基础讲义(下)

1、2015 年考研数学基础班讲义(下)武忠祥第七章微分方程考试内容概要(一)常微分方程的基本概念1 .微分方程 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。简称方程。2 .微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的 阶。3 .微分方程的解 满足微分方程的函数，称为该方程的解。4 .微分方程的通解 如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称之为微分方程的通解。5 .微分方程的特解 微分方程的不含任意常数的解，称之为 特解。6 .初始条件确定特解的一组常数称为初始条件。7 .积分曲线 方程的一个解在平面上对应一条曲线，称为该微分方程的积分曲

2、线。(二)一阶微分方程1 .可分离变量的方程能表示为g(y)dy f(x)dx的方程，称为 可分离变量的方程.求解的方法是两端积分g(y)dy f(x)dx2 .齐次方程能化为- 的微分方程称为齐次微分方程.dx x求解齐次微分方程的一般方法为：令u ,则y u xu ,从而将原方程化为xxu (u) u ,此方程为可分离变量的方程。3 .线性方程形如y p(x)y q(x)的方程称为一阶线性微分方程。求解一阶线性微分方程的一般方法为常数变易法，或直接利用以下通解公式p(x)dxp (x)dxy eq(x)e dx c .4 .伯努利方程 (仅数学一要求)形如y p(x)y q(x)yn的方程

3、(n 0,1),称为伯努利方程。求解伯努利方程的一般方法为：令u y1 n ,将原方程化为一阶线性微分方程。5 .全微分方程(仅数学一要求)如果方程p(x, y)dx q(x, y)dy 0的左端是某个函数 u(x,y)的全微分：du(x, y) p(x, y)dx q(x, y)dy则称该方程为全微分方程。此方程的通解为u(x, y) c求u(x, y)有以下三种方法1)偏积分2)凑微分3)线积分当p(x,y),q(x,y)在单连通域g内具有一阶连续偏导数时，方程p(x,y)dx q(x,y)dy 0是全微分方程的充要条件是p qy x注 如果给定的一阶微分方程不属于上述五种标准形式，首先考

4、虑将 x, y对调，即认 定x为y的函数，再判定新方程的类型；或者利用简单的变量代换将其化为上述五种类型之 一而求解。(三)可降阶的高阶方程(数学三不要求)1. yf(x)型的微分方程2. yf(x, y)型的方程只需令y p, y p ,可将原方程化为一阶微分方程。3. yf(y, y)型的方程d p只需令y p, y pd，可将原方程化为一阶微分方程。dy(四)常系数线性微分方程1 .线性微分方程解的结构这里只讨论二阶线性微分方程，其结论可以推广到更高阶的方程。二阶线性微分方程的一般形式为y p(x)y q(x)y f(x)这里的p(x),q(x), f (x)均为连续函数.当方程右端的f

5、(x) 0时，称为 二阶线性齐次 方程.否则称为 二阶线性非齐次方程.齐次方程y p(x)y q(x)y 0(1)非齐次方程y p(x)y q(x)y f (x)(2)定理1如果yi(x)和y2(x)是齐次方程(1)的两个线性无关的特解，那么y ciyi(x) gy2(x)就是方程(i)的通解.【注】方程(1)的两个解线性无关的充要条件是它们之比不为常数*定理2如果y是非齐次方程(2)的一个特解，y1(x)和y2(x)是齐次方程(1)的两个线 性无关的特解，则y cy1(x) cy2(x) y (x)是非齐次微分方程(2)的通解. *te理3如果y(x), y2(x)是非齐次方程(2)的两个特

6、解，则 y(x)y2(x) y1(x)是齐次微分方程(1)的解.定理4如果y(x), y2(x)分别是方程yp(x)y q(x)yf1(x)yp(x)y q(x)yf2(x). r ,.一一*,、*,、的特解，则y(x) y2(x)是方程y p(x)y q(x)y x) f2(x)的一个特解.2 .常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程的一般形式为y py qy 0,其特征方程为r2 pr q 0,设r1 , r2为该方程的两个根。(1)若ri 2,为两个不相等的实特征根，则方程的通解为rix c r2xy ci e c2 e(2)若1 2为二重实特征根，则方程的通解为y (c1 c

7、2x)erix。(3)若rii , r2i ,为一对共轲复根，则方程的通解为x ，y e (c1cos x c2sin x)。3 .常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式为y py qy f(x).(i)若f(x) pm(x)ex,其中pm(x)为x的m次多项式，则方程的特解可设为* k _xyx qm(x)e ,其中qm(x)是与pm(x)同次的多项式。k是特征方程含根的重复次数.(2)若 f(x) expl(x)cos x pn(2)(x)sin x,其中 pl(x) , pn(x)分别为 x的 l次，n次多项式，则方程的特解可设为y*xk e xrm)(x)cos

8、 x r：)(x)sin x.其中rm0(x), rmx)(x)是两个m次多项式，m maxl,n。当i不为方程的特征根时，取k 0；当i为方程的单特征根时，取k i。4 .欧拉方程(仅数学一要求)n (n)n i (n i)形如 x ypix ypn ixypny f(x),(其中pi,p2,pn为常数)的方程称为欧拉方程。令x 9或t ln x ,可将上述欧拉方程化为线性常系数方程，一般地有xky d(d 1) (d k 1)y,其中d代表对t求导数的运算。常考题型与典型例题常考题型1 .方程求解2 .综合题3 . 应用题【例1】（2014年1）微分方程xyy(ln x ln y)0满足条

9、件y(1) e3的解为【例【例2x 1y xe2（2012年2）微分方程ydx(x3y2）dy 0满足条件yx 1 1的解为y3（2013年3）微分方程y1 八，一-y 0的通解为4(c1-xc2x)e2 【例4】( 2009年1)若二阶常系数线性齐次微分方程y ayby 0的通解为y (ci c2x)ex,则非齐次方程y aybyx满足条件y(0)2,y(0) 0的解为x(1ex)2】【例5】(2013年1,2 )已知y1 e3x2xxe , y2xxe , y3xe2x是某二阶常系数非齐ycie3xc2ex2x .xe 次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为【例6】(2007年4)设函数

10、f(x)具有连续的一阶导数，且满足,x 22 ,2f(x)0(x t)f(t)dt x,求f (x)的表达式.【f(x)x2e1】【例7】(2006年3)在xoy坐标平面上，连续曲线l过点m (1,0),其上任点p(x,y)(x 0)处的切线斜率与直线 op的斜率之差等于ax (常数a 0).(i)求l的方程；8(ii)当l与直线y ax所围成平面图形的面积为 8时，确定a的值.3_2【y ax ax; a 2 】【例8】(2009年2)设非负函数y y(x)(x 0)满足微分方程xy y 2 0 .当曲线y y(x)过原点时，其与直线 x 1及y 0围成的平面区域 d的面积为2,求d绕y轴旋

11、转所得旋转体的体积.217【y 2x 3x2;v 】,6第八章多元函数微分学考试内容概要(一)多元函数的极限、连续、偏导数与全微分1 .二元函数定义1设d是平面上的一个点集，若对每个点p(x, y) d,变量z按照某一对应法则f有一个确定的值与之对应，则称z为x,y的二元函数，记为z f(x,y)。其中点集d称为该函数的 定义域，x,y称为自变量，z称为应变量。函数值f(x,y)的全体所构成的集合称为函数f的值域。记为f (d).通常情况下，二元函数 z f(x, y)在几何上表示一张空间曲面 .2 .二元函数的极限定义2设函数f(x,y)在区域d上有定义，点p0(x0,y0) d或为d的边界

12、点，如果0,存在 0,当p(x,y) d,且0 (x %)2 (y y0l时，都有f(x) a成立，则称常数 a为函数f(x, y)当(x,y)(x。)时的极限，记为lim f (x, y) a或 lim f (x, y) a 或 lim f (p) a(x.y) (x0,y)x x0p p0y y0注1 )这里的极限是要求点(x,y)在d内以任意方式趋近于点(x0, y0)时，函数f(x,y)都趋近于同一确定的常数a,否则该极限就不存在。2 )一元函数极限中的下述性质对多元函数仍成立(1)局部有界性(2) 保号性(3)有理运算(4)极限与无穷小的关系(5)夹逼性3 .多元函数的连续性1)连续

13、的概念定义3设函数f(x,y)在区域d上有定义，点p0(x0,y0) d,如果(x/mujdy)义)成立，则称函数f(x,y)在点po(xo,yo)连续；如果f(x, y)在区域d上的每个点(x,y)处都连续，则称函数 f(x,y)在区域d上连续。2)连续函数的性质多元函数具有下列性质和定理：(1)性质1多元连续函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为连续函数；(2)性质2多元连续函数的复合函数也是连续函数；(3)性质3多元初等函数在其定义区域内连续；(4)性质4 (最大值定理)有界闭区域d上的连续函数在区域 d上必能取得最大值与最小值。(5)性质5 (介值定理)有界闭区域 d上的连续函数在区域

14、 d上必能取得介于最大值与最小值之间的任 何值。4.偏导数1)偏导数的定义定义4设z f(x,y)在点po(xo，yo)的某一邻域内有定义，如果 lim f(-x,y) f(x,yo)x 0x存在，则称这个极限值为函数z f (x, y)在点f0(x0, y0)处对x的偏导数，记为zx x x0y y。x x x0 y y。fx(x。，y。).类似地，如果lim f（x。, y。y）f（xo,y。）存在，则称这个极限值为函数 zy 0yf(x, y)在点f0(x0,y。)处对y的偏导数，记为或 fy（x0,y。）.x x。y y。x x。y y。fx(x。, y。)就是一元函数注由以上定义不难

15、看出偏导数本质上就是一元函数的导数，其中f(x,y。)在x x。处的导数，fy(x。，y。)就是一元函数f(x0,y)在y y。处的导数.类似地，可以定义三元函数乃至n元函数的偏导数。2)二元函数偏导数的几何意义设 m (xo, yo, f (xo,y。)为曲面 z f(x, y)上的一点。过点m作平面y yo与曲面z f (x,y)相交，其交线为平面y y上的曲线zf(x,y0),即z x，y0)，则fx(xo, yo)表示上述交线在点 m处的切线对x轴的斜率。y yo,同样，过点 m作平面x x0与曲面z f (x, y)相交，其交线为平面x x0上的曲线z f(%,y),则fy(x,yo

16、)表示上述交线在点 m处的切线对y轴的斜率。3)高阶偏导数定义5如果z f (x, y)在区域d内的偏导函数z,二仍然存在偏导数，则称之为 x y函数f (x,y)的二阶偏导数2成 f2xx ?x2或 fyx y x或 fyy .2常称一z x y2z为混合偏导数。y x定理1如果函数z f(x,y)的两个二阶混合偏导数2在区域d内连续,则在该区域内这两个混合偏导数必定相等。对于三元函数也可以仿上定义二阶或更高阶偏导数,且二阶与高阶混合偏导数连续时,混合偏导数的值与求导次序无关。5.全微分定义6 (全微分)如果函数zf (x,y)在点(x, y)处的全增量z f (xx, y y)f (x,

17、y)可表示为其中a, b与x, y无关， 式x)2 ( y)2 ,则称函数z f (x, y)在点(x, y)处可微，而a x b y称为函数z f (x, y)在点(x, y)处的全微分，记为dz a x b y如果f (x, y)在区域d内的每一点(x, y)都可微分，则称 f(x, y)在d内可微分。定理2 (全微分存在的必要条件)如果函数z f(x, y)在点(x,y)处可微，则该函数在点(x, y)处的偏导数_z,_z必定存在，且 x yd z -zdx d yx y定理3 (全微分存在的充分条件)如果z f(x,y)的偏导数 ,在点(x,y)处连x y 续，则函数z f (x, y

18、)在点(x,y)处可微.(二)多元函数的微分法1 .复合函数的微分法定理4 设函数u u(x, y), v v(x, y)在点(x,y)处有对x及对y的偏导数，函数z f (u,v)在对应点(u,v)处有连续偏导数，则复合函数z f u(x, y), v(x, y)在点(x,y)处的两个偏导数存在，且有zzu z vzz u z v,xux v xyu y v y全微分形式的不变性设函数zf(u,v)、uu(x,y)及vv(x,y)都有连续的一阶偏导数，则复合函数z f u(x, y),v(x, y)的全微分v的函数，函数z的全d z d x -zdy z du -zdv.x y u v即：不

19、论把函数z看做自变量x, y的函数，还是看作中间变量u,微分形式都是一样的。2 .隐函数微分法1)由方程f(x, y) 0确定的隐函数y y(x)若函数f(x,y)在点pg%)的某一邻域内有连续偏导数，且f%.) 0,fy(x0,y0) 0.则方程f (x, y) 0在点(x0, y0)的某邻域可唯一确定一个有连续导数的函数y f(x)，并有fxfy2)由方程f(x, y,z) 0确定的隐函数 z z(x, y)若函数f(x, y,z)在点p(x0,y0,z0)的某一邻域内有连续偏导数，且f(x0,y0,z0) 0, fz(x0,y0,z0) 0.则方程 f(x, y,z) 0在点(x0, y

20、。？。)的某邻域可唯一确定一个有连续偏导数的函数z f(x, y),并有zfx zfyxfz , yfzf1(x, y,u,v) 0,3)由方程组 力 )确定的隐函数u u(x,y), v v(x, y)(仅数一要求)f2(x,y,u,v) 0欲求u,可以将每个方程分别对y x yx求偏导数，得出以、，为 x x变量的方程组，可解得u , -v。同样，将每个方程分别对 y求偏导数，可以得出以 x xy-v为变量的方程组，解之可得 y(三)多元函数的极值与最值1.多元函数的极值1)无约束极值定义7设函数z f (x,y)在点p(x0,y0)的某邻域内有定义，若对该邻域内任意的点p(x,y)均有f

21、(x,y)f(xo,yo)(或 f(x,y) f(x,yo),则称(x0, y0)为f (x, y)的极大值点(或极小值点)；称f(x0,y0)为f(x, y)的极大值(或极小值)。极大值点和极小值点统称为极值点；极大值和极小值统称为 极值。定理5 (极值的必要条件)设z f (x, y)在点(,yo)存在偏导数，且(xo,yo)为f(x,y)的极值点，则fx(x0, y0) 0,fy(x0,y0) 0.定理6 (极值的充分条件)设z f(x, y)在点p0(xo，yo)的某邻域内有二阶连续偏导数，又 fx(xo，yo) , fy(xo, yo) 0。记afxx(xo, yo), bfxy(x

22、o, yo),cfyy(xo,yo),则有下述结论:(1)若 ac b2 0,则(xo,yo)为 f(x, y)的极值点。a o ,则(xo,yo)为 f(x, y)的极大值点。a o ,则(xo, yo)为f (x, y)的极小值点。(2)若ac b2 o,则(xo,yo)不为f(x, y)的的极值点。(3)若ac b2 。，则(xo,yo)可能为f(x,y)的极值点，也可能不为 f(x, y)的极 值点。求具有二阶连续偏导数二元函数z f (x,y)极值的一般步骤为:(1)求出f (x, y)的驻点p, , pk o(2)利用极值的充分条件判定驻点p是否为极值点。注 1 )二元函数z f

23、(x, y)在偏导数不存在的点也可能取到极值(如f(x,y) xxy2),而这种点是否取得极值一般用极值定义判定;2 )二元函数z f (x,y)可能取得极值的点就两种，驻点和偏导数不存在的点。2)条件极值及拉格朗日乘数法求z f(x, y)在条彳(x, y) 0下的条件极值的一般方法为：(1)构造拉格朗日函数 f(x,y, ) f(x,y) (x,y)。(2)将f(x, y,)分别对x , y , 求偏导数，构造方程组fx(x, y)x(x,y) 0,fy(x, y)y(x,y) 0,x, y 0,解出x,y及，则其中(x, y)就是函数f(x, y)在条彳(x, y) 0下的可能极值点。以

24、上方法可推广到对于n元函数在m个约束条件下的极值问题，如求u f (x,y,z)在条件(x,y,z) 0,(x, y,z) 0下的极值，可构造拉格朗日函数f(x, y,z, , ) f,将f对x, y, z,分别求偏导数，并构造方程组fx(x, y, z)x(x,y,z)x(x,y,z)0,fy(x,y,z)y (x, y, z)y(x,y,z)0,fz(x,y,z)z(x,y,z)z(x, y,z)0,(x, y, z) 0,(x,y,z) 0,解出x, y,z,及 ，则其中(x, y,z)就是可能的极值点。对于实际问题，如果驻点唯一，且由实际意义知问题存在最大(小)值，则该驻点即为最大(小

25、)值点。如果存在多个驻点，且由实际意义知道问题既存在最大值也存在最小值，只需比较各驻点处的函数值，最大的则为最大值，最小的则为最小值。常考题型与典型例题常考题型1 .复合函数偏导数和全微分的计算2 .隐函数偏导数和全微分的计算3 .求极值(无条件、条件)；4 .求连续函数f(x,y)在有界闭区域 d上的最大最小值；5.最大最小值应用题【例1】（2011年3）设函数zx工(1),则 dz(i,i)【(1 21n2)(dx dy)】2所确定的函数z z（x, y）在点【例2】（1991年1,2）由方程xyz 、；x2y2 z2（1,0, 1）处的全微分dz 【dx 2dy【例3】（1988年4）已

26、知u eu小 uxy,求一 x2u u,y x yu y . x 1xyeu i u ; a uu 31 e 1 e 1e (1 e)例 4 (1999 年 4)设 f(x, y,z) exyz2,其中 z z(x, y)是由 xyz xyz0确定的隐函数，则fx(q1, 1).1【例5】(2007年1)设f (u,v)为二元可微函数，z f(xy,yx),则一z.xyxy 1 f1 yxinyf?22zz【例6】(1990年5)设x2 z2 y ，其中 为可微函数，则 .yy【例7】(2002年3)设函数uy z2yz y （-）yf(x,y,z)有连续偏导数，且z z(x,y)由方程xex

27、 yey zez 所确定，求 du.x1xzy 1yzfx fze dx fy fz-e d y.z 1z 1例8 （2011年1,2）设函数zf(xy,yg(x),其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x 1处取得极值g(1)1.求f1（1,1）1（1,1） f12（1,1）【例9】(2003年3)设可微函数f(x, y)在点(x0, y0)取得极小值，则下列结论正确的是(a)f (xo, y) 在 y(b)f (xo, y) 在 y(c) f (xo, y) 在 y(d)f (xo, y) 在 yyo处的导数等于零yo处的导数大于零yo处的导数小于零yo处的导数不存在a【例1。

28、】(2。9年2)设函数z f (x, y)的全微分为dz xdx ydy，则点(o,o) ()(a)不是f (x, y)的连续点.(c)是f (x, y)的极大值点.(b)不是f(x,y)的极值点.(d)是f (x, y)的极小值点.d【例11】 求二元函数f (x, y) x3 y3 3xy的极值.(0,0)无极值；(1,1)极小值 1x2(2 y2) ylny 的极值.【例12】(2009年1,3) 求二元函数f(x,y)1 一一 1(0,)极小值 ee22222【例13】(2008年2)求函数u x y z在约束条件z x y和x y z 4下的最大值和最小值.【(1,1,2)最小值6;

29、 ( 2, 2,8)最大值72】2【例14】(2005年4)求f(x,y) x2 y2 2在椭圆域d (x,y)x2 1上的最大4值与最小值。fmax2第九章二重积分考试内容概要(一)二重积分的概念及性质1 .二重积分的概念定义1设函数z f(x,y)在有界闭区域 d上有定义。将区域d任意分成n个小闭区域1 ?2 ? n ?其中 i表示第i个小区域，也表示它的面积.在每个i上任取一点(i, i),作乘积nf( i, i) i,并求和 f( i, i)i.记 为n个小区域 i,2, n中的最i 1n大直径，如果limf(xi,yi) i存在，则称此极限值为函数 f(x,y)在区域d上的二重积0i

30、 1分，记为nf(x, y)dlim0”为，.)i.di 1几何意义二重积分f(x,y)d 是一个数.当f(x, y) 0时，其值等于以d为底，以f(x,y)为d曲顶的曲顶柱体的体积；当f(x, y) 0时，二重积分的值为负值，其绝对值等于上述曲顶柱体的体积。2 .二重积分的性质性质 1kf(x, y)d k f (x,y)ddd性质2 f (x. y) g(x,y)d f (x, y)d f(x, y)dddd性质3如果闭区域d由曲线分为两个区域d1,d2,则f(x, y)d f(x, y)d f(x, y)dddid2性质4 若记区域d的面积为s ,则 d sod性质5 在d上若f (x,

31、 y) g (x, y),则f (x,y)d g(x,y)d ,ddf(x,y)d|f(x,y)|d .dd性质6若在d上有m f (x, y) m ,则ms f(x,y)d ms,d其中s为区域d的面积。性质7 (二重积分的中值定理)设函数f(x,y)在闭区域d上连续，s为区域d的 面积，则在d上至少存在一点(，)，使得f(x,y)d f( , ) s,d(二)二重积分的计算1.利用直角坐标计算2 (x)i(x) f(x,y)dyb1 )先 y 后 xf (x, y)d dxa2(y)i(y) f(x,y)dxdd2)先 x 后 yf (x, y)d dycd2 .利用极坐标计算,l2()1 )先后 f(x, y)d d f ( cos , sin ) d i()d【注】适合用极坐标计算的二重积分的特征(1)适合用极坐标计算的被积函数：f(. x2y2), fd), f(-)；x y(2)适合用极坐标的积分域：222.22222222如 x y r ； r x y r ; x y 2ax; x y 2bx;3.利用对称性和奇偶性计算1)若积分域d关于y轴对称，f (x, y)关于x有奇偶性,则:2 f (