理想流体的有旋流动和无旋流动

1、第八章 理想流体的有旋 流动和无旋流动 主要内容 理想流体理想流体微分微分形式的基本方程形式的基本方程( (连续方程、连续方程、 运动方程运动方程) ) 流体微团运动分析（平移运动、变形运动）流体微团运动分析（平移运动、变形运动） 二维势流以及叶栅、叶型绕流的升力计算二维势流以及叶栅、叶型绕流的升力计算 为工程实践提供理论依据；同时是研究黏性流体多维流动的基础为工程实践提供理论依据；同时是研究黏性流体多维流动的基础 两种方法 （1）微元控制体分析法）微元控制体分析法 （2）有限控制体分析法）有限控制体分析法 一、微分形式的连续方程 一、微分形式的连续方程 o y x z dmx dmx dx

2、dy dz dtdt时间内时间内x x方向：方向： 流入质量流入质量 流出质量流出质量 净流出质量净流出质量 dydzdtvdm xx dydzdtdx x )v( vdm x x x dxdydzdt x )v( dmdmM x x xx 同理： dxdydzdt y )v( M y y dxdydzdt z )v( M z z dtdt时间内，控制体总净流出质量：时间内，控制体总净流出质量： zyx MMMM dxdydzdt)v(divdxdydzdtv 由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体 内由于密度变化而减少的质量，即 dxdydzdt t dxdydzdt)v(div dx

3、dydzdt z )v( y )v( x )v( z y x 连续性微分方程连续性微分方程 连续性方程的微分形式连续性方程的微分形式 不可压缩流体不可压缩流体 0vdiv 常数 0 z v y v x v z y x 0 v t )v(div t 定常流动定常流动 即即 二、 流体微团运动分解 流体微团：指大量流体质点组成的具有线流体微团：指大量流体质点组成的具有线 性尺度效应的微小流体团。性尺度效应的微小流体团。 流体在运动过程中可能发生变形或旋转，流体在运动过程中可能发生变形或旋转， 只要微团的运动分析清楚了，流场的运动只要微团的运动分析清楚了，流场的运动 就知道了。就知道了。 z x y

4、 M M0 dx dy dz t tt M0 M 流体微团的体积在单位时间的相对变化。流体微团的体积在单位时间的相对变化。 平移速度平移速度v vx x,v,vy y 代表微团平移运动。代表微团平移运动。 x v x xx y v y yy z v z zz v 1 z v y v x v td )V(d V z y x x y y v dt d x 1 x v dt d y 2 )( 2 1 x v y v y x z vkji 2 1 zyx y v dt d x 1 x v dt d y 2 xy y x x v y v dt dd )( 2 1)( 2 1 21 ) x v x v (

5、 i j j i ij 2 1 2 1 zzyyxx , zxyzxy , t tt ijij v2（有旋）0v（无旋）0v TaylorTaylor展开并略去高阶小量，有展开并略去高阶小量，有 z z y y x x tzyxtzzyyxx M vvv vv),(),( z z v y y v x x v vv z z v y y v x x v vv z z v y y v x x v vv zzz zMz yyy yMy xxx xMx 3, 2, 1 ix x v vv j j i iiM t t 时刻：流体微团时刻：流体微团 ),( 0 zyxM kjivwvutzyx),( kji

6、rzyx ),(zzyyxxM kjiv MMMM wvutzzyyxx),( )( 2 1 )( 2 1 i j j i i j j i ijij j i x v x v x v x v x v )( 2 1 i j j i ij x v x v )( 2 1 i j j i ij x v x v j j i iiM x x v vv 变形运动变形运动旋转运动旋转运动 平移运动平移运动 亥姆霍兹运动分解定理 三、理想流体运动方程 牛顿第二定律 maF 流体平衡的欧拉方程： 0 1 pf 欧拉方法中加速度的表达形式： z v v y v v x v v t v a x z x y x x x

7、x vv t v a 流体运动欧拉方程 z p f z v v y v v x v v t v y p f z v v y v v x v v t v x p f z v v y v v x v v t v z z z z y z x z y y z y y y x y x x z x y x x x 1 1 1 兰姆方程兰姆方程 pfvw v t v 1 2 2 2 当当 流动是无旋的；流动是无旋的； 否则，流动是有旋的。否则，流动是有旋的。 0 zyx www 四、定解条件 1、起始条件：起始瞬时流场中的流动分布、起始条件：起始瞬时流场中的流动分布 z , y, x,z , y, xpp,

8、z , y, xvv ,t0 是研究非定常流动必不可少的定解条件是研究非定常流动必不可少的定解条件 2、边界条件：方程组的解在流场边界上应当满足的条件。、边界条件：方程组的解在流场边界上应当满足的条件。 A、固体壁面：壁面上流体质点的法向速度应等于对应点上壁面的法向速度、固体壁面：壁面上流体质点的法向速度应等于对应点上壁面的法向速度 流体与固体壁面的作用力也必沿壁面法线方向；流体与固体壁面的作用力也必沿壁面法线方向； B、流体交界面：在交界面同一点，两种流体法向速度相等，对于平面，压力相、流体交界面：在交界面同一点，两种流体法向速度相等，对于平面，压力相 等；等； C、无穷远处：一般给定参数；

9、、无穷远处：一般给定参数； D、流道进、出口处，可根据具体情况确定。、流道进、出口处，可根据具体情况确定。 0v 积分时时间变量积分时时间变量t 作常数处理。作常数处理。 任一时刻，涡线上每一点的任一时刻，涡线上每一点的 切向量都与该点的涡向量相切。涡线微分方程切向量都与该点的涡向量相切。涡线微分方程 0 r d ),(),(),(tzyx dz tzyx dy tzyx dx zyx rd 旋转角速度的值与垂旋转角速度的值与垂 直于角速度方向的微源涡管横截面积的乘积直于角速度方向的微源涡管横截面积的乘积 的两倍。的两倍。涡量场的通量（涡强）。涡量场的通量（涡强）。 A ndA dAJ2 dz

10、vdyvdxvsd zyx K K v n C S 速度环量是标量，其正负号与速度和线积分绕行方向有关，速度环量是标量，其正负号与速度和线积分绕行方向有关， 规定：其绕行正方向为逆时针方向，面积的法线与正方向规定：其绕行正方向为逆时针方向，面积的法线与正方向 形成右手螺旋系统。形成右手螺旋系统。 A B CD x v dy y v v x x dx y v v y y dy y v dx x v v yy y dy y v dx x v v xx x dx x v v x x dx x v v y y y v x y 0 从从A点起逆时针方向积分，可以得到点起逆时针方向积分，可以得到 微分形式

11、的速度环量为微分形式的速度环量为 dy vv dx vv dy vv dx vv d yAyD xDxC yCyB xBxA 22 22 dxdy y v x v d x y z x y y v x v dxdy d 2 dAwsdv A n 2 将各点速度代入，并忽略高阶小量，得到将各点速度代入，并忽略高阶小量，得到 J K AddAs dv K v J C 例题例题 已知理想流体定常流动的速度分布公式为已知理想流体定常流动的速度分布公式为 试求涡线方程与沿封闭周线试求涡线方程与沿封闭周线 的速度环量，的速度环量，a，b为常数。为常数。 0 21 22 zyx vv ,xyav 0 222

12、zbyx 例题例题 已知平面流动的流速为已知平面流动的流速为: （1）检查是否连续；（）检查是否连续；（2）是否无旋；）是否无旋； yxxvx42 2 yxyvy22 有旋流动 特点特点: : （有旋）0v 1、 ),(),(),(tzyx dz tzyx dy tzyx dx zyx 2、 J dzvdyvdxv dAJ zyx A n 2 3、 第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹定理 1、汤姆孙定理：理想正压流体在有势质量力的作用下，速 度环量和旋涡都是不能自行产生或消失。理想流体没有 粘性。 2、亥姆霍兹定理： A、在同一瞬间涡管各截面上的涡通量都相同。涡管不 能在流体中开始或者终止，自能形自

13、封闭管圈，或者在 边界上开始或终止。 B、理想正压流体在有势的质量力作用下，涡管永远保 持为由相同流体质点组成的涡管。 C、涡管强度不随时间变化，永远保持为定值。 CdA A n 2 涡管不可能在流体中开始或终止，它只能自成封闭形，涡管不可能在流体中开始或终止，它只能自成封闭形， 或开始、终止于边界面或伸展到无穷远。或开始、终止于边界面或伸展到无穷远。 龙卷风开始和终止于地面与云层。龙卷风开始和终止于地面与云层。 烟圈呈环形。烟圈呈环形。 第八节 平面涡流 前提：重力作用，理想不可压流体。前提：重力作用，理想不可压流体。 一无限长，涡通量为一无限长，涡通量为J的铅直涡束，象刚体的铅直涡束，象刚

14、体 一样以等角速度一样以等角速度绕自身轴旋转。涡束周围绕自身轴旋转。涡束周围 的流体受涡束的诱导将绕涡束轴做对应的的流体受涡束的诱导将绕涡束轴做对应的 等速圆周运动。等速圆周运动。 涡束内的流动为有旋流动，称为涡核区；涡束内的流动为有旋流动，称为涡核区； 涡束外的流动为无旋流动，称为环流区涡束外的流动为无旋流动，称为环流区。 第八节 平面涡流 v x y 环流区速度分布环流区速度分布: rvv ,v rrrv r b 20 2 伯努利方程伯努利方程: 2 82 2/ 2 22 22 2 b b v pp r p v pp pvp 涡核区涡核区: 2222 2 1 , 0 b br rrpp r

15、rrvvv 由欧拉方程：由欧拉方程： 涡核边沿：涡核边沿： 第八节 平面涡流 涡核中心区，流速为涡核中心区，流速为0， 压强为：压强为： 涡核边沿至涡核中心的压降为：涡核边沿至涡核中心的压降为： 2 bc vpp bbcb ppvpp 2 2 1 结论：在环流区随着半径减小，流速升高，压强结论：在环流区随着半径减小，流速升高，压强 降低；涡核区和环流区的压强降相等；涡核区的降低；涡核区和环流区的压强降相等；涡核区的 压强比环流区的低，涡核区本身很小，使得径向压强比环流区的低，涡核区本身很小，使得径向 压强梯度大，故有压强梯度大，故有向涡核中心抽吸作用向涡核中心抽吸作用。 应用：离心泵，旋风燃烧

16、室，离心式除尘器等。应用：离心泵，旋风燃烧室，离心式除尘器等。 主要内容： 1、速度势； 2、流函数； 3、简单平面势流及其叠加。 第九节 速度势、流函数、流网 第九节 速度势、流函数、流网 一、速度势一、速度势 y v x v , x v z v , z v y v w x y zx y z 0 t , z , y, x为函数 全微分的充要条件 dzvdyvdxv zyx gradk z j y i x v z v , y v , x v dz z dy y dx x d zyx 一、速度势一、速度势 B A AB B A zyxAB ddzvdyvdxv 2 2 2 2 2 2 2 0 z

17、yx A B 积分与曲线 形状无关 不可压缩流体连续性方程： 0 z v y v x v z y x l不可压缩流体的有势流动中，速度满足拉普拉斯方程； l势函数为调和函数； l势流为不可压缩流体的无旋流。 二、流函数二、流函数 对于不可压平面流动 yx y x v dy v dx y v x v dyvdxvd x v , y v xy yx l每条流线上，每条流线上，d=0，=常数，所以常数，所以（x，y）为流函数）为流函数 对于无旋流动：对于无旋流动： 2 2 2 2 2 0 yx 流函数流函数为调和函数为调和函数 P206，qv=2-1，沿流线 全长，两流线间的流量保 持不变。 三、流

18、网三、流网 对于不可压缩流体平面无旋流动中：对于不可压缩流体平面无旋流动中： xy v yx v y x 0 yyxx 可知流线和等势线是正交的，等势线可知流线和等势线是正交的，等势线 i C 和流线和流线 形成了由相互垂直的交叉线组成的网，形成了由相互垂直的交叉线组成的网， 称为流网。称为流网。 i K 流线 等势线 1 K 2 K 3 K 1 C 2 C 3 C 4 C yvy xvx 第十节 几种简单的平面势流 势函数的作用：对于不可压缩流体的无旋流动问 题归结为根据起始条件和边界条件求解拉普拉斯 方程问题。 求解：均匀等速流，源流和汇流，势涡 m 0 V 一、均匀等速流 流线平行，流速

19、相等流线平行，流速相等 jvivjvivv yxyx 00 其中vx0，vy0为常数 yvxv dyvdxvdy y dx x d yx yx 00 00 yvxv dyvdxvdy y dx x d xy xy 00 00 P=常数常数 二、源流和汇流 x y =const =const r 源流 x y =const =const r 汇流 定义：在无限平面上，流体从一点沿径向直线均匀向各方流出， 称为源流。 若流体沿径向直线均匀从各方流入一点，称为汇流。 二、源流和汇流 0 1 r v , r vr Cqrv vr 12 r q v v r 2 r drq drvdr r d v r 2

20、 rln qv 2 0 1 r v , r vr 2 2 v v r q d q rdvd 伯努利方程伯努利方程: 22 2 2 1 8 2 r q pp pvp v r 压强随半径减小而降低压强随半径减小而降低 三、势涡 v ，若逆时针，上式加负号。，若逆时针，上式加负号。 2 rln 2 rr v r vr 2 1 , 0 22 22 82r p v pp 第十一节 简单平面势流的叠加 n nn nn nn vvvv 21 2121 2 21 22 2 2 1 2 2 21 22 2 2 1 2 )( 0 )( 0 )( 结论：调和函数可以叠加，叠加成的新函数仍然是调结论：调和函数可以叠加

21、，叠加成的新函数仍然是调 和函数，流动仍然无旋；叠加成新平面势流的速度矢和函数，流动仍然无旋；叠加成新平面势流的速度矢 等于原先平面势流速度的矢量和。等于原先平面势流速度的矢量和。 （1）汇流与势涡叠加）汇流与势涡叠加螺旋流螺旋流 第十一节 简单平面势流的叠加 22 22 8 2 1 , 2 ln 2 1 ln 2 1 r q pp rr v r q r v rq rq V V r V V 流体自外沿圆周切向进入，又从中央不断流流体自外沿圆周切向进入，又从中央不断流 出。离心泵、离心风机等外壳中的流动。出。离心泵、离心风机等外壳中的流动。 （2）源流与汇流的叠加）源流与汇流的叠加 偶极子流偶极

22、子流 流量均为流量均为qV， 第十一节 简单平面势流的叠加 a a2 a 222 1 22 22 2 tan 2 )( 2 )( )( ln 4 ln 2 )ln(ln 2 ayx ayqq yax yaxq r rq rr q V BA V V B AV BA V 当源点和汇点无限接近时，流量同当源点和汇点无限接近时，流量同 时为无穷大，以使时为无穷大，以使 ， 称为偶极子流。称为偶极子流。 M为偶极子矩，也称偶极子流强度。为偶极子矩，也称偶极子流强度。 MaqV q a V 2lim 0 等势线方程（等势线方程（8-61），流线方程（），流线方程（8-62） 22 sin 2 ; cos

23、2 sin 2 ; cos 2 r M v r M v r M r M r 第十二节第十二节 均匀等速绕过圆柱体的均匀等速绕过圆柱体的 平面流动平面流动 沿沿x轴正向速度为轴正向速度为 v 的均匀等速流与沿的均匀等速流与沿x轴正向轴正向 强度为强度为M的偶极子流的叠加的偶极子流的叠加。 x r cosM cosrV 2 r sinM sinrV 2 流线方程：流线方程： 零流线零流线 21 002 0 2 20 2 0 2 vMr ,sinr r M v,C Csinr r M v =0， 流体不能穿过流线，零流线的圆代表圆柱的横截面。流体不能穿过流线，零流线的圆代表圆柱的横截面。 零流线以原

24、点为圆心，以零流线以原点为圆心，以r0为半径的圆为半径的圆 第十二节 均匀等速绕过圆柱体的 平面流动 )1 (sin 1 )1 (cos 2 2 0 2 2 0 r r V r v r r V r vr sinvv ,cosvv ,r r 在无穷远处，为均匀等速流：在无穷远处，为均匀等速流： 在零流线上：在零流线上： sinvv ,vr 20 流体不能穿过柱体，圆柱绕流时，流体不能穿过柱体，圆柱绕流时， vrMrr 2 00 2, 在在=180。 。，和 ，和=0。 。 ，速度为 ，速度为0，称为驻点，在，称为驻点，在=+90。 。 速度达到 速度达到 最大值最大值 第十二节 均匀等速绕过圆柱

25、体的 平面流动 无穷远处无穷远处V，p ） )sin41 ( 2 2 2 V pp 2 2 2 1 sin41 V pp cp 22 22 V p V p 得全流场压力分布。得全流场压力分布。 柱面上（柱面上（r =r0）：）： 压强系数压强系数 圆柱的前后驻点压强达到最大值，圆柱的上下顶点压强达到最小圆柱的前后驻点压强达到最大值，圆柱的上下顶点压强达到最小 值。压强对称分布，流体作用在圆柱面上总压力为值。压强对称分布，流体作用在圆柱面上总压力为0。 阻力：总压力平行于来流方向的分力。阻力：总压力平行于来流方向的分力。FD 升力：总压力垂直来流方向的分力。升力：总压力垂直来流方向的分力。FL

26、第十二节 均匀等速绕过圆柱体的 平面流动 第十二节 均匀等速绕过圆柱体的 平面流动 圆柱体在理想流体中作等速直线运圆柱体在理想流体中作等速直线运 动时，受到流体作用的阻力等于零，动时，受到流体作用的阻力等于零， 没有考虑流体的粘性没有考虑流体的粘性。 01d)sin(cosd 2 0 0 rpSp S jinP 00 LD F;F No lift No drag 圆柱受力圆柱受力 第十三节 绕圆柱有环流的平面运动 点涡偶级均匀流 圆柱 r ) r r (sinV r v ) r r (cosV r vr 2 1 1 1 2 2 0 2 2 0 2 0 2 0 ) r r r(cosV rln)

27、 r r r(sinV 2 2 0 V o y x r r0 0 2 2 0 r sinVv vr r=r0 流线是圆周，可以流线是圆周，可以 代替圆柱面代替圆柱面 vvvvvvr r ,sin,cos, 满足无穷远处条件满足无穷远处条件 第十三节 绕圆柱有环流的平面运动 若若 1，柱面上有两个驻点，柱面上有两个驻点: 和和 ； 若若 =1，柱面上只有一个驻点，柱面上只有一个驻点: ； 若若 1，柱面上无驻点，柱面上无驻点: 。 0 4rv 2 2 , 01 rr 1 2 环量对流场的影响：环量对流场的影响： 0 4rv 0 4rv 8-33（a） 8-33（b） 8-33（c） 第十三节 绕

28、圆柱有环流的平面运动 柱面上（柱面上（r=r0）：）： ) 2 sin2(1 2 1 2 0 2 rv vpp 2 ) 2 sin2(1 aV cp jinn vdS rv vpdSpF SS 0) 2 sin2(1 2 1 22 lVFL 00 0 D F V L F 阻力：阻力： 升力：升力： 等于密度等于密度 、流速、流速V、环量、环量、和柱体长度的乘积。、和柱体长度的乘积。 沿沿V方向逆速度环量旋转方向逆速度环量旋转90所对应的方向。图所对应的方向。图8-34 Pressure coefficient 压力分布压力分布 库塔库塔- -儒可夫斯基公式儒可夫斯基公式 升力产生的原因（Mag

29、nus effect）： 绕圆柱上下表面流动不对称、环量（旋转）、粘性。绕圆柱上下表面流动不对称、环量（旋转）、粘性。 机翼周围流场不对称、环量（机翼几何形状、攻角）、粘性。机翼周围流场不对称、环量（机翼几何形状、攻角）、粘性。 鸟的飞翔、球在空中旋转、飞机飞行、流体机械叶片的升力等鸟的飞翔、球在空中旋转、飞机飞行、流体机械叶片的升力等 000 第十三节 绕圆柱有环流的平面运动 第十四节 叶栅的库塔 翼型的翼弦b、翼展l、冲角 vF 第十四节 叶栅的库塔 问题： 绕翼型流动的升力是如何产生的？绕翼型流动的升力是如何产生的？ 主要内容 微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程 流体微团的运动分解流体微团的运动分解 理想流体运动方程理想流体运动方程 涡通量涡通量 速度环量速度环量 斯托克斯定