理论力学_刚体的平面运动

1、1 解：机构中,OA作定轴转动,AB作平面运 动,滑块B作平动。 基点法（合成法） 研究 AB，以 A为基点，且方向如图示。 , lvA 例 例1 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l， 取柄OA以匀 转动。 求：当 =45时, 滑块B的速度及AB杆的角速度。 根据, BAAB vvv 在B点做 速度平行四边形，如图示。 2 llABv llvv ll vv BAAB ABA AB / 45tgtg )(245cos/ cos/ （） AB AABB vv根据速度投影定理 cos BA vv 速度投影法 研究AB, , 方向OA, 方向沿BO直线 lvA B v )(245cos/ cos/llv

2、v AB 不能求出AB 3 )(2 / , lBPv llAPv lAPlv ABB AAB A （） 试比较上述三种方法的特点。 速度瞬心法 研究AB，已知的方向， 因此可确定出P点为速度瞬心。 BA vv , 4 9-4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度 取A为基点，将平动坐标系固结于A点 取B动点，则B点的运动分解为相对运动为圆周运动和 牵连运动为平动。 一. 基点法 (合成法) 已知：图形S 内一点A 的加速度 和图形 的 , （某一瞬时）。 求： 该瞬时图形上任一点B的加速度。 A a 5 n BABABArAeBa aaaaaaaa ; ; 于是,由牵连平动时加速度合成

3、定理可得如下公式： rea aaa n BABAAB aaaa 其中：， 方向AB，指向与 一致； ， 方向沿AB，指向A点。 ABaBA 2 ABa n BA 6 即即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图 形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这种求解加 速度的方法称为基点法基点法，也称为合成法合成法。是求解平面图形内一点 加速度的基本方法。 上述公式是一平面矢量方程。需知其中六个要素，方能求 出其余两个。由于 方位总是已知，所以在使用该公式 中，只要再知道四个要素，即可解出问

4、题的待求量。 n BABA aa, 7 n BABA aa , 二加速度瞬心 由于 的大小和方向随B点的不同而不同,所以总可以 在图形内找到一点Q，在此瞬时，相对加速度 大小恰与基 点A的加速度等值反向，其绝对加速度 Q点就称为图形在该瞬时的加速度瞬心。 QA a A a 0 Q a 注 注 一般情况下,加速度瞬心与速度瞬心不是同一个点。 一般情况下，对于加速度没有类似于速度投影定理的关 系式。 即一般情况下,图形上任意两点A, B的加速度 AB B AB A aa 8 即即若平面图形在运动过程中某瞬时的角速度等于零，则该若平面图形在运动过程中某瞬时的角速度等于零，则该 瞬时图形上任意两点的加

5、速度在这两点连线上的投影相等瞬时图形上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等。 ABBABA aa 若某瞬时图形 =0, 即瞬时平动, 则有 由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样容易确定，且一 般情况下又不存在类似于速度投影定理的关系式，故常采 用基点法求图形上各点的加速度或图形角加速度。 9 分析： 大小 ？ 2 方向 ？ 故应先求出 。 n POPOOP aaaa RvO/ （） 例例1 半径为R的车轮沿直线作纯滚动, 已知轮心O点的速度 及加速度 ,求车轮与轨道接触点P的加速度。 O v O a 解：轮O作平面运动，P为速度瞬心， 由于此式在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而 10

6、 R a dt dv Rdt d OO 1 （） 由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加 速度瞬心。当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心 P的加速度指向轮心。 以O为基点，有 其中： 做出加速度矢量图，由图中看出： （ 与 等值反向） 即 n POPOOP aaaa R v R v RRaaRa OO n POOPO 2 22 )( , n POP aa O a PO a )(/ 2 Rva OP 11 解：(a) AB作平动，) , ( , n B n ABABABA aaaaaavv BOAO BOaAOaBOvAOv BABA 21 22112211 ;/ ,/ ;

7、/ ,/ 而 又 .; 2121 例 例2 已知O1A=O2B, 图示瞬时 O1A/O2B 试问(a),(b)两种情况下1和 2，1和2是否相等？ (a)(b) 12 (b) AB作平面运动, 图示瞬时作瞬时平动, 此时BAAB vv , 0 21221121 ,/ ,/ ,BOvAOvBOAO BA AB n B AB B AB n A AB A AB B AB A aaaaaa , 即 cossincossin 2 2222 2 1111 BOBOAOAO BA aaAB作瞬时平动时并由此看出即, ctg2 21 2 112 13 例例3 曲柄滚轮机构 滚子半径R=15cm, n=60 r

8、pm 求：当 =60时 (OAAB),滚轮的， 翻页请看动画翻页请看动画 14 解解：OA定轴转动,AB杆和轮B作平面运动 研究AB： rad/s 3 2 153 /30/ 1 APvA AB （） cm/s 30215 rad/s 230/6030/ OAv n A P为其速度瞬心 )(cm/s 320 3 2 1532 1 ABB BPv 分析分析: 要想求出滚轮的, 先要求出vB, aB P2 P1 vB P2为轮速度瞬心 15 取A为基点， 2222 cm/s60)2(15OAa A 指向O点 n BABAAB aaaa ), 3 320 ) 3 2 (153( 22 2 BAABa

9、AB n BA 沿 大小？ ？ 方向 作加速度矢量图，将上式向BA线上投影 n BAB aa0030cos )(cm/s5 .131 3 40 2 3 / 3 320 30cos/ 222 n BAB aa rad/s25. 715/320/ 2 BPvB B 2 2 rad/s77. 815/ 5 .131/BPaB B ）( ）( 研究轮B： 16 二解题步骤和要点二解题步骤和要点 1. 根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动 形式。注意每一次的研究对象只是一个刚体。 2. 对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速 度(图形角速度)问题的方法, 用基点法求加速度(

10、图形角加速 度) 3. 作速度分析和加速度分析，求出待求量。 (基点法： 恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度矢量图； 速度投影法： 不能求出图形 ； 速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键。） 17 例例1 曲柄肘杆压床机构 已知：OA=0.15m , n=300 rpm ,AB=0.76m, BC=BD=0.53m. 图示位置时, AB水平 求该位置时的、 及ABBD D v 翻页请看动画翻页请看动画 18 例例1 曲柄肘杆压床机构 已知:OA=0.15m,n=300 rpm,AB=0.76m, BC=BD=0.53m. 图示位置时, AB水平。 求该位置时的， 及 ABBD D v 解：OA

11、,BC作定轴转动, AB,BD均作平面运动 根据题意： rad/s10 30 300 30 n m/s 5 . 11015. 0OAvA （ ）rad/s 16.7 376.0 25.1 60sin 5.1 1 ABAP v A AB 研究AB, P为其速度瞬心 19 m/s 72. 216. 75 . 076. 016. 760cos 1 ABBPv ABB 研究BD, P2为其速度瞬心, BDP2为等边三角形DP2=BP2=BD )(m/s 72.213.553.0 2 BDD DPv rad/s 13.5 53.0 73.2 2 BP v B BD （） 20 解：OA定轴转动; 轮A作

12、平面运动, 瞬心P点 ,)(22 11ooM rR r rR rPMv ooA r rR rrRv )(）( 方向均如图示,)(22 22ooM rR r rR rPMv 例例2 行星齿轮机构 已知: R, r , o 轮A作纯滚动，求 21,MM vv 21 解解：轴O, 杆OC, 楔块M均作平动, 圆盘作平面运动，P为速度瞬心 , cm/s 12vvA rad/s 3230cos4/12cos/12/ rPAv A )(m/s 343230sin4sin rPOvo m72 2 1 42242120cos2 2222 OBPOOBPOPB ) ( m/s 3 .182143272PBPBv

13、B ）( 例 例3 平面机构中, 楔块M: =30, v=12cm/s ; 盘: r = 4cm , 与 楔块间无滑动。求圆盘的 及轴O的速度和B点速度。 22 比较比较例例2和和例例3可以看出可以看出, 不能认为圆轮只滚不滑时不能认为圆轮只滚不滑时,接接 触点就是瞬心触点就是瞬心, 只有在接触面是固定面时只有在接触面是固定面时, 圆轮上接触点圆轮上接触点 才是速度瞬心。才是速度瞬心。 每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬心和每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬心和 角速度角速度, 并且瞬心在刚体或其扩大部分上并且瞬心在刚体或其扩大部分上, 不能认为瞬心在 不能认为瞬心在

14、其他刚体上其他刚体上. 例如例如, 例例1 中中AB的瞬心在的瞬心在P1点点,BD的瞬心在的瞬心在P2 点点, 而且而且P1也不是也不是CB杆上的点。杆上的点。 23 例例4 导槽滑块机构 已知已知： 曲柄OA= r , 匀角速度 转动, 连杆AB的中点C处连接一 滑块C可沿导槽O1D滑动, AB=l,图示瞬时O,A,O1三点 在同一水平线上, OAAB, AO1C= =30。 求求：该瞬时O1D的角速度。 解解：OA, O1D均作定轴转动, AB作平面运动 研究 研究AB: , 图示位置, 作瞬时平动瞬时平动, 所以 rvvrv AcB ; rvA 24 用合成运动方法求O1D杆上与滑块C

15、接触的点的速度 动点动点：AB杆上C (或滑块C ), 动系 动系： O1D杆, 静系静系： 机架 绝对运动绝对运动：曲线运动 ，方向 相对运动相对运动：直线运动， ，方向/ O1D 牵连运动牵连运动：定轴转动， ，方向 O1D rvv ca ? r v ? e v 25 根据，作速度平行四边形作速度平行四边形 rea vvv rrvv Ce 2 3 30coscos 1 1DOe COv又 这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论 求解的综合性问题求解的综合性问题。注意这类题的解法，再看下例。 ）( l r l r CO ve DO

16、 2 3 sin/ 2 23 1 1 26 例例5 平面机构 图示瞬时, O点在AB中点, =60, BCAB, 已知O,C在同一水平线 上, AB=20cm,vA=16cm/s , 试求试求该瞬时AB杆, BC杆的角速度 及滑块C的速度。 解解：轮A, 杆AB, 杆BC均作平面运动, 套筒O作定轴转动, 滑块C平动。 取套筒上O点为动点动点，动系动系固结于AB杆， 静系静系固结于机架。 27 rea vvv 研究AB, P1为速度瞬心 ra vv , 0 由于沿AB, 从而确定了AB杆上与O点接触 点的速度方向。 e v r v 所以方向沿AB并且与 反向。 cm/s 16 11 AABABB vAPBPv rad/s 3 5 4 60sin/10 16 sin/ 16 1 OAAP vA AB ）( 28 也可以用瞬心法求BC和vC，很简便。 cm/s31631660 cm/s321622 60cos tgvv v v v BCB B B C cm3103 OBBCBCv BCCB 研究研究BC, 以B为基点,根据 作速度平行四边形速度平行四边形 CBBC vvv （）rad/s 6 . 1 310 316 BC vCB BC 29 解解： 应用点的合成运动方法 确定CD杆上C点与AE杆上接