材料力学第三章圆轴扭转

1、材料力学材料力学4 何斌 2021-7-12 Page 2 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 第第3章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析圆轴扭转时横截面上的剪应力分析 与强度设计与强度设计 圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形及刚度条件 工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴 外加扭力矩、扭矩与扭矩图外加扭力矩、扭矩与扭矩图 结论与讨论结论与讨论 剪应力互等定理剪应力互等定理 剪切胡克定律剪切胡克定律 杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶， 杆的任意两横截面将绕

2、轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转（杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转（torsion）。）。 本章主要分析圆轴扭转时横截面上的剪应力以及两相邻横截面的相对扭转角，同时本章主要分析圆轴扭转时横截面上的剪应力以及两相邻横截面的相对扭转角，同时 介绍圆轴扭转时的强度与刚度设计方法。介绍圆轴扭转时的强度与刚度设计方法。 Page 3 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴 Page 4 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴 Page 5 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转

3、圆轴扭转材料力学 工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴 Page 6 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴 Page 7 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 第第3章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析圆轴扭转时横截面上的剪应力分析 与强度设计与强度设计 圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形及刚度条件 工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴 外加扭力矩、扭矩与扭矩图外加扭力矩、扭矩与扭矩图 结论与讨论结论与讨论 剪应力互等定理剪应力互等定理 剪切胡克定律剪切胡克定律 Page 8 何斌何斌 第第4章章

4、圆轴扭转圆轴扭转材料力学 外加扭力矩、扭矩与扭矩图外加扭力矩、扭矩与扭矩图 作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传 动轴计算中，通常给出传动功率动轴计算中，通常给出传动功率P和转和转速速n，则传动轴所受，则传动轴所受 的外加扭力矩的外加扭力矩Me可用下式计算：可用下式计算： e 9549N m P M n 其中其中P为功率，单位为千瓦（为功率，单位为千瓦（kW）；）；n为轴的转速，单位为为轴的转速，单位为 转转/分（分（r/min）。）。 如果功率如果功率P的单位用马力（的单位用马力（1马力马力=735.5 N m/s），则），则 e 70

5、24N m r/min P M n 马力 Page 9 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 外加扭力矩、扭矩与扭矩图外加扭力矩、扭矩与扭矩图 外加扭力矩外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横截面上确定后，应用截面法可以确定横截面上 的内力的内力扭矩，圆轴两端受外加扭力矩扭矩，圆轴两端受外加扭力矩Me作用时，横截作用时，横截 面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心 的合力矩的合力矩,称为扭矩（称为扭矩（twist moment），用），用Mx表示。表示。 n Me Me Mx Me n Mx Me Page 10 何斌

6、何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 外加扭力矩、扭矩与扭矩图外加扭力矩、扭矩与扭矩图 如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴 线方向所有横截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在线方向所有横截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在 轴上的外力偶矩。轴上的外力偶矩。 扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为扭矩图扭矩图 (diagram of torsion moment)。绘制扭矩图的方法与绘。绘制扭矩图的方法与绘 制轴力图的方法相似。制轴力图的方法相似。 当在轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时当在轴的长度方向上有

7、两个以上的外力偶矩作用时 ，轴各段横截面上的扭矩将是不相等的，这时需用截面，轴各段横截面上的扭矩将是不相等的，这时需用截面 法确定各段横截面上的扭矩。法确定各段横截面上的扭矩。 Page 11 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 外加扭力矩、扭矩与扭矩图外加扭力矩、扭矩与扭矩图 圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶 的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单 位为位为N.m，尺寸单位为，尺寸单位为mm。 画出圆轴的扭矩图。画出圆轴的扭矩图。 Page 12 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆

8、轴扭转材料力学 确定控制面确定控制面 外加力偶处截面外加力偶处截面A、 B、C、D均为控制面。均为控制面。 应用截面法，应用截面法，由由 平衡方程平衡方程 0 x M 确定各段圆轴内的确定各段圆轴内的 扭矩扭矩 。 3 486 x M n 486 Page 13 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 建立建立Mxx坐标坐标 系，画出扭矩图系，画出扭矩图 建立建立M x x坐标系坐标系 ，其中，其中x轴平行于圆轴的轴平行于圆轴的 轴线，轴线，Mx轴垂直于圆轴轴垂直于圆轴 的轴线。的轴线。将所求得的各将所求得的各 段的扭矩值，标在段的扭矩值，标在Mx x坐标系中，得到相应的坐标系中，得到

9、相应的 点，过这些点作点，过这些点作x轴的平轴的平 行线，即得到所需要的行线，即得到所需要的 扭矩图。扭矩图。 3 486 x M n 486 Page 14 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 外加扭力矩、扭矩与扭矩图外加扭力矩、扭矩与扭矩图 对应拉压问题对应拉压问题 与轴力图与轴力图 对应的轴力图与扭矩图对应的轴力图与扭矩图 AB D C m 3Mml /2ll/2l N F ql 2ql x T x 2ml ml q3Fql /2ll/2l Page 15 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析圆轴扭转时横

10、截面上的剪应力分析 与强度设计与强度设计 圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形及刚度条件 工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴 外加扭力矩、扭矩与扭矩图外加扭力矩、扭矩与扭矩图 结论与讨论结论与讨论 剪应力互等定理剪应力互等定理 剪切胡克定律剪切胡克定律 Page 16 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 剪应力互等定理剪应力互等定理 剪切胡克定律剪切胡克定律 考察承受剪应力作用的微元考察承受剪应力作用的微元 体，假设作用在微元左、右面上体，假设作用在微元左、右面上 的剪应力为的剪应力为 ，这两个面上的剪，这两个面上的剪 应力与其作用面积的乘积，形成应力与其作用面积的乘积

11、，形成 一对力，二者组成一力偶。一对力，二者组成一力偶。 为了平衡这一力偶，微元的为了平衡这一力偶，微元的 上、下面上必然存在剪应力上、下面上必然存在剪应力 ，二者与其作用面积相乘后形成，二者与其作用面积相乘后形成 一对力，组成另一力偶。为保持一对力，组成另一力偶。为保持 微元的平衡，这两个力偶的力偶微元的平衡，这两个力偶的力偶 矩必须大小相等，方向相反。矩必须大小相等，方向相反。 Page 17 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 剪应力互等定理剪应力互等定理 剪切胡克定律剪切胡克定律 x y z dx dy dz 怎样才能平衡？怎样才能平衡？ yzxdddxzyddd 根据力偶

12、平衡理论根据力偶平衡理论 剪应力成对定理剪应力成对定理 在两个互相垂直的平面上在两个互相垂直的平面上 ，剪应力必然成对存在，且数，剪应力必然成对存在，且数 值相等，两者都垂直于两个平值相等，两者都垂直于两个平 面的交线，方向则共同指向或面的交线，方向则共同指向或 共同背离这一交线，这就是共同背离这一交线，这就是剪剪 应 力 成 对 定 理应 力 成 对 定 理 （ p a i r i n g principle of shear stresses）。）。 Page 18 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 剪应力互等定理剪应力互等定理 剪切胡克定律剪切胡克定律 G O 剪切胡克定律

13、剪切胡克定律 当在弹性范围内加载时当在弹性范围内加载时 ，剪应力与剪应变成正比，剪应力与剪应变成正比: : 这种线性关系称为剪切这种线性关系称为剪切 胡克定律。比例常数胡克定律。比例常数G称称 为材料的切变模量。为材料的切变模量。 Page 19 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析圆轴扭转时横截面上的剪应力分析 与强度设计与强度设计 圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形及刚度条件 工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴 外加扭力矩、扭矩与扭矩图外加扭力矩、扭矩与扭矩图 结论与讨论结论与讨论 剪应力互等定理剪应力互

14、等定理 剪切胡克定律剪切胡克定律 应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面上的内力分量应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面上的内力分量扭扭 矩，但是不能确定横截面上各点剪应力的大小。为了确定横截面上矩，但是不能确定横截面上各点剪应力的大小。为了确定横截面上 各点的剪应力，在确定了扭矩后，还必须知道横截面上的剪应力是各点的剪应力，在确定了扭矩后，还必须知道横截面上的剪应力是 怎样分布的。怎样分布的。 Page 20 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计 平面假定平面假定物性关系物性关系 静力方程静力方程 确定

15、横截面上剪应 力的方法与过程 Page 21 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计 平面假定平面假定 变形协调方程变形协调方程 物性关系物性关系剪切胡克定律剪切胡克定律 静力学方程静力学方程 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式 假定：圆轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平假定：圆轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平 面，两相邻横截面刚性地相互转过一角度。这一假定称面，两相邻横截面刚性地相互转过一角度。这一假定称 为平面假定。为平面假定。 Page 22 何斌何斌 第第4章章

16、 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 平面假定平面假定 Page 23 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 平面假定平面假定 Page 24 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计 平面假定平面假定 变形协调方程变形协调方程 物性关系物性关系剪切胡克定律剪切胡克定律 静力学方程静力学方程 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式 Page 25 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 变形协调方程变形协调方程 若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆筒，根若将圆轴用同轴柱

17、面分割成许多半径不等的圆筒，根 据上述结论，在据上述结论，在dx长度上，虽然所有圆柱的两端面均转过长度上，虽然所有圆柱的两端面均转过 相同的角度相同的角度d ，但半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相，但半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相 同，半径越小者剪应变越小。同，半径越小者剪应变越小。 Page 26 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 变形协调方程变形协调方程 ddx 设到轴线任意远设到轴线任意远 处的剪应变为处的剪应变为 （ ），则从图中可），则从图中可 得到如下几何关系：得到如下几何关系： d dx Page 27 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 圆轴扭转时

18、横截面上的剪应力分析与强度设计圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计 平面假定平面假定 变形协调方程变形协调方程 物性关系物性关系剪切胡克定律剪切胡克定律 静力学方程静力学方程 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式 Page 28 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 物性关系物性关系剪切胡克定律剪切胡克定律 G O 剪切胡克定律剪切胡克定律 当在弹性范围内加载时当在弹性范围内加载时 ，剪应力与剪应变成正比，剪应力与剪应变成正比: : 这种线性关系称为剪切这种线性关系称为剪切 胡克定律。比例常数胡克定律。比例常数G称称 为材料的切变模量。为材料的切变模量

19、。 Page 29 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 物性关系物性关系剪切胡克定律剪切胡克定律 d d GG x xd d G Page 30 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计 平面假定平面假定 变形协调方程变形协调方程 物性关系物性关系剪切胡克定律剪切胡克定律 静力学方程静力学方程 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式 Page 31 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 静力学方程静力学方程 Ad A x M Page 32 何斌何斌 第第4章

20、章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 静力学方程静力学方程 A AId 2 P x GG d d P d d GI M x x A x MAd 式中式中 GIP扭转刚度；扭转刚度； IP横截面的极惯性矩。横截面的极惯性矩。 Page 33 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计 平面假定平面假定 变形协调方程变形协调方程 物性关系物性关系剪切胡克定律剪切胡克定律 静力学方程静力学方程 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式 Page 34 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学

21、圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式 x GG d d P d d GI M x x P I M x Page 35 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式 PP max max W M I M xx max P P I W Wp 扭转截面模量。扭转截面模量。 Page 36 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式 2dAd /2 4 42 P /2 2(1) 32 D d Id D d D 3 P 4 (1), 16

22、W D 空心圆截面空心圆截面 d D d 极惯性矩与抗扭截面系数 实心圆截面实心圆截面 0 设设 4 P , 32 D I 3 P 16 D W 2 p A IdA Page 37 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式 圆轴扭转应力小结圆轴扭转应力小结 公式的适用范围：公式的适用范围： 扭转变形基本公式：扭转变形基本公式： p d d T xGI 扭转切应力公式：扭转切应力公式： p T I 最大扭转切应力：最大扭转切应力： max p T W 物理与静力学三方面物理与静力学三方面 研究方法：研究方法：从实验、假设入手

23、，综合考虑几何、从实验、假设入手，综合考虑几何、 圆截面轴；圆截面轴； maxp Page 38 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式 受扭圆轴的强度设计准则受扭圆轴的强度设计准则 与抗压杆的强度设计相似，为了保证圆轴扭转时安与抗压杆的强度设计相似，为了保证圆轴扭转时安 全可靠地工作，必须将圆轴横截面上的最大剪应力全可靠地工作，必须将圆轴横截面上的最大剪应力 max限限 制在一定的数值以下，即：制在一定的数值以下，即： ,max max p x M W 这一关系式称为受扭圆轴的强度设计准则，或称圆轴扭这一关系式称为受扭

24、圆轴的强度设计准则，或称圆轴扭 转的强度条件。转的强度条件。 Page 39 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式 为许用剪应力；为许用剪应力； max max 是指圆轴所有横截面上最大剪应力中的最大者， 是指圆轴所有横截面上最大剪应力中的最大者， 对于等截面圆轴，最大剪应力发生在扭矩最大的横截面上对于等截面圆轴，最大剪应力发生在扭矩最大的横截面上 的边缘各点；的边缘各点； 对于变截面圆轴，如阶梯轴，最大剪应力不一定发对于变截面圆轴，如阶梯轴，最大剪应力不一定发 生在扭矩最大的截面，这时需要根据扭矩生在扭矩最大的截面，

25、这时需要根据扭矩Mx和相应扭转和相应扭转 截面模量截面模量WP的的数值综合考虑才能确定。数值综合考虑才能确定。 受扭圆轴的强度设计准则受扭圆轴的强度设计准则 ,max max p x M W Page 40 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 P7.5kW, n=100r/min, 最大切应力最大切应力不得超过不得超过40MPa,空空 心圆轴的内外直径之比心圆轴的内外直径之比 = 0.5。 二轴长度相同二轴长度相同 实心轴的直径实心轴的直径d1和空心轴和空心轴 的外直径的外直径D2；确定二轴的重量；确定二轴的重量 之比。之比。 Page 41 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转

26、材料力学 首先根据轴所传递的功率计首先根据轴所传递的功率计 算作用在轴上的扭矩算作用在轴上的扭矩 7 5 95499549716 2N m 100 . . x P MT n max1 3 11 16 40MPa xx P MM Wd 3 1 6 16 716 2 0 045m=45mm 40 10 . .d max2 34 2 2 16 40MPa 1 xx P MM WD d20.5D2=23 mm 3 2 46 16 716 2 0 046m=46mm 1-40 10 . .D Page 42 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 解：解：确定实心轴与空心轴的重量之比确定实心轴与

27、空心轴的重量之比 空心轴空心轴D246 mm d223 mm 实心轴实心轴d1=45 mm 在长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面在长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面 面积之比：面积之比： 28. 1 5 . 01 1 1046 1045 1 2 2 3 3 22 2 2 1 2 1 D d A A Page 43 何斌何斌 第第4章章 圆轴扭转圆轴扭转材料力学 在图示传动机构中，功率从B轮输入， 再通过锥齿轮将一半传递给铅垂轴C， 另一半传递给水平轴H。 若已知输入功率P1=14kW，水平轴E和H 的转速n1=n2=120r/min，锥齿轮A和D 的齿数分别为z1=36，z2=12，图中 d1=70, d2=50, d3=35.求各轴横截面 上的最大切应力. 分析： 此机构是典型的齿轮传动机构，各传动轴均为扭转变形。欲求各传动轴横截面上 的切应力，必须求得各轴所受的扭矩，即各轴所受到的外力偶矩。 由题意可知，E、H、C轴所传递的功率分 别为：P1=14kW，P2=P3=P1/2=7kW. E、H轴转速为120r/