。 4、线性方程组、线性方程组 (1)(1)切实理解消去法和矩阵的初等变换的关系，熟悉高斯消切实理解消去法和矩阵的初等变换的关系，熟悉高斯消 去法；去法； (2)(2)理解和掌握矩阵的秩，会用初等变换及行列式来求秩；理解和掌握矩阵的秩，会用初等变换及行列式来求秩； (3)(3)牢固掌握线性方程组有解的判别定理；牢固掌握线性方程组有解的判别定理； (4)(4)正确理解和掌握齐次及非齐次线性方程组解的结构；正确理解和掌握齐次及非齐次线性方程组解的结构； 重点是矩阵的初等变换

6、、线性方程组的解法重点是矩阵的初等变换、线性方程组的解法 及有解判定法。及有解判定法。 学习线性代数的具体要求、重点和难点学习线性代数的具体要求、重点和难点 4、对称矩阵与二次型、对称矩阵与二次型 (1)(1)掌握二次型的概念及二次型与对称矩阵之间的一一对应关系；掌握二次型的概念及二次型与对称矩阵之间的一一对应关系； (2)(2)掌握二次型经非退化线性变换后仍为二次型；掌握二次型经非退化线性变换后仍为二次型； (3)(3)理解二次型的标准形及掌握化二次型为标准形的方法；理解二次型的标准形及掌握化二次型为标准形的方法； (4)(4)理解实数域上二次型的标准形（规范形）唯一性及意义；理解实数域上二

7、次型的标准形（规范形）唯一性及意义； (5)(5)掌握正定二次型的概念，并掌握其判别法；掌握正定二次型的概念，并掌握其判别法； (6)(6)深刻理解矩阵的相似、特征值、特征向量的概念，并掌握求矩深刻理解矩阵的相似、特征值、特征向量的概念，并掌握求矩 阵特征多项式、特征值、特征向量的理论步骤和方法以及可对角阵特征多项式、特征值、特征向量的理论步骤和方法以及可对角 化的条件。化的条件。 学习线性代数的具体要求、重点和难点学习线性代数的具体要求、重点和难点 重点是化二次型为标准形和正定二次型的性质。重点是化二次型为标准形和正定二次型的性质。 难点是惯性定理及正交法。难点是惯性定理及正交法。 学习线性

8、代数的具体要求、重点和难点学习线性代数的具体要求、重点和难点 线性代数的学习方法线性代数的学习方法 1、攻克、攻克“抽象化抽象化”堡垒堡垒 2、占领、占领“一般性一般性”阵地阵地 3、增强论证能力、增强论证能力 4、掌握全局和局部的关系、掌握全局和局部的关系 第一章第一章 行行 列列 式式 1.1行列式及其性质行列式及其性质 1.3克莱姆法则克莱姆法则 1.2行列式的计算行列式的计算 教学目的教学目的: 重重 点点: 难难 点点 ： 学时数学时数 ： 通过本章的学习通过本章的学习, ,要求学生准确理解行列式的要求学生准确理解行列式的 概念及其性质概念及其性质, ,并能熟练地运用克莱姆法则解并能

9、熟练地运用克莱姆法则解 线性方程组线性方程组. . 行列式性质的运用、克莱姆法则的运用。行列式性质的运用、克莱姆法则的运用。 高阶行列式及字母行列式的计算。高阶行列式及字母行列式的计算。 4-6学时学时 第一章第一章 行行 列列 式式 一、一、2 2、3 3阶行列式的定义：阶行列式的定义： 引进符号：引进符号： 并称之为二阶行列式。其中并称之为二阶行列式。其中 12212211 2221 1211 aaaa aa aa 元素)2 , 1; 2 , 1(jiaij 1.1 1.1 行列式及其性质行列式及其性质 列标行标， ji 第一章第一章 行行 列列 式式 同理，符号：同理，符号： 12213

10、3113223312213312312133221332211 333231 232221 131211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa aaa aaa aaa 称为三阶行列式。称为三阶行列式。 第一章第一章 行行 列列 式式 二、二、2 2 、3 3阶行列式与线性方程组的关系阶行列式与线性方程组的关系 设有两个未知数的线性方程组：设有两个未知数的线性方程组： 其变量的系数可以构成一个其变量的系数可以构成一个2 2阶行列式，称为该阶行列式，称为该 线性方程组的系数行列式，记为线性方程组的系数行列式，记为D D 2222121 1212111 bxaxa bxaxa (1.1) 第一章第一

11、章 行行 列列 式式 即：即： 2221 1211 aa aa D 又记：又记： 221 111 2 222 121 1 , ba ba D ab ab D 利用消元法解利用消元法解(1.1)得：得： D D aaaa abba x D D aaaa baab x 2 21122211 211211 2 1 21122211 212221 1 第一章第一章 行行 列列 式式 三、三、n n阶行列式的定义阶行列式的定义 nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 列的算式列的算式行行排成排成个数个数设有设有定义定义nnnjnian ij )2 , 1,2 , 1( 2

12、 )det( ijn aDn或阶行列式，记为称为 排为行，纵排位列。称为行列式的元素，横数 ij a 的余子式为：元素 ij a ij ijn Mn aD 阶行列式，记为构成的 素（位置不变）所在的行和列，剩下元中去掉在 1 的代数余子式为：元素 ij a ij ji ij MA ) 1( 第一章第一章 行行 列列 式式 nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 阶行列式的值为定义n nnn n n n aa aa a , 12, 1 112 1 1 ) 1( nnn n aa aa a 2 222 11 11 ) 1( nnn n aa aa a 2 112 2

13、1 12 ) 1( 1 1 1 1 ) 1( i n i i i Ma n i ii Aa 1 11 11 1 2121 12 1111 2 ) 1() 1() 1( nn n n MaMaMaD 即 1121211111nnn AaAaAaD或 第一章第一章 行行 列列 式式 n j jjnnn AaAaAaAaD n 1 111112121111 1 之之和和，即即相相应应的的代代数数余余子子式式乘乘积积 第第一一行行的的每每个个元元素素与与其其阶阶行行列列式式的的值值等等于于它它的的定定理理 证明：用数归纳法证明：用数归纳法 （1）n=2时，显然成立时，显然成立 （2）设）设n=k-1时

14、命题成立，现证时命题成立，现证n=k时，命题也成立。时，命题也成立。 (*)1( 1 1 2 11111 1 11 i i k i i k i iin MaMaAaD 其中其中Mi1是是k-1阶行列式，则由归纳假设有：阶行列式，则由归纳假设有： *可以证明：可以证明：Dn按第一行展开与按第一列展开的结果相同。即按第一行展开与按第一列展开的结果相同。即 第一章第一章 行行 列列 式式 k j jij jj ji k j j kkkk kiii kiii k k i MaMa aaa aaa aaa aaa aaa M 2 111 )1(1 11 2 1 32 , 13, 12, 1 , 13,

15、12, 1 22322 11312 1 )()1()1()( 第一章第一章 行行 列列 式式 代入（代入（*）得：）得： k j jj k j jj j iji k i i k j j j ij k i k j ji ji k i k j jiji i n AaMaMa MaaMa MaaMa MaaMaD 1 11 2 11 1 1111 111 22 1 1 1111 11 22 11 1 1111 22 1111 1 1111 )1( )()1()1( )()1( )()1( 第一章第一章 行行 列列 式式 四、行列式的性质四、行列式的性质 设设 nnnn n n T aaa aaa a

16、aa DD 21 22212 12111 的转置 则则 DDT nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 性质性质1：行列式转置后，其值不变。行列式转置后，其值不变。 性质1表明：行列式对行满足的性质对列同样满足，反之亦然。 第一章第一章 行行 列列 式式 性质性质 2： 推论推论 ：行列式行列式D D中有两行（列）的对应元素完全相中有两行（列）的对应元素完全相 同，则这个行列式的值为零。同，则这个行列式的值为零。 互换一个行列式的两行（或两列），行列式的值变号。 ji rrji两行可表示为：互换 , ji ccji两列可表示为：互换 , 第一章第一章 行行

17、列列 式式 推论推论 1 1：若行列式有一行（列）的元素全为零，则若行列式有一行（列）的元素全为零，则 这个行列式的值为零。这个行列式的值为零。 性质性质 3：行列式中某一行（列）所有元素的公因子，行列式中某一行（列）所有元素的公因子， 可以提到行列式符号外。可以提到行列式符号外。 )(kckrki ii 可表示为：行（列）乘以第 推论推论 2：若行列式有两行（列）的元素对应成比例，若行列式有两行（列）的元素对应成比例， 则行列式的值为零。则行列式的值为零。 第一章第一章 行行 列列 式式 nnnnjnn nj nj abaaa abaaa abaaa D 21 2222221 1111211

18、 nnnjnn nj nj aaaa aaaa aaaa 21 222221 111211 nnnnn n n abaa abaa abaa 21 222221 111211 性质性质4 4：如果行列式的某一行（列）的元素都是两项之和，如果行列式的某一行（列）的元素都是两项之和， 则可以把这个行列式化为两个行列式的和。这两个行列式的则可以把这个行列式化为两个行列式的和。这两个行列式的 该行（列）的元素分别是原行列式中相应位置的两项的第该行（列）的元素分别是原行列式中相应位置的两项的第1 1 项、第项、第2 2项，其它位置的元素不变。项，其它位置的元素不变。 第一章第一章 行行 列列 式式 性质

19、性质 5：若行列式某一行（列）的元素乘以同一个数后，若行列式某一行（列）的元素乘以同一个数后， 加到另一行（列）相应元素上，则该行列式的值不变。加到另一行（列）相应元素上，则该行列式的值不变。 ji krrijk行上，记为行加到第乘以第以 ji kccijk列上，记为列加到第乘以第以 ji krr nnnn jnjj inii n aaa aaa aaa aaa D 21 21 21 11211 nnnn jnjj jninjiji n aaa aaa kaakaakaa aaa 21 21 2211 11211 第一章第一章 行行 列列 式式 性质性质6：行列式的值等于它任意一行（列）的元素

20、行列式的值等于它任意一行（列）的元素 与它的代数余子式的乘积之和。与它的代数余子式的乘积之和。 nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 )2 , 1( 1 njAa ij n i ij )2 , 1( 1 niAa ij n j ij 第一章第一章 行行 列列 式式 性质性质7：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）：行列式某一行（列）的元素与另一行（列） 对应元素的代数余子的乘积子和为零。对应元素的代数余子的乘积子和为零。 n k jkik Aa 1 jninjiji AaAaAa 2211 n k kjki Aa 1 njnijii AaAaAa 22j11

21、 0 0 第一章第一章 行行 列列 式式 例例1：计算下三角行列式：计算下三角行列式 nnnn aaa aa a D 21 2221 11 0 00 的值。的值。 1.2 1.2 行列式的计算行列式的计算 一、应用举例一、应用举例 第一章第一章 行行 列列 式式 解：按第一行展开得：解：按第一行展开得： nnnn aaa aa a aD 32 3332 22 11 0 00 nn aaa 2211 第一章第一章 行行 列列 式式 例例2：计算：计算 abbb abaa baba bbba D 的值。的值。 第一章第一章 行行 列列 式式 解：第解：第2行加上第行加上第1行的行的-1倍、第倍、第

22、4行加上第行加上第3行的行的-1倍得：倍得： 00 000 34 )1( abab abaa ba bbba rr 011 111)( 2 , bba aab ab a 第三行提出 第二行提出 3 )(aba abbb abaa ba bbba D rr 000 12 )1( 0 )() 1( 32 abab aaa bba ba 第二行展 011 100)( 2 )1( 32 bba aab rr 11 )( 2 ba aab 第二行展 第一章第一章 行行 列列 式式 例例3：计算：计算 15432 51432 54132 54312 54321 D的值的值 第一章第一章 行行 列列 式式

23、解：从第二列起，以后各列乘解：从第二列起，以后各列乘1加到第一列上得：加到第一列上得： 154315 514315 541315 543115 543215 D 第一章第一章 行行 列列 式式 15431 51431 54131 54311 54321 15 41110 03110 00210 00010 54321 15 第一章第一章 行行 列列 式式 4111 0311 0021 0001 15 360!415)4)(3)(2)(1(15 第一章第一章 行行 列列 式式 例例4：计算：计算 10782 5513 71391 3152 D 的值。的值。 第一章第一章 行行 列列 式式 243

24、326 163426 172513 1 第一列展 1017 1816 131）（ 第一列展 2433260 1634260 71391 1725130 24 23 21 ) 2( ) 3( 2 rr rr rr D 10170 18160 172513 1 13 12 2 2 rr rr 2080 解： 第一章第一章 行行 列列 式式 例例5： 证明证明n阶行列式阶行列式: )( 10000 00000 00010 00001 1 1 12321 xfaxax axaaaaa x x x x nn nn nnn 第一章第一章 行行 列列 式式 证证: 等式左边第等式左边第n列乘列乘x加到第加到

25、第n-1列列,(所得结果的所得结果的)第第 n-1列乘列乘x加到第加到第n-2列列, , 第第2列乘列乘x加到第加到第1列得列得: 第一章第一章 行行 列列 式式 121 2 321 100000 00000 00010 00001 axaxaxaaaa x x x nnn 左左 121 2 32 2 1 3 21 100000 00000 00010 00001 axaxaxaxaxaxaaa x x x nnn 第一章第一章 行行 列列 式式 )()()()()( 10000 00000 00100 00010 1221 xfxfxfxfxf nnn 10 01 )(1 1 xfn n ）

26、（ 按第一列展按第一列展 )() 1() 1)( 11 xfxf n nn n 第一章第一章 行行 列列 式式 例例6 6 证明证明范德蒙行列式范德蒙行列式( (n n22) ) ),( 1111 1 11 3 1 2 1 1 22 3 2 2 2 1 321 ji nij n n nnn n n n xx xxxx xxxx xxxx V 第一章第一章 行行 列列 式式 结论成立。时，）（, 11 21 12 21 2 xx xx Vn 归纳证明用数学归纳法对n 阶也成立。阶成立，现证对）假设对（nn 12 第一章第一章 行行 列列 式式 ni rxr n n nnn n n n ii xx

27、xx xxxx xxxx V 3 , 2 )( 11 3 1 2 1 1 22 3 2 2 2 1 321 11 1111 )()()(0 )()()(0 0 1111 1 2 13 2 312 2 2 1133122 11312 xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxx n n n nn nn n 第一章第一章 行行 列列 式式 )()()( )()()( 1 2 13 2 312 2 2 1133122 11312 xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxx n n n nn nn n 第一列展 22 3 2 2 32 11312 12, 1 111 )()( 1 n

28、 n nn n n nj xxj xxx xxx xxxxxx jj 列提出第 n-1阶范德阶范德 蒙行列式蒙行列式 第一章第一章 行行 列列 式式 nij ji nij jinn xx xxxxxxxxV 1 2 11312 )( )()()( 第一章第一章 行行 列列 式式 例例7 7：利用范德蒙行列式计算：利用范德蒙行列式计算: : 1 1111 1111 21 )() 2() 1( )() 2() 1( n nnnn nnnn naaaa naaaa naaaa 解：解：次），交换行依次换到第一行（共将第nn1 次），交换行依次换到第二行（共然后将新矩阵的第11nn 次共交换了 2 )

29、 1( nn 第一章第一章 行行 列列 式式 原式原式= 1 1111 2 ) 1( )() 1() 1( )() 1() 1( ) 1(1 1111 ) 1( n nnnn nnnn nn nanaaa nanaaa nanaaa nij nn jaia 0 2 )1( )()() 1( !2)!1( !)1( 2 )1( nn nn 第一章第一章 行行 列列 式式 例例8：计算下列：计算下列n阶行列式阶行列式: xaa axa aax 第一章第一章 行行 列列 式式 解解:从第二列起从第二列起,以后各列加到第一列得以后各列加到第一列得: xa ax aa anx 1 1 1 )1( 原式原

30、式= ax aax a anx 00 0 01 ) 1( 1 )() 1( n axanx xaanx axanx aaanx ) 1( ) 1( ) 1( 第一章第一章 行行 列列 式式 例例9 9 计算计算 n n n n n aaa aaa aaa D 1 1 1 21 21 21 解：解： （加边法）（加边法） 第一章第一章 行行 列列 式式 ）（1 21 21 21 21 10 10 10 1 n n n n n n aaa aaa aaa aaa D )1( 21 13,2 1- 1001 0101 0011 1 1 n n ni rr aaa i ）（ 第一章第一章 行行 列列

31、式式 ）（ 第一列 全加到 列起， 从第二 1 21 1 1000 0100 0010 1 n n n i i aaaa n i i a 1 1 第一章第一章 行行 列列 式式 * *二、拉普拉斯定理二、拉普拉斯定理 1、行列式、行列式D的的k阶子式阶子式M： 任选任选D中中k行行k列，位于其交叉点元素按原来顺序列，位于其交叉点元素按原来顺序 排列成的一个排列成的一个k阶行列式叫做阶行列式叫做D的一个的一个k阶子式阶子式,记为记为M nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 设 第一章第一章 行行 列列 式式 3、M的代数余子式的代数余子式A： 在在 N 之前

32、冠以一个符号，符号由下式决定之前冠以一个符号，符号由下式决定 )()( 21121 ) 1( kk jjjiii 其中其中 ),( 21,21kk jjjiii 表示表示 M 在在D中的行标和列标。中的行标和列标。 2、M的余子式的余子式N： 划去划去k k行、行、k k列后，余下的元素按原来顺序排成列后，余下的元素按原来顺序排成 的一个的一个n-kn-k阶行列式阶行列式, ,记为记为N N 第一章第一章 行行 列列 式式 如：如： 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa D 3331 2321 aa aa MD的一个二阶

33、子式： 4442 1412 aa aa NM的余子式为： NAM )31()32( ) 1( 的代数余子式为： 第一章第一章 行行 列列 式式 定理定理1（拉普拉斯定理）（拉普拉斯定理） 在在n n阶行列式阶行列式D D中，任意中，任意取定取定k k行行( (列列) )后，由这后，由这 k k行行( (列列) )元素所组成的元素所组成的一切一切k k阶子式阶子式与它的代数余与它的代数余 子式的乘积之和等于行列式子式的乘积之和等于行列式D D的值。的值。 第一章第一章 行行 列列 式式 例例1 1 计算计算 11110 21220 12110 10101 20102 D 解：解： 按按1，2行展

34、开，不为零的二阶子式为行展开，不为零的二阶子式为 11 21 11 12 21 MM 第一章第一章 行行 列列 式式 11110 21220 12110 10101 20102 D 0 111 212 121 11 NM 的余子式 0) 1( 1 3111 11 NAM 的代数余子式 0 110 120 210 22 NM 的余子式 0) 1( 2 5311 22 NAM 的代数余子式 由拉普拉斯定理由拉普拉斯定理0 221. 1 AMAMD 第一章第一章 行行 列列 式式 *行列式乘法行列式乘法 Th1.3 设设 nnnn n n nnnn n n bbb bbb bbb D aaa aaa

35、 aaa D 21 22221 11211 2 21 22221 11211 1 , 第一章第一章 行行 列列 式式 则则 n k kjikij nnnn n n bac ccc ccc ccc CDD 1 21 22221 11211 21 , 第一章第一章 行行 列列 式式 1.3 1.3 克莱姆法则克莱姆法则 设设n个未知数、个未知数、n个方程的线性方程组为：个方程的线性方程组为： nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 （I） 第一章第一章 行行 列列 式式 记系数行列式为记系数行列式为 nnnn n n

36、aaa aaa aaa D 21 22221 11211 另外记另外记 ),.2 , 1( , 1,1,1 21, 221, 221 11, 111, 111 nj aabaa aabaa aabaa D nnjnnjnn njj njj j 第一章第一章 行行 列列 式式 D D x D D x D D x n n , 2 2 1 1 证明：证明：分别用分别用 njjj AAA, 21 乘方程组（乘方程组（I）的第）的第1、第、第2、第第n个方程，然后个方程，然后 相加得：相加得： ）有唯一解，且则方程组（ 的系数行列式的值方程组定理（克莱姆法则）若 0)(D 第一章第一章 行行 列列 式式

37、 ）（ njnjjnnjnnjnjn jnjnjjjjjnjnjj AbAbAbxAaAaAa xAaAaAaxAaAaAa 22112211 221111221111 )( )()( 据性质据性质6，7有：有： D D xDxD j jjj （j=1，2，,n） 因因(I)(I)的解必是的解必是(II)(II)的解，而的解，而(II)(II)仅有唯一解仅有唯一解 x xj j=D=Dj j/D, /D, 将其唯一解代入将其唯一解代入(I)(I)验证也是验证也是(I)(I)的解。所的解。所 以原方程有唯一解。以原方程有唯一解。 第一章第一章 行行 列列 式式 例例 1：用克莱姆法则解下列线性方

38、程组用克莱姆法则解下列线性方程组 0674 522 963 852 4321 432 421 4321 xxxx xxx xxx xxxx 解解:方程组的系数行列式为方程组的系数行列式为 6741 2120 6031 1512 D 12770 2120 6031 13570 27 1277 212 1357 第一章第一章 行行 列列 式式 81 6740 2125 6039 1518 1 D 27,27108 432 DDD， 由克莱姆法则由克莱姆法则 1, 1, 4, 3 4 4 3 3 2 2 1 1 D D x D D x D D x D D x 第一章第一章 行行 列列 式式 例例2：

39、问线性方程组：问线性方程组 2 3 2 2 2 1 2 321 321 1 dxcxbxa dcxbxax xxx 其中其中 满足什么条件时，才可以用克莱姆法满足什么条件时，才可以用克莱姆法 求解？并解之。求解？并解之。 cba, 第一章第一章 行行 列列 式式 解：解： 222 111 cba cbaD cb acab 11 )( accabb acab 22 0 0 111 accabb acab 22 )()(bcacab 第一章第一章 行行 列列 式式 才能用克莱姆法则求解，且：才能用克莱姆法则求解，且： )()( 111 )()( 111 222 3 222 2 bdabad dba

40、 dbaD addcac cda cdaD , cbaD时，即当 222 1 111 cbd cbdD )()(bcdcdb 第一章第一章 行行 列列 式式 则则 )( )( )( )( )( )( 3 3 2 2 1 1 bcac dbda D D x bcba dadc D D x acab dcdb D D x 第一章第一章 行行 列列 式式 第二章第二章 矩矩 阵阵 2.1 2.2 2.3 2.4 第二章第二章 矩矩 阵阵 教学目的教学目的：通过对本章的学习，要求学生掌握矩阵的通过对本章的学习，要求学生掌握矩阵的 概念及一系列的运算，为以后各章打下坚概念及一系列的运算，为以后各章打下坚

41、 实的基础。实的基础。 教学重点教学重点：矩阵概念及矩阵的初等变换。矩阵概念及矩阵的初等变换。 难难 点点： 有关定理的证明（可不重点要求）有关定理的证明（可不重点要求） 第二章第二章 矩矩 阵阵 2.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念 一、矩阵的定义一、矩阵的定义 mnmm n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 称为称为mn矩阵矩阵. nm ij a nmij aA )( 定义定义1 由由 个数个数 （i=1,2,m;j=1,2,n)所排成数表所排成数表: 记为记为: nmij AaA ),( 第二章第二章 矩矩 阵阵 几种常见的特殊矩阵几种常见的特殊矩阵: 2.行

42、矩阵（行矩阵（n维行向量），即维行向量），即m=1时：时： )( 11211n aaaA 1.零矩阵零矩阵 0 mn 000 000 000 0 第二章第二章 矩矩 阵阵 3.列矩阵（列矩阵（m维列向量），即维列向量），即n=1时：时： nnnn n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 1 21 11 m a a a A 4.n阶方阵，即阶方阵，即m=n时时 第二章第二章 矩矩 阵阵 5.对角矩阵对角矩阵(也是也是n阶方阵阶方阵) nn a a a 00 00 00 22 11 nn aaadiag 2211 ji ji ijnij , 0 , 1 ,)( 100 0

43、10 001 特别地：特别地： 叫做单位矩阵，记为叫做单位矩阵，记为E 第二章第二章 矩矩 阵阵 6.n阶数量矩阵阶数量矩阵kE 0, 00 00 00 k k k k kE 第二章第二章 矩矩 阵阵 7.上三角矩阵上三角矩阵 nn n n a aa aaa A 00 0 222 11211 nnnn aaa aa a A 21 2221 11 0 00 8.下三角矩阵下三角矩阵 9.同型矩阵：指行数与列数相同的两个矩阵同型矩阵：指行数与列数相同的两个矩阵 第二章第二章 矩矩 阵阵 2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算 矩阵的相等矩阵的相等 设设 nmijnmij bBaA )(,)( 若若)

44、2 , 1;, 2 , 1( ,njmiba ijij 则称则称A与与B相等。记为相等。记为 A=B 第二章第二章 矩矩 阵阵 一一 、矩阵的线性运算、矩阵的线性运算 定义定义1 nmijij baBA )(即 加法运算律：加法运算律： AA CBACBA ABBA 0 )()( 1、矩阵的加法、矩阵的加法 我们把设 nmijnmij bBaA )(,)( BABABA的和，记为与的矩阵称为对应元素相加，所得到与 第二章第二章 矩矩 阵阵 负矩阵负矩阵 得到的新矩阵的全部元素改变符号后矩阵 mnij aA)( mnij aAA)(,即记为的负矩阵，称为矩阵）（Aa mnij 矩阵的减法矩阵的减

45、法 mnijij baBABA)()( 0)(AA显然 第二章第二章 矩矩 阵阵 2、数与矩阵的乘法（数乘法）、数与矩阵的乘法（数乘法） RkkaAkkA nmij ,)( 其运算律为：其运算律为： 0,1,1 )()( )( )( AAAAAA AkllAk lAkAAlk kBkABAk ，即或的乘积，记为与矩阵称为数）所得的矩阵（ 的每个元素，乘以矩阵为常数，用设定义 AkkAAkka AkkaA mnij mnij ,)(2 第二章第二章 矩矩 阵阵 XBXABA求且设矩阵例,32, 01 24 01 , 31 10 25 1 BXA32解： )2( 3 1 BAX ）（ 01 24

46、01 31 10 25 2 3 1 63 04 49 3 1 21 0 3 4 3 4 3 第二章第二章 矩矩 阵阵 二、矩阵的乘法二、矩阵的乘法 nsijsmij bBaA )(,)(3设定义 nmij cABCnmBA )(列矩阵行的乘积是一个与则 其中：其中： ), 2 , 1;, 2 , 1( 1 2211 njmi babababac kj s k iksjisjijiij 第二章第二章 矩矩 阵阵 例例2：设：设 432 014 311 201 , 5102 4321 BA 求求AB 第二章第二章 矩矩 阵阵 34 42 432 014 311 201 5102 4321 AB 解

47、：解： 32 32 241616 241719 )( AB 第二章第二章 矩矩 阵阵 注意注意:矩阵乘法与数的乘法的区别矩阵乘法与数的乘法的区别 BAAB 即 可交换，则称特别地，如果BABAAB, 0, 0, 0ABBA有可能即 1.矩阵乘法不满足交换律，矩阵乘法不满足交换律， 2.两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵，两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵， 3.当当CBAACAB未必能推出，且, 0 第二章第二章 矩矩 阵阵 矩阵乘法运算律：矩阵乘法运算律： )()()( )( )( )()( kBABkAABk ACABCBA BCACCBA CABBCA （右分配律）（右分配律） （左分配律）（左

48、分配律） 第二章第二章 矩矩 阵阵 则则 pmijij baBA )()( nmij CBA )()(再设 其中其中: )()( )()()( 22112211 222111 pjipjijipjipjiii pjipipjiijiiij cbcbcbcacaca cbacbacba BCACCBA)(*选证 证明证明: 设设 npijpmijpmij cCbBaA )(,)(,)( 第二章第二章 矩矩 阵阵 则则 nmijij lkBCAC )( 其中其中: pjipjijiij pjipjijiij cbcbcbl cacacak 2111 2211 BCACCBAlk ijijij )(

49、 nmijnmij lBCkAC )(,)(又设 第二章第二章 矩矩 阵阵 例例3: 证明对任意矩阵证明对任意矩阵 Am n，有 ，有AE=A, EA=A 证明证明: 设设 nnnmij EaA ,)(，则，则 A aaa aaa aaa aaa aaa aaa AE mnmm n n mnmm n n 21 22221 11211 21 22221 11211 100 010 001 同理，设同理，设Em m , 有 有EA=A 第二章第二章 矩矩 阵阵 三、三、n阶方阵的幂余方阵的多项式阶方阵的幂余方阵的多项式 AAAAAAAA kk 121 , 运算律运算律: kllklklk AAAA

50、A )( ; 注意注意: kkk BAAB)( 的正整数次幂定义为：阶方阵，则为设矩阵定义AnA4 第二章第二章 矩矩 阵阵 则 次多项式是一个若 ,)( )( 01 1 1 bxbxbxbxg mxg m m m m EbAbAbAbAg m m m m01 1 1 )( 次多项式。的称为方阵mA 第二章第二章 矩矩 阵阵 BAAB BABABAnBA 成立的充要条件是 阶方阵，则等式均为例 222 2)(,4 222 2)(BABABA证明：（必要性） )()( 2 BABABA）（而 22 BABBAA ABBAABABBA2则 222 )(BABBAABA（充分性） BAAB 如果 2

51、22 2)(BABABA则 第二章第二章 矩矩 阵阵 四、矩阵的转置四、矩阵的转置 定义定义5 设设 nmij aA )( , 则其转置定义为则其转置定义为: )( ,)( jiijmnij T aaaA 运算律运算律: TTTTT TTTTT ABABkAkA BABAAA )(;)( )(;)( 定义定义6 为对称矩阵则称阶方阵，若为设AAAnA T 为反对称矩阵，则称阶方阵，若为设AAAnA T 第二章第二章 矩矩 阵阵 为对称矩阵对称矩阵）为（ 为反对称矩阵，证明为对称矩阵，设例 BAABB BA )2(;1 5 2 为反对称矩阵，）（B1BBT即证明：证明： 22 )()(BBBBB

52、BBB TTTT ）则（ 为对称矩阵说明 2 B 为反对称矩阵，为对称矩阵，）（BA2BBAA TT ,即 TTT BAABBAAB)()()( BAABBABABAAB TTTT )( 为对称矩阵说明BAAB 第二章第二章 矩矩 阵阵 五、方阵五、方阵A的行列式的行列式 设设 nnij aA )(,定义定义A的行列式为的行列式为: nnnn n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 | 运算律运算律: | |;| |;|BABAAAAA nT 第二章第二章 矩矩 阵阵 2 )(2ABA TT 2 )(2, 1, 2,6ABABABA TT 计算均为四阶方阵，且设例 2

53、4 )(2ABA TT ）（ 解：解： 24 )(2ABA TT ）（ 2 )(16ABA T 22 16ABA 128 第二章第二章 矩矩 阵阵 2.3 2.3 逆方阵逆方阵 问题问题: 当当Y=AX成立时成立时,在什么条件下可得到在什么条件下可得到X, 如何求出如何求出X? 一、逆矩阵的概念一、逆矩阵的概念 定义定义1 1 设设A A为一为一n n阶方阵，如果有阶方阵，如果有n n阶方阵阶方阵B B存在，存在， 使得使得: AB = BA = E AB = BA = E 则称则称A A可逆，并称可逆，并称B B是是A A的逆方阵的逆方阵( (简称简称A A的逆的逆) )，记为，记为 1 A

54、B 第二章第二章 矩矩 阵阵 由定义可得 ABBA BABA 11 , ,1互逆，即与的位置对称，故）由于（ EE 1 2它本身，即）单位矩阵的逆矩阵是（ ）怎么求逆矩阵？（ 的，其逆矩阵有几个？）如果一个方阵是可逆（ ）什么样的方阵可逆？问题：（ 3 2 1 第二章第二章 矩矩 阵阵 二、逆矩阵的个数是唯一的二、逆矩阵的个数是唯一的(约定记为约定记为A-1) 定理定理1: 若方阵若方阵A是可逆的是可逆的,则有唯一的逆矩阵则有唯一的逆矩阵. 证明证明: 设设B , C均为均为A的逆矩阵，的逆矩阵， B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C 所以，所以，A的逆是唯一的，记为的逆是唯一的，记为A

55、-1 ECAACEBAAB,即 第二章第二章 矩矩 阵阵 三、三、A可逆的充要条件可逆的充要条件: 的伴随矩阵。称为 阶方阵为元素组成的的代数余子式，以 中元素的行列式是方阵，设方阵定义 A AAA AAA AAA A nAa AAAaA nnnn n n ijij ijnnij 21 22212 12111 * )(2 第二章第二章 矩矩 阵阵 证明证明：（必要性）：（必要性） | 1 | ,0| ,0| 1| | B ABA BA EAB 则 * | 1 , 0| 2 1 A A AA An 且 可逆的充分必要条件为阶方阵定理 EBAABBA使得可逆，即存在方阵设, |A|0, EAa A

56、 AA A A A A kj n k ik )( | 1 * | 1 *) | 1 ( 1 同理可证同理可证:EAA A *) | 1 ( 第二章第二章 矩矩 阵阵 （充分性）（充分性） * | 1 1 A A A 第二章第二章 矩矩 阵阵 |00 0|0 00| * 21 22212 12111 21 22221 11211 A A A AAA AAA AAA aaa aaa aaa AA nnnn n n nnnn n n 第二章第二章 矩矩 阵阵 四、可逆矩阵的性质四、可逆矩阵的性质 1. 若矩阵若矩阵A可逆可逆, 且且AB=E, 则必有则必有BA=E. 反之亦然反之亦然. AA 11

57、).(2 3. 若若A、B均可逆均可逆, 则则AB也可逆也可逆,且有且有: 111 )( ABAB TT AA)().(4 11 11 1 ).(5 A k kA 注注: 若若A,B均可逆均可逆, 但但 A+B未必可逆未必可逆! 第二章第二章 矩矩 阵阵 例例1: 设设 01 10 11 , 112 111 101 BA 且且AX=B, 求出求出X。 解解: 01 112 111 101 | A 所以所以A可逆可逆 第二章第二章 矩矩 阵阵 又因为又因为AX=B，两边同乘以，两边同乘以A-1得得: BAXBAAXA 111 )( 而而 111 213 112 1* | 1 1 A A A 02

58、 25 13 01 10 11 111 213 112 X 第二章第二章 矩矩 阵阵 例例2: 设矩阵设矩阵B可逆可逆, A与与B同阶且满足同阶且满足: 0 22 BABA 证明证明: A和和A+B均可逆均可逆. 证证: 0 22 BABA 0| ,0|BAA 故故A与与A+B均可逆均可逆. 0|) 1(| )(|BBBBBBAA n 22 BABA则 第二章第二章 矩矩 阵阵 例例3: 3: 若若A A与与B B均为均为n n阶方阵阶方阵, , 且且E+ABE+AB可逆可逆. . 则则E+BAE+BA也也 可逆可逆, ,且且AABEBEBAE 11 )()( 证明证明: E AABEBEBA

59、E 11 )()( )()( 1 AABEBEBAE AABEBABBAAABEBE 11 )()( AABEBABAABEABEBAABEBE 111 )()()( AABEBABAABEBABEBE 11 )()()( 第二章第二章 矩矩 阵阵 2.4 2.4 分块矩阵分块矩阵 分块矩阵分块矩阵: 以分块子阵为元素的矩阵以分块子阵为元素的矩阵. 分块矩阵的运算分块矩阵的运算 都是同型矩阵，则其中， 设 )2 , 1;2 , 1(, , 21 22221 11211 21 22221 11211 sjriBA BBB BBB BBB B AAA AAA AAA A ijij sr rsrr

60、s s sr rsrr s s 分块矩阵的加法. 1 第二章第二章 矩矩 阵阵 sr rsrsrrrr ss ss BABABA BABABA BABABA BA 2211 2222222121 1112121111 数乘分块矩阵. 2 的每一个子块，即乘等于用数乘分块矩阵用数 设 AkAk AAA AAA AAA A sr rsrr s s , 21 22221 11211 第二章第二章 矩矩 阵阵 sr rsrr s s kAkAkA kAkAkA kAkAkA kA 21 22221 11211 第二章第二章 矩矩 阵阵 3.3.分块矩阵的乘法分块矩阵的乘法 rtrr t t CCC C