点集拓扑学第二章拓扑空间与连续映射2-1,2

1、- -哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学- - - -理理 学学 院院- - - -林林 锰锰- - 点集拓扑学点集拓扑学 第二章第二章 拓扑空间与连续映射拓扑空间与连续映射 本章教学基本要求本章教学基本要求 掌握度量空间及度量空间的连续映射的概念掌握拓掌握度量空间及度量空间的连续映射的概念掌握拓 扑与拓扑空间的概念扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的连续映并在此空间上建立起来的连续映 射射,同胚的概念，熟悉几个拓扑空间的例子掌握邻域与同胚的概念，熟悉几个拓扑空间的例子掌握邻域与 邻域系的概念及性质；掌握连续映射的两种定义；掌邻域系的概念及性质；掌握连续映射的两种定义；掌 握证明开集与邻域的证

2、明方法握证明开集与邻域的证明方法 掌握闭集和闭包等相关掌握闭集和闭包等相关 概念概念. 重点：重点：拓扑空间拓扑空间, ,同胚映射同胚映射, ,拓扑的建立和证明拓扑的建立和证明. . 难点：难点：拓扑空间拓扑空间,同胚映射同胚映射 Department of Mathematics 2.1 度量空间与连续映射度量空间与连续映射 一一. 度量空间度量空间 1. 度量空间的定义度量空间的定义 0),( , 0),( )1yxyxyx ),( ),( )2xyyx ),(),(),( )3zyyxzx 则称则称是集合是集合X的一个的一个度量度量 并称并称 为为度量空间度量空间.),( X 对于任意两

3、点对于任意两点x，yX，实数，实数(x，y)称称 为从点为从点x到点到点y的距离的距离 定义定义2.1. 设设 为集合为集合, 为一映射为一映射,如果如果 对于任何对于任何x，y，zX，有，有: XRXX : Department of Mathematics 例例2.1 对于实数集合对于实数集合R ,定义定义：RRR如下：如下： 对于任意对于任意x，yR，令，令(x，y)=|x-y| 是是R的一个度量，因此偶对的一个度量，因此偶对(R，)是一个度是一个度 量空间量空间,通常称为通常称为实数空间实数空间. 例例2.2 n维欧氏空间维欧氏空间,对于实数集合对于实数集合R的的n重笛卡儿积重笛卡儿积

4、, 定义定义： ,对于任意的对于任意的RRR nn ),( 21n xxxx n n Ryyyy ),( 21 n i ii yxyx 1 2 )(),( 定义定义: 则则是是 上的一个度量上的一个度量 n R Department of Mathematics 例例2.3 离散的度量空间离散的度量空间 设设(X,)是一个度量空间如果对于每一个是一个度量空间如果对于每一个xX， 存在一个实数存在一个实数 , 使得使得 ,对对 任意的任意的 都成立都成立, 称称(X,)是离散的是离散的， 或者称或者称是是X的一个的一个离散度量离散度量. 0 x x yx ),( yxXyx , . , 1 ;

5、, 0 ),( yx yx yx 是一个离散度量是一个离散度量例如例如: 离散的度量空间或许是我们以前未曾接触过离散的度量空间或许是我们以前未曾接触过 的一类空间，但今后会发现它的性质是简单的的一类空间，但今后会发现它的性质是简单的 Department of Mathematics 2. 度量空间的其他概念度量空间的其他概念 定义定义2.2. 设设(X,)是一个度量空间，是一个度量空间，xX 对于任意给定的实数对于任意给定的实数0，集合，集合: 称为一个以称为一个以x为中心以为中心以为半径的为半径的球形邻域球形邻域. ),(|),( yxXyxB 定理定理2.1. 度量空间度量空间(X,)的

6、球形邻域具有性质：的球形邻域具有性质： 1) 对任意对任意xX,至少有一个至少有一个 .且且)(xB )(xBx 2) 对对xX的任意两个的任意两个 ,)(),( 21 xBxB )()()( .),( 21 xBxBxBxtsxB 3) 若若 ,则存在则存在 .),( xBy ),(),( xByB Department of Mathematics 定义定义2.3. 设设A是度量空间是度量空间X的一个子集如果的一个子集如果A中中 的每一个点都有一个球形邻域包含于的每一个点都有一个球形邻域包含于A（即对于每（即对于每 一个一个aA，存在实数，存在实数0使得使得B(a,) )，则称，则称A 是

7、度量空间是度量空间X中的一个中的一个开集开集 A 例例2.4 实数空间实数空间R中的开区间中的开区间 (a,b)为开集为开集. 例例2.5 度量空间度量空间 中的开球为开集中的开球为开集.X 例例2.6 a,b=xR|axb (a.b=xR|axb，a,b)xR|axb 都不是都不是R中的开集中的开集 Department of Mathematics 定理定理2.2. 度量空间度量空间(X,)的开集具有以下性质：的开集具有以下性质： (1)集合集合X本身和空集本身和空集 都是开集都是开集. (2) 有限个开集的交是一个开集有限个开集的交是一个开集 . (3)任意一个开集族（即由开集构成的族）

8、任意一个开集族（即由开集构成的族） 的并是一个开集的并是一个开集 定义定义2.4. 设设x是度量空间是度量空间X中的一个点，中的一个点，U是度量是度量 空间空间X的一个子集如果存在一个开集的一个子集如果存在一个开集V满足满足: ,则称则称U是点是点x的一个邻域的一个邻域.UVx Department of Mathematics 二二. 度量空间中的连续映射度量空间中的连续映射 定义定义2.4. 设设X和和Y是两个度量空间，是两个度量空间，f : XY，以及，以及 Xx 0 如果对于如果对于 的任意一个球形邻域的任意一个球形邻域 , 存在存在 的某一球形邻域的某一球形邻域 ,使得使得: )(

9、0 xf),( 0 xfB 0 x),( 0 xB ),(),( 00 xfBxBf 则称映射则称映射f 在点在点 处是处是连续连续的的. 0 x 如果映射如果映射f 在在X的每一个点的每一个点xX处连续，则处连续，则 称称f 是一个是一个连续映射连续映射 Department of Mathematics 设设X和和Y是两个度量空间，是两个度量空间，f : XY，以及，以及 则下述条件则下述条件(1)和和(2)分别等价于条件分别等价于条件 和和 ： Xx 0 定理定理2.3 )1( )2( 的每一个邻域的原象是的每一个邻域的原象是 的一个邻域的一个邻域.)1( )( 0 xf 0 x (2)

10、 f 是连续的是连续的 Y中每一个开集的原象是中每一个开集的原象是X中的一个开集中的一个开集)2( (1) f 在点在点 处是连续的处是连续的. 0 x 从这个定理可以看出：度量空间之间的一个从这个定理可以看出：度量空间之间的一个 映射是否是连续的，或者在某一点处是否是连续映射是否是连续的，或者在某一点处是否是连续 的的,本质上只与度量空间中的开集有关本质上只与度量空间中的开集有关 Department of Mathematics 一一. 拓扑空间的定义拓扑空间的定义 2.2 拓拓 扑扑 空空 间间 与与 连连 续续 映映 射射 (3) 若若 . 则则 1 1 A A (2) 若若A, B

11、. 则则AB (1) ,X 则称则称 是是X的一个的一个拓扑拓扑 ,称称(X, )为为拓扑空间拓扑空间. 称称 中的元素为拓扑空间中的元素为拓扑空间(X, ) 中的中的开集开集. 定义定义2.5设设X是一个集合是一个集合 是是X的幂集的幂集P(X)的子集的子集 如果如果 满足满足: Department of Mathematics 说明说明 常见的拓扑常见的拓扑 例例2.1平庸空间平庸空间 设设X是一个集合令是一个集合令 ,则则 是拓扑是拓扑),( X ),( X 空间空间,称为称为平庸拓扑空间平庸拓扑空间. 拓扑空间的开集和度量空间的开集有区别拓扑空间的开集和度量空间的开集有区别 设设 是

12、一个度量空间是一个度量空间, 则称则称 为由度量为由度量 诱导的拓扑诱导的拓扑, 是由度量是由度量 空间空间 诱导诱导的拓扑空间的拓扑空间. ),( X ),( XVXV是是 ),( X ),( X Department of Mathematics 例例2.2离散空间离散空间 设设X是一个集合令是一个集合令 =P (X)，即由，即由X的所有子的所有子 集构成的族容易验证，集构成的族容易验证， 是是X的一个拓扑，称之的一个拓扑，称之 为为X的的离散拓扑离散拓扑；可知，在离散空间（；可知，在离散空间（X, ）中，）中， X的每一个子集都是开集的每一个子集都是开集 练习练习2.1设设Xa，b，c)

13、,(),(),( , 1 cbabaa 是否是否X的拓扑的拓扑 1 例例2.3有限补空间可数补空间有限补空间可数补空间 的的一一个个有有限限子子集集是是XUXU C 的的一一个个可可数数子子集集是是XUXU C Department of Mathematics 二二. 邻域与邻域系邻域与邻域系 定义定义2.6设设(X， )是一个拓扑空间，是一个拓扑空间，xX如果如果 U是是X的一个子集，满足条件：存在一个开集的一个子集，满足条件：存在一个开集V 使得使得 , 则称则称U是点是点x的一个的一个邻域邻域 UVx 如果如果U是包含着点是包含着点x的一个开集，那么的一个开集，那么 它一定是它一定是x

14、的一个邻域，于是我们称的一个邻域，于是我们称U 是点是点x的一个开邻域的一个开邻域 说明说明 点点x的所有邻域构成的的所有邻域构成的x的子集族称为的子集族称为 点点x的邻域系的邻域系,记为记为 x U Department of Mathematics 定理定理2.4拓扑空间拓扑空间X的一个子集的一个子集U是开集的充分必是开集的充分必 要条件是要条件是U是它的每一点的邻域，即只要是它的每一点的邻域，即只要xU，U便便 是是x的一个邻域的一个邻域 定理定理2.5设设X是一个拓扑空间是一个拓扑空间xX, 为为x的的 邻域系邻域系,则则: x U (1) 对于任何对于任何xX， ,如果如果 则则xU

15、 x U, x UU (2) 如果如果 ,则则UV . x UVU , x U (3) 如果如果 ,并且并且 , 则则: . x UU VU x UV (4) 如果如果 ,则存在则存在 .满足满足: x UU x UV (a) , (b) 对于任何对于任何yV,有有 UV y UV Department of Mathematics 三三. 拓扑空间中的连续映射和同胚映射拓扑空间中的连续映射和同胚映射 定义定义2.7设 设X和和Y是两个拓扑空间，是两个拓扑空间，f : XY，以及，以及 如果对于如果对于 的任意一个邻域的任意一个邻域 , 有有: ,则称则称 在点在点 处是连续的处是连续的. )

16、( 0 xf )( 0 xf UU 0 x 0 )( 1 x UUf Xx 0 f 如果映射如果映射f 在在X的每一个点的每一个点xX处连续，则处连续，则 称称f 是拓扑空间是拓扑空间X上的一个上的一个连续映射连续映射 定理定理2.6 f 是连续的是连续的 充分必要条件是充分必要条件是Y中开集的中开集的 原象是原象是X中的开集中的开集 Department of Mathematics 定理定理2.7设设X，Y和和Z都是拓扑空间则都是拓扑空间则 (1)恒同映射：恒同映射： : XX是一个连续映射；是一个连续映射； X i (2)如果如果f : XY和和g:YZ都是连续映射，都是连续映射， 则则

17、 gof : XZ也是连续映射也是连续映射 (3)常值映射：常值映射： : 是一个连续映射；是一个连续映射； YyX 0 C (4)从离散空间到任何空间的映射都是连续的从离散空间到任何空间的映射都是连续的 (5)从从X到平凡空间的任何映射都是连续的到平凡空间的任何映射都是连续的 Department of Mathematics 定义定义2.8设设X和和Y是两个拓扑空间如果是两个拓扑空间如果 f ：XY 是一个一一映射，并且是一个一一映射，并且 f 和和 ：YX都是连续的，都是连续的， 则称则称 f 是一个是一个同胚映射同胚映射或同胚或同胚 1 f 定理定理2.8设设X，Y和和Z都是拓扑空间则

18、都是拓扑空间则 (1)恒同映射：恒同映射： : XX是一个同胚映射；是一个同胚映射； X i (3)如果如果f : XY和和g:YZ都是同胚映射，都是同胚映射， 则则 gof : XZ也是同胚映射也是同胚映射 (2)如果如果f ：XY是一个同胚，则是一个同胚，则 ： YX 也是一个同胚；也是一个同胚； 1 f Department of Mathematics 定义定义2.9设设X和和Y是两个拓扑空间如果存在一个是两个拓扑空间如果存在一个 同胚同胚f ：XY，则称拓扑空间，则称拓扑空间X与拓扑空间与拓扑空间Y是同胚的，是同胚的， 或称或称X与与Y同胚，或称同胚，或称X同胚于同胚于Y 定理定理2.9设设X，Y和和Z都是拓扑空间则都是拓扑空间则 （1）X与与X同胚；同胚； （2）如来）如来X与与Y同胚，则同胚，则Y与与X同胚；同胚； （3）如果）如果X与与Y同胚，同胚，Y与与Z同胚，同胚， 则则X与与Z同胚同胚 Department of Mathematics 四四. 子空间的概念子空间的概念 定义定义2.10设设(X， )是一个拓扑空间，是一个拓